ПЕРЕХОД К КОНТУРНОМУ J-ИНТЕГРАЛУ

В конструкциях дефекты могут иметь сложную форму. Кроме того, форма дефектных узлов конструкции может быть самой раз­нообразной. Поэтому для дефекта в конструкции действующее значение J-интеграла чаще всего находится на основе численных решений упругопластической задачи. В этом случае он вычисля - а ется как контурный интеграл по

ПЕРЕХОД К КОНТУРНОМУ J-ИНТЕГРАЛУ

Рис. 6.53

Контур интегрирования у вершины трещины и направления интегрирования по оси у

произвольному контуру S, вклю­чающему вершину трещины и свя­занную с ней пластическую зону, как показано на рис. 6.53а.

ПЕРЕХОД К КОНТУРНОМУ J-ИНТЕГРАЛУ

(V)

ПЕРЕХОД К КОНТУРНОМУ J-ИНТЕГРАЛУ

(S)

(6.127)

ПЕРЕХОД К КОНТУРНОМУ J-ИНТЕГРАЛУ

Считается, что нагрузка (, приложенная к контуру, не меня­ется при росте трещины.

Этот интеграл берется в неподвижной системе координат х, у, показанной на рис. 6.53а. Второй интеграл берется по объему,

В основе определения контур­ного интеграла лежит выражение (6.121), связывающее J с механи­ческим потенциалом П. Перено­ся дифференцирование под знак интеграла, получим

заключенному внутри контура S, по которому берется первый ин­теграл.

Но поле напряжений и перемещений у вершины трещины опи­сывается в подвижной системе координат X, Y, центр которой рас­положен в вершине трещины. Поле усилий q остается постоянным только в подвижной системе координат.

Связь подвижной системы координат с неподвижной системой дается формулами:

X = x - l; Y = y, откуда можно вычислить производные:

X = _ 0; dl, ;

it=+1,o;

dx

(6.128)

d

dl

d

' dl

d

dl

d

dX

d

dl

d

dx'

d dX dX dl

Используем оператор последней строки формул (6.128) для дифференцирования по длине трещины в формуле (6.127):

1 •

f q ■4й • ds - . dV 1

-1.

fa •4u • ds - • dV

t

J 4 4l j 4l

(S) (V)

t

1

x

4

x

4

q

I

. (6.129)

Докажем, что первая квадратная скобка в этом выражении равна нулю.

Если тело находится в равновесии, то согласно принципу воз­можных перемещений вариация механического потенциала 8П на возможных перемещениях равна нулю:

(6.130)

8П = J 8w ■ dV - J q -8й ■ ds = 0,

(S)

(V)

где 8w и 8й — вариации удельной энергии и вариации перемеще­ний, которые могут быть заданы произвольно, но должны быть связаны друг с другом уравнениями теории упругости или теории пластичности (уравнения сплошности, равновесия, связи между деформациями и напряжениями, и т. п.). В частности, можно на­значить:

8w =^W,§l; dl

8й = du -8l.

dl

Если эти значения вариаций подставить в уравнение (6.130) и сократить его на 81, то левая его часть не будет отличаться от пер­вой скобки формулы (6.129). Следовательно, для тела, находяще­гося в равновесии:

ПЕРЕХОД К КОНТУРНОМУ J-ИНТЕГРАЛУ

(6.131)

Остается преобразовать первый интеграл, взятый по объему, в контурный:

ПЕРЕХОД К КОНТУРНОМУ J-ИНТЕГРАЛУ

(6.132)

ПЕРЕХОД К КОНТУРНОМУ J-ИНТЕГРАЛУ

Последнее равенство в (6.132) ясно из рис. 6.53б. Точки, в ко­торых вычисляются w(xj) и w(x2), лежат на контуре. При увели­чении у от ушіп до ушах в процессе интегрирования по у, точка х2 будет перемещаться по правой стороне контура против часовой стрелки, а точка х1 — по левой по часовой стрелке. Знак «минус» в контурном интеграле появится в связи с изменением угла между направлениями dy и ds при переходе контурного интеграла из од­ной половины контура в другую.

ПЕРЕХОД К КОНТУРНОМУ J-ИНТЕГРАЛУ

Остается только подставить последнее выражение (6.132) в (6.131). Тогда при единичной толщине получим:

(6.133)

Если получено распределение напряжений, деформаций и пе­ремещений по сетке конечных элементов и намечен наиболее удоб­ный для вычисления интеграла контур S вокруг вершины трещи­ны, то используя формулу (6.133), нетрудно написать алгоритм для вычисления J-интеграла.

Условие прочности (отсутствие старта трещины) проверяют по формуле:

J < Jc,

(6.134)

где Jc — вязкость разрушения этого материала, полученная экс­периментально по ГОСТ 25.506-85.

Оставить комментарий