Уравнения законов сохранения образуют замкнутую систему нелинейных диф­ференциальных уравнений в частных производных. Аналитические решения этой системы существуют только для простейших частных случаев. Некоторые из них были описаны в главе 3.

В последующих разделах будет продемонстрирован процесс получения аналити­ческих решений для полей скоростей и температур.

Рассмотрим канал со щелевым поперечным сечением (см. рис. 4.1), имеющим высоту Я и ширину В. Так как Н намного меньше В, краевыми эффектами можно пренебречь и считать справедливым предположение об однородности течения.

TOC o "1-5" h z ( 1

Через этот канал течет расплав с псевдопластическими свойствами хт = — у

I Ф

течение является установившимся ламинарным (то есть эффектами на входе в канал

( Н

можно пренебречь); вязкая жидкость прилипает к стенкам канала

v. r = 0 при у = ± —

и поток не имеет компонент в направлениях, отличных от направления оси х. Требу­ется построить профили скоростей vx(,y) * f(x) и температур Т(у) *■ f(x) (то есть получить одномерное решение, поскольку все параметры зависят только от коорди­наты у). Это означает, что конвективный теплоперенос в направлении оси х в расчет не принимается. (Как правило, это вполне оправдано вследствие низкой температу­ропроводности расплавов полимеров.) Температура стенки канала экструзионной головки — все термодинамические характеристики материала принимаются по­стоянными.

Представленное далее решение типично для течений в канале материалов с посто­янными характеристиками и которое показывает взаимосвязь между скоростями и температурами. Оно включает:

1. Выбор системы координат.

Как правило, при конструировании экструзионных головок выбираются декар­това или цилиндрическая системы координат. Система координат, использующаяся в данном примере, показана на рис. 4.1.

2. Выбор уравнений законов сохранения и их упрощение.

Зачастую уравнения неразрывности, движения и энергии можно упростить, так как компоненты течения в направлении одной или двух осей координат можно счи­тать несущественными. Например, в рассматриваемом случае значимыми являются только компоненты скорости в направлении оси х (ось абсцисс), а градиенты скорос­ти и температуры имеют ненулевые значения только в направлении оси у. То есть все члены уравнений сохранения с компонентами v, г и их производными по координа­там X и z можно отбросить.

Уравнения законов сохранения и перечень возможных упрощений подробно опи­саны ниже:

1. Уравнение движения, (см. уравнения (4.10) и (4.11), например, [1])

>г	4- » _____	_1_ . . ___	*х)	др	(*хх
V dt	I V ---------------- * Э*	* V ----------------- У ду	7 У/ ------- 2 дг	~дх~	1 ч дх	ду	dz
1		2	3		4		5

+ Pgx - (4.22) 6

Здесь:

^X

1) = 0, так как течение является установившимся;

дх

5vX

2) TOC o "1-5" h z v = 0, так как v = 0;

у ду у

dvx

3) v —— = 0, так как v = 0;

4)

dz г

0, так как нормальными напряжениями вследствие дефор-

дх,

мации сдвига можно пренебречь;

дх zjc

5)

—— = 0, поскольку В » Я, то влиянием боковых стенок на вели­чину напряжений сдвига можно пренебречь;

6) Рёх = 0, так как для полимерных расплавов влиянием сил фавита - ции можно пренебречь.

После всех упрощений уравнение (4.22) можно переписать следующим образом:

др дх

(4.23)

ух

дх ду

2. Уравнение неразрывности: (см. уравнения (4.2) и (4.3), например, [ 1 ] ) Эр д

(4.24)

a +to<pv')+^<pV + iF<eV-0-

1 2 3

Как и в случае, рассмотренном выше: Эр

1) = 0, так как плотность постоянна и не меняется со временем;

а

2) — (pvy) - 0, так как у = 0;

3) — (pv2) = 0, поскольку v2 = 0;

dvx Ovx Из уравнения (4.25) следует, что р—— = 0 и поэтому —— = 0. (4.26) дх дх Комбинируя упрощенное уравнение неразрывности (4.26) с упрощенным уравне­нием движения (4.23), получаем др Эт 0 - -- У

дх ду 3. Уравнение энергии: (см. уравнения (4.16) и (4.17), например, [1]) ✓ ~— „— „ / „ л л

Следовательно, уравнение (4.24) упрощается следующим образом: Э dvr Эр

			/
	+ , dy +	дх,	+ т ZX

f dvx dv dvz + —- + — dy dz

dx 7

dvx dvz) — + ---------

дТ дТ fdqx dqy dq

J^£xJ 0, так как р = const 5vv

—— (pv ) = 0 = р — + дх дх

h у------------------------------------ 1- V ---------- dt х дх у ду

(4.27)

dT 1) —= 0, так как течение является установившимся; dt

дТ 2) — = 0, поскольку Т(у) ф f(x): dt

6) —— = 0, так как — = 0; ’dz dz 7 ) по условиям задачи предполагается, что все члены уравнений сохр; ния, содержащие v2h vy и их производные пол: и у, равны нулю.

dl 4) v ■—= 0, так как v = 0; dz г dqx 5) = 0, вследствие того что Тф/(х) qr =---------------- 0; дх dqz дТ

01 0, так как v„ = 0; ду у дТ

(4.25)

дТ

дТ

4x | ''Ну [ дх dy dz

+ v„

-+v,

Рсг

dz 4 /

' др'	/
	р

- Т

dvy

dv ov ■ + t.

(4.28

T------ h x :- h T v xx dx yy dy zz dz j 7 7 7

dvy dvz dz dy 7 7

+ т

■yz

дТ 3) *>Ту

После упрощения уравнения (4.28) получаем

^у_ ду

(4.29)

0 =

дх

ХУ ду

ет

Учитывая, чтот = т ив = - X—— (закон Фурье), имеем: И fjjj

дТ

(4.30)

-ух

ду

дх

дх

Для решения последнего дифференциального уравнения нужно рассмотреть рео­логическое уравнение. 4. В качестве реологического уравнения примем степенной закон течения матери­ала (см. уравнение (2.3)):

_	1	dvx
г	ф'	ду
'1'	т		т
W		[ду J

-ух

(4.31)

откуда

(4.32)

3. Вычисление профиля скорости Если предположить, что фи т относительно независимы от температуры, то урав­нения энергии и движения становятся несвязанными. В этом случае для вычисления профиля скорости v(y) достаточно только уравнений (4.26) и (4.23). Из уравнения (4.27) следует, что:

■y + Cv

(4.32.1)

ух

дХ;

С учетом того, что т = 0 при у = 0 получаем значение постоянной интегрирова­

ния С, = 0, то есть:

др_ дх

(4.33)

■У-

-ух

С учетом отрицательного знака у (поскольку скорость v^.убывает в направлении у) из уравнения (4.32) получаем

tX ду

(4.34)

■у'

dxj

Интегрирование уравнения (4.34) дает

др дх;

Г + Со - т+1 1

С учетом того, что при у = — • vx = 0, получаем г т +1 Н

ч2/

(4.34.2)

С2 ф

кдх j

ТП + 1

И уравнение профиля скорости приобретает вид:

'и'”*

т + 1

-у

/л Эл: .

(4.35)

т + 1

Отрицательный знак показывает, что жидкость течет в направлении отрица­тельного градиента давления, то есть из области высокого давления в область бо­лее низкого. Уравнение (4.35) соответствует соотношениям, приведенным в таб- др Ар^ ~дх ~~L N / На основании уравнения (4.35), по аналогии с тем, как это было сделано в разде­ле 3.1, можно вычислить максимальную скорость vmax, среднюю скорость v и объем­ный расход V. 4. Вычисление профиля температуры Предполагая, что величины ф, т, и X не зависят от локальных температуры и дав­ления расплава (иначе говоря, ф, т, X = const), распределение температуры расплава по высоте щели Т(у) на основании уравнений (4.30), (4.32) и (4.34) примет вид:

лице 3.4

К(у) = vt(y); ~-Т~=~Г

д	'дТ	ф	м	m + 1
ду	ру)	X

+1

,ут

(4.36)

После интегрирования получаем

(дТ	Ф	'др"	m + 1	ут + 2
	~Х	[дх)		m + 2

(4.37)

+ Су

дТ Поскольку при у = 0 — (так как профиль температуры в канале является сим­

метричным), получаем, что = 0. После интегрирования (4.37) получаем

( а Ш + 1 др

..т +3 ______________________________ 4-____ С' (т + 2 )(т + 3) 2' Н

-г Ф т=-х

дх

С учетом граничного условия Т= Г^ириу = — имеем

г т + 3

т + 1

др

2

(4.38.1)

^дх

(т + 2 )(т + 3)

И окончательное выражение для профиля температуры будет иметь вид: ( т + 3 И 1 f ъ т + 1 Ф Пу)

_ + 3

др {дх)

(4.39)

TW+x

(m + 2)(m + 3)

Полученное решение для профиля температуры справедливо при условии, что полная энергия, рассеиваемая при течении, отводится за счет теплопереноса в на­правлении, перпендикулярном направлению течения, то есть через стенки канала. Таким образом, в каждой точке потока энергия диссипации равна тепловой энергии, отводимой за счет теплопроводности (см. уравнение (4.29)). Этого обычно не проис­ходит в экструзионных головках при типичных для экструзии скоростях течения, т. к. тепло уносится вместе с потоком расплава, т. е. необходимо принимать во внимание передачу тепловой энергии путем конвекции. Это означает, что член р • ср ■ vx ■ дТ/дх уравнения (4.28) не равен нулю. Отсюда следует (см. уравнение (4.29):

Ъу ду

toX ду

дТ

(4.40)

- т

ух

С учетом закона теплопроводности Фурье

(4.41)

dq дТ ду ^ ду’

а также уравнении

tox ду

-Л(У)

ух

(4.42)

(0	m	( я. > tox	тп
U,		1 ду )

д2Т

(4.43)

Л(У)‘

из уравнения (4.40) получаем:

дТ

pcpv* 17 =

ду)

(4.44)

I II III

Здесь I — конвективная теплопередача в направлении х, II — теплопередача в на­правлении у за счет теплопроводности; III — выделение тепла вследствие диссипа­ции энергии вязкого течения за счет существования градиента скорости в направле­нии оси у.

Из уравнения (4.44) становится ясно, что поля температуры и скорости в процес­се течения являются связанными. Эта связь проявляется через вязкость, которая в течение всего процесса течения является функцией температуры Т, гидростатиче­

дТ 4 у- дУ

ского давления р и скорости сдвига у

(см. главу 2). Поле скоростей влияет

на поле температур, поскольку тепловая энергия в расплаве генерируется за счет внут­реннего трения, которое, в свою очередь, зависит от градиента скорости у. Более того, член уравнения (4.44), описывающий конвективную теплопередачу, непосредствен­но зависит от поля скоростей.

Связанная система уравнений движения и энергии, в которой учитывается конвек­тивная теплопередача, не имеет аналитического решения даже для рассматриваемого здесь простейшего случая. Для получения решения этой системы необходимо исполь­зовать численные методы. Преимущество численных методов заключается в том, что они применимы не только к простейшим случаям течения через каналы простых гео­метрических форм и для которых используются граничные условия, налагающие су­щественные ограничения. Более того, их применение в настоящее время не вызывает серьезных препятствий, так как в большинстве случаев они реализованы в форме относительно несложных компьютерных программ, пригодных для использования на недорогих персональных компьютерах [9-13].