Чтобы все компоненты тензора деформаций вычислялись еди­нообразно, для их определения вводят общую формулу: 1 (дщ dUj

ги і 2

При одинаковых индексах выражение (2.30) повторяет фор­мулы (2.25) для вычисления линейных деформаций. При разных индексах оно определяет сдвиговые деформации равными по­ловине соответствующих углов сдвига уу. Поэтому тензор дефор­маций имеет вид

	є °ХХ	єху	pxz
T = є	єух	єуу	Pyz	(2.31)
	pzx	Pzy	pzz

или

	1	1
°xx	2 У xy	2 У xz
1		1
2 У yx	Myy	2 У yz
1	1
2 У zx	2 У zy	Mzz

T =

Тензор (2.31), точно так же, как тензор напряжений (2.13) ан­тисимметричен, так как из формул (2.26) вытекает, что углы сдви­га у і не зависят от перемены мест их индексов. С этим тензором можно провести те же операции, что проведе­ны с тензором напряжений при получении формул (2.13)-(2.18). Путем простой замены в формулах (2.16) сти на еи и сту на (1/2) уу можно получить формулы для вычисления инвариантов тензора деформаций:

ІЄ1 — єхх +єyy + szz ; Т _ . У xy У yz ^ У zx I^2 — _£ХХ ‘ ^yy _ ^yy ‘ ^zz _ ^zz ‘ ^ХХ ^ 4 ;

^ХХ ‘Уyz £yy '1 zx £zz ‘Уху + 1xy ‘Уyz 'Уzx 4

Первый инвариант тензора деформаций дает изменение объе­ма материала. Объемную или среднюю деформацию можно опре-

(2.30)

dxj

дХі

(2.32)

(2.33)

Is3 -£ХХ 'syy 'szz +

делить аналогично среднему (гидростатическому) напряжению по формуле

(2.34)

sm 3 3 ' (^xx ~^^yy ~^^zz ).

(2.35)

Так как sm не связана с пластическими деформациями, для их исследования нужно исключить из тензора Те. Тогда получим де - виатор тензора деформаций De:

	1	1
■xx Sm	2 у xy	2 у xz
1 у 2 f yx	Syy ~ Sm	1 у 2 lyz
1	1
2 у zx	2lzy	W 1 z z w

D =

Второй инвариант девиатора тензора деформаций, который характеризует интенсивность деформаций изменения формы, можно получить из формулы (2.21) путем замены напряжений на соответствующие деформации, как это делалось выше. В резуль­тате получим:

/ 2 і ( 2 і ( 2 tR^xy +Jyz 1 Yzx

(sxx - Syy )2 + (syy - Szz )2 + (szz - Sxx )2 + 6-----------------------------------

xx yy yy zz zz xx 4

(2.36)

Интенсивность деформаций (аналогично интенсивности напря­жений) определяют путем «тарировки» второго инварианта по опыту на одноосное растяжение:

S; - A •J - Sxx, (2.37)

где коэффициент A находится в результате опыта на простое рас­тяжение, когда: = Sxx; Syy = Szz = - v • Sxx; Yxy = lyz = Izx = 0. Подста­

новка этих значений в предыдущую формулу дает:

Sxx = A xlJ66 ■ {(Sxx +V-Exx )2 + (-V-Exx + [2] ■ Sxx )2 + (-V^Sxx - Sxx )2 + 6 • [О2 + О2 + 02 ]},

откуда

A =

1 + y.

¥ )+(¥)+(т

Подставив это значение А и выражение для второго инвариан­та (2.36) в формулу (2.37), получим:

В‘ " (її3) 6 '^(ЄХХ ~ Eyy )2 + (Eyy “ Ezz )2 + (Ezz “ Exx )2 + 6

е. = Л ep 3

и формула для вычисления коэффициента интенсивности дефор­маций приобретает вид

/2 • (1 + V)

' ^ ('xx _ &yy ) + (^yy ~ Ezz ) + 3'(yxy + Угх ) .

(2.38)

Обычно Є; используется для вычисления интенсивности пласти­ческих деформаций, когда коэффициент Пуассона v = 0,5. В этом случае при больших деформациях є заменяют на е, добавляют ин­декс p, чтобы указать, что деформация пластическая. Углы сдви­га у при росте сдвига до бесконечности достигают значения толь­ко л/2. Это противоречит физическому смыслу явления. Поэтому углы сдвига при больших деформациях заменяют на тангенсы этих углов, которые при у = л/2; стремятся к бесконечности. Это лучше описывает деформацию, получаемую материалом. Тогда формула для вычисления интенсивности пластической деформации приоб­ретает вид

Следовательно,

d2Yxy d2Sxx, d%y.

dx - dy dy2 dx2 '

d2Sxx, d%y g2Уxy.

1)

dy2 dx2 dx - dy’ 2) -

d2£yy, d2Szz d2Уyz.

dz2 dy2 dy-dz’ d2Szz, d2Sxx = d2Уzx. dx2 dz2 dz - dx ’ 2 - d2Sxx =d f dyxy dyyz dyz

Это одно из уравнений сплошности, аналогично можно полу­чить пять остальных:

3)

dy - dz dx ^ dz dx dy 2 - d%y = d f dy yz dy zx dy xy

(2.41)

4)

3) ,

2 - d2Szz = d f dy zx dy xy dy yz

dz - dx dy ^ dx dy dz

6)

dx - dy dz ^ dy dz dx

Пластические деформации происходят без изменения объема. Поэтому малые пластические деформации должны быть связаны

уравнениями: е = о

°xxp ~ °yyp ~ °zzp

Неточность этой формулы при значительных деформациях вид­на из исходных формул для вычисления линейных деформаций:

- 3 * o.

L1 L10 + L2 L20 + L3 L30 _ L1 + L2 + L3

L10 L20 L30 L10 L20 L30

Из этого выражения видно, что равенство нулю соблюдается только тогда, когда три первых слагаемых левой части последнего равенства равны единицам, т. е. когда каждая из деформаций рав­на нулю.

Строгое выполнение условия постоянства объема имеет место, если пользоваться большими деформациями:

exxp + eyyp + ezzp = °. (2.43)

Если раскрыть это равенство по формулам (2.29), получим

ln ( lx] + ln (L) + ln ( L ) = ln ( LQx-Lyy-Loz ) = ln (VO ) = 0,

откуда следует точное выражение для постоянства объема V = V при любой величине деформаций.

Если уравнение (2.43) применить к случаю одноосного растя­жения, когда еуур = ezzp, то получим:

exxp + 2 • eyyp exxp + 2 • ezzp 0,

откуда

eyyp = ezzp = -0,5 • exxp. (2.44)

Таким образом, при пластической деформации коэффициент Пуассона v равен 0,5, что следует из условия постоянства объема (2.43).