Основная идея рассматриваемого метода состоит в использо­вании для решения задач о синхронизации слабо связанных ме­ханических объектов вариационного принципа Гамильтона в со­четании с методом малого параметра и методом Галеркина. Этот метод был использован А. И. Лурье при решении задач о син­хронизации квазилинейных осцилляторов и неуравновешенных роторов (механических вибровозбудителей), установленных на некоторой системе упруго связанных одно с другим и с непод­вижным основанием твердых тел [1751. Общая - часть этого ис­следования изложена в п. 2 § 6 гл. 12, а результаты, относящие­ся к вибровозбудителям, в п. 6 § 8 гл. 3: Поэтому здесь мы огра­ничимся лишь изложением основных принципиальных моментов.

Вариационный принцип Гамильтона записывается в форме

2Я/0

6А б'ЛЛ-0, (6.1)

о

где

2Я/Ю 2Я/0

А = 5- І Ldf==V f (Г —П)чЙ (6.2)

о 'о

— среднее за период Т0 = 2л/со значение функции Лагранжа (Т — кинетическая, П — потенциальная энергия), 6 'А — элемен­тарная работа неконсервативных сил.

Далее при получении из (6.1) основного вариационного соот­ношения учитывается, что в задаче о синхронизации слабо свя­занных объектов функция Лагранжа системы представима в виде

£ = 2 Ls + fx(Z(I) + Z*), (6.3)

5=1

где Ls — функции Лагранжа объектов при неподвижной несу­щей системе тел, Lm = fxL(I) — функция Лагранжа несущей си­стемы тел при остановленных (закрепленных) на них объектах, L* = цЬ* — функция Лагранжа, учитывающая взаимодействие объектов с несущей системой, [х — как и ранее, малый положи­тельный параметр. В выражении для б'Л также выделяются малые слагаемые.

При использовании процедуры Галеркина в качестве формы решения принимается форма порождающего решения задачи о синхронизации слабо связанных объектов (см. формулы (1.3) гл. 2), а за неизвестные (варьируемые) параметры, определяе­мые с помощью вариационного принципа, параметры Oi, ..., а*.

Как показал А. И. Лурье, если считать величины oi, ..., а* постоянными, то из основного вариационного соотношения полу­чаются уравнения для определения этих величин, в точности совпадающие с основными уравнениями той же задачи о синхро­низации (см. уравнения (2.1) гл. 2), полученными применением метода малого параметра. Если же считать величины ai, a* медленно изменяющимися функция:,III времени, то из того же соотношения получаются приближенные дифференциальные уравнения, описывающие медленный процесс установления син­хронного режима. Из этих уравнений, в частности, следуют те же условия устойчивости синхронных режимов, что и получае­мые для того же класса задач методами Пуанкаре — Ляпунова.

Отдельные элементы рассматриваемого метода встречались в работах предшественников А. И. Лурье, посвященных решению иных задач (см., например, [153, 2391); здесь важно, однако, имеппо удачное сочетание этих элементов. Заметим также, что близкий метод был использован Уиземом [265] при решении за­дачи о распространении волн в нелипейных средах без диссипа­ции энергии. А. И. Лурье характеризует изложенный, метод как эвристический прием, не претендующий на строгость. Однако совпадение результатов решения задачи этим методом и иными «строґими» методами (см. п. 2 § 6 гл. 12) несомненно свидетель­ствует в его пользу. Можно ожидать, что данный метод найдет широкое применение прн исследовании периодических и син­хронных движений сложных динамических систем.