Для определения местных деформаций и напряжений в сварных соединениях можно использовать решения отдельных задач теории упругости. При этом для соединений, состоящих из плос­ких элементов, применяются главным образом решения плоской задачи теории упругости.

При расчете различных элементов и деталей, в том числе и сварных соединений, плоская задача получается в тех случаях, когда одно из двух измерений поперечного сечения либо очень мало, либо очень велико по сравнению с другим. При этом раз­личаются два характерных случая: плоское напряженное состоя­ние и плоская деформация.

Плоское напряженное состояние имеет место, когда тонкая плоская деталь нагружена усилиями, действующими в ее плос­кости. В качестве примера можно привести плоские модели свар­ных соединений, используемые для экспериментального опреде­ления в них местных напряжений.

Считают, что напряжения в таких плоских элементах рас­пределены равномерно по их толщине. При плоском напряженном состоянии напряжений в направлении, перпендикулярном плос­кости пластинки, нет, но деформации возможны.

Плоская деформация имеет место, когда широкая деталь на­гружена усилиями, распределение которых не зависит от оси, направленной по ее ширине. В качестве примера можно привести сварное соединение широких листов, осуществляемое поперечным швом (расположенным перпендикулярно направлению действия внешней нагрузки).

В этом случае деформации по ширине пластины невозможны (за исключением граничных слоев), но зато в этом направлении возникают нормальные напряжения.

Отмеченные различия между плоским напряженным состоя­нием и плоской деформацией не исключают возможности примене­ния плоских моделей (находящихся в плоском напряженном сос­тоянии) для определения напряжений в различных сварных соединениях, состоящих из широких листов (находящихся в со­стоянии плоской деформации).

Это различие относится только к деформациям, тогда как по напряжениям (за исключением нормального напряжения по ширине) у них различий нет.

Связь между перемещениями и деформациями для обоих случаев плоской задачи выражается следующими формулами:

ди дх

dv

ег =

(IV. 1)

dv. ди — ~дх + ду ’

где гх и е} — относительные деформации в направлении осей х и у,

уху — угол сдвига в плоскости ху; и и о — перемещения в направлении осей хну соответ­ственно.

Выражения закона Гука для этих двух случаев плоской задачи содержат некоторые различия.

При плоском напряженном состоянии

~ £ (&х ЦС/,),

(IV. 2)

■ра*];

(IV.3)

Е 2(1+ц)

Уху 11ри плоской деформации в — 1 + Iі

~ £ (Ру Р^*)> 2(1+ц).

£ 1(1— Р) О; 1 - J - р

[(1 — ц)Оу — ра*];

Уху '■

VXy.

1

при этом

°г = Р (ах + Оу).

Здесь Е — модуль упругости;

р — коэффициент Пуассона; ах, о у и cz — нормальные напряжения в направлении осей х, у и г;

тху — касательное напряжение в плоскости ху. Методика решения плоской задачи сводится в основном к подбору такой бигармонической функции напряжений ф (х, у), которая удовлетворяет заданным граничным условиям.

Напряжения (при отсутствии объемных сил) определяются следующими формулами:

б2Ф ~ду*

д2Ф дх2

52ф

(IV.4)

дх ду