Проблемы оптимизации при решении инженерных задач, как правило, связаны с ограничениями. Это означает, что не каждый параметр может изменяться свободно. Параметры, подлежащие ограничениям, могут изменяться только в определенных пределах. Например, при оптимизации пропускной способности экструдера давление на входе в экструзионную головку ограничивается максимально возможным давле­нием, создаваемым шнеком экструдера. Если соотношение между давлением и про­пускной способностью экструзионной головки моделируется математически, и ха­рактеристика экструзионной головки аппроксимируется полиномом, то алгоритм оптимизации пропускной способности будет пытаться неограниченно увеличивать давление. Это произойдет, если характеристика моделируемой экструзионной го­ловки не содержит информации о максимально возможном давлении на входе в ка­нал. Таким образом, из данного простого примера следует, что в эту и другие подоб­ные задачи необходимо включать граничные условия. Чтобы добиться этой цели, необходимо расширить оценочную функцию таким образом, чтобы она учитывала имеющиеся ограничения при оценке параметров.

На языке математики это означает, что одна задача на оптимизацию с ограничени­ями преобразуется в одну или большее количество задач оптимизации без ограниче­ний за счет модификации оценочной функции. Добиться этой цели можно с помо­щью одного из двух методов — метода штрафов или барьерного метода.

Метод штрафов

Чтобы избежать выхода параметров далеко за пределы допустимого диапазона значений и использования недопустимых значений параметров в ходе оптимизации, можно ввести так называемые штрафные члены. Значения штрафных членов добав­ляются к значениям первоначальной оценочной функции, в результате чего получа­ются новые модифицированные значения оценочной функции. Цель этого подхода — искусственно занизить значения оценочной функции, если параметры, на основании которых производится оценка, выходят за границы допустимого диапазона. Штраф­ные функции должны подбираться индивидуально для каждой конкретной задачи. При поиске максимума математическое определение штрафных членов принимает следующий вид:

= 0 те Jlf < 0 хе М”

Влияние штрафных членов показано на графике, представленном на рис. 4.35 (сле­ва). На этой иллюстрации показана монотонно возрастающая оценочная функция. Поскольку оптимизационный алгоритм может оценивать значения функции каче­ства только в ходе оптимизации (поиска максимума), то для достижения максималь­ного качества модели значение параметра s было в этой модели выбрано максимально возможным. В данном случае граничные условия не были приняты во внимание. Од­нако ограничения, налагаемые на область значений параметров граничными условия­ми, можно учесть за счет введения соответствующего штрафного члена, добавляемо­го к оценочной функции. За счет этого значения оценочной функции в допустимом диапазоне параметров не изменятся, но функция не будет достигать максимума, если

Рис. 4.35. Использование барьерных и штрафных функций для учета ограничений в процес­се оптимизации

параметры выходят за пределы допустимого диапазона. Если штрафной член подобран правильно, то при использовании этого метода оптимум будет найден вблизи от гра­ницы допустимого диапазона параметров. Однако если штрафные члены подобраны плохо и не соответствуют оценочной функции, то в качестве оптимального может оказаться выбранным такой набор параметров, который лежит вне допустимого диа­пазона. Чтобы предотвратить возникновение такой ситуации, необходимо использо­вать так называемые барьерные функции.

Барьерные методы

Барьерные функции конструируются таким образом, чтобы их абсолютные зна­чения неограниченно возрастали при достижении границы допустимого диапазона параметров (см. рис. 4.35, справа). Это позволяет надежно гарантировать, что набор параметров, выходящих за границы допустимого диапазона, никогда не будет выбран в качестве оптимального. Однако при использовании барьерных функций невозмож­но обнаружить оптимум, лежащий близко к границе допустимого диапазона парамет­ров. Это происходит потому, что, в отличие от штрафных функций, барьерные функ­ции изменяют значение оценочной функции не только за пределами допустимого диапазона, но и внутри него.