Закон сохранения энергии для объемного элемента, через который наблюдается течение, может быть сформулирован аналогично закону сохранения импульса [ I ]:

Изменение внут­ренней и кинети­ческой энергии за единицу времени

Возрастание внут - Потери внутренней и

кинетической энергии вследствие конвекции за единицу времени

ренней и кинети­ческой энергии за единицу времени

(4.12)

Изменение внут­ренней энергии за счет проводимости за единицу времени

Работа, выполняе­мая системой над окружающей средой за единицу времени

Изменение внутрен­ней энергии за счет источников тепла за единицу времени

Кинетическая энергия трактуется как энергия, непосредственно связанная с дви­жением жидкости. Внутренняя энергия интерпретируется как энергия, непосред­ственно связанная с движением молекул и межмолекулярным взаимодействием; она зависит от локальной температуры и от плотности жидкости.

Вывод уравнения энергии для декартовой системы координат можно найти, на­пример, в работе [ 1 ]. Это уравнение выглядит следующим образом:

(4.13)

д dt

а Н у ду у

р U + — pv2

дх^х

1 , PE/ + - PV2

1 , pU + — pv2

1 Л а ри+2 pvT&v*

(дЯх д% dq 1 — -|------------ дх ду dz j

( а а а + р(ухёх+V*+ VA) p''/*+typ' vy V p

a a a

+ ф.

^ (w+Txyvy + w)+ jy (туЛ+VV+ + &(T^ + Vv + w)

В обобщенной векторной символике уравнение принимает вид: а

( 1 -0			( 1 ^
	-	V pv	t/+-V2J
	_

dt

Изменение энергии за единицу времени па единицу объема

Vq +

Изменение энергии за Изменение энергии за единицу времени на единицу единицу времени на единицу объема за счет конвекции объема за счет теплопровод­ ности

(4.14)

+ рОЪ)

V(p-v)

V(t-v) +

Ф-

Изменение энергии за единицу времени на единицу объема за счет сил гравитации

Работа сил Работа в единице Изменение внутреи-

давления в объема за единицу ней энергии за счет

единице объема за времени вследствие внешних источни-

единицу времени сил вязкости ков тепла

Здесь q — вектор потока тепла (с компонентами qx, qy, qz), a v2 = ?х + v* + v^.

После преобразования в субстанциальную форму уравнение (4.14) приобретает вид [1]:

D ( 1 Л

р—|^У + —v2 = - V<f + p(yg) - V/?v - V(tv) + ф. (4.15)

D(i

Как было показано в работе [1], вычитая из этого уравнения выражение

,получаем

DU ' Dt

-V? Изменение энергии на

p(Vv)-

Восстанавливаемая часть

Изменение внутренней г - --------- энергии на единицу объема единицу объема за единицу работы па единицу объема за

единицу времени за счет сжатия

времени вследствие тепло­проводности

за единицу времени

(4.16)

Ф - Изменение энергии в единице объема за единицу времени за счет источников тепла

- (т : V v) Невосстанавливасмая часть работы в едини­це объема за единицу времени за счет диссипации энергии вследствие вязкости (работа сил трения в текущей среде)

Диссипационный член выглядит следующим образом:

’X ^ + —- ду дх

dv.

dvv

т : Vv = xvv —— + —— + т__ —— хх дх уу ду 22 dz

+ т

(4.16.1)

•г + fO дх dz

dv.

dv.. dv.

+ т.

+ т

-уг

dz

дУ

Во многих случаях уравнение энергии (4.16) удобнее формулировать в терминах температуры и удельной теплоемкости вместо внутренней энергии. Как показано в работе [1], при постоянном давлении:

dU= с dT-pdv

(4.16.2)

где vp — удельный объем. Следовательно

DU

DT

(4.16.3)

Р — “ f^p — - РР — Dt ^ Dt Dt

При этом

DT дТ — - — + (v • V)T, Dtdt

(4.16.4)

что вытекает из определения субстанциальной производной

Dvv 5vv р— = р — +P(v-V)v Dt dt 1

(4.16.5)

а также

Из уравнения (4.16) получаем

(4.17)

дТ _ _

рср — + (v-V)T = - Vq-i: W + ф.

В соответствии с законом теплопроводности Фурье вектор теплового потока пропорционален изменению температуры:

(4.18)

(4.19)

рср — + (v - V)T = - X V*T - т : Vv + ф.

Уравнение (4.19), пригодное для расчета температурных профилей течений в экс­трузионных головках, кроме диссипативного члена содержит еще один член, ф, учи­тывающий влияние дополнительных источников тепла. Этот член следует принимать во внимание, например, в случаях, когда в процессе течения происходит химическая реакция с выделением тепла. При моделировании процессов, протекающих при пере­работке термопластичных материалов, этим членом обычно пренебрегают. Однако при рассмотрении композитных материалов, образующих поперечные связи, может возникнуть необходимость учета данного члена.