При анализе упругопластических задач с концентраторами помимо уравнений равновесия используются физические уравне­ния, связывающие компоненты девиатора напряжений (аи - стт) и Tjj с компонентами девиатора деформаций (eu - ет) и Уц/2 формула­ми, аналогичными уравнениям закона Гука. Вместо модуля упру­гости в этих уравнениях используется отношение 2ст;/3ег:

2СТ; . ,

3е- " xx Єт);

(3.99)

Здесь гидростатические напряжения ат и объемная деформа­ция ет определяются формулами:

_ CTxx + Vyy +

3

ехх + е„„ + czz (3.100)

3

Они связаны друг с другом линейным законом Гука

Е

°т = Т^ЕТ^' ет. (3.101)

Формула (3.101) получается в результате суммирования трех правых частей и трех левых частей трех уравнений линейного за­кона Гука (3.99).

Интенсивность деформаций et можно представить как сумму интенсивностей упругих деформаций ei и пластических дефор-

маций ep:

где

A — модуль упрочнения материала, равный ст; при деформации ep = 100%; n — показатель упрочнения материала, равный углу наклона диаграммы нагружения материала, построенной в двой­ных логарифмических координатах [lg(a г), lg(ep)].

Если левые части трех уравнений (3.99) для нормальных на­пряжений попарно вычесть друг из друга, а уравнения для каса­тельных напряжений поделить на у/2, то можно получить легко запоминающуюся цепочку равенств:

axx - Vyy ®yy - CTzz <Угг - <3ХХ Xxy xyz Tzx _ 2 <3j

xx eyy eyy ezz ezz exx (Ixy/2) (у yz/2) (у zx/2) 3 e ■

Указанная выше система уравнений используется только при численных методах решения задач о концентрации напряжений, например, при методе конечных элементов. Но эти решения по сути представляют численные эксперименты. Их результаты дают только отдельные точки на исследуемых зависимостях. Их нель­зя экстраполировать.

При попытках аналитического анализа прибегают к различ­ным упрощениям и гипотезам. Например, при анализе условий зарождения хрупких разрушений, судя по экспериментальным результатам, в первом приближении можно предполагать, что законы распределения напряжений в упругой области минималь­ного сечения у концентратора не изменяются при появлении ма­лой пластической зоны. А в пределах пластической зоны макси­мальных напряжений Ст! ограничиваются условием текучести: СТ! = л • стт.

Результаты такого расчета эпюр напряжений в упругопласти­ческой области нагружения пластины с центральным отверстием остротой t/p = 20 при относительной ширине пластины B/t = 3 и плоской деформации показаны на рис. 3.45. Рис. 3.45а охваты­вает всю ширину минимального сечения пластины (2t = 40p). Но в этом масштабе область с высокой концентрацией напряжений

выглядит очень мелко. Поэтому на рис. 3.456 те же кривые пока­заны на 1/10 минимального сечения по ширине пластины.

Построение выполнено следующим образом.

1. Задаваясь произвольным значением параметра нагрузки р, например равным 1, по формулам (3.28) были вычислены кривые распределения напряжений (ах, ay и стг) при упругом состоянии материала и плоской деформации. На рисунке эти кривые показа­ны пунктиром.

2. Задаваясь уровнем напряжений предела текучести, напри­мер стт = 2,5р, было построено распределение напряжений в пла­стической области. Для этого сначала вычислена жесткость на­пряженного состояния л(у1) по формуле (3.48). Затем эту функцию умножили на отношение напряжений предела текучести к р, т. е. на 2,5. На рис. 3.456 соответствующая кривая обозначена как ^ • стт. Это график распределения максимальных главных нормальных напряжений в упругопластической области (жирная восходящая кривая).

3. Точка пересечения кривых ст1 = ^ • стт и ах при упругом ре­шении соответствует границе упругопластической области, в ко­торой напряжения упругого решения ах (прерывистая кривая) за счет пластических деформаций гХр снижаются до уровня напря­жений текучести: ах = ст1т = ^-стт. Зона этих пластических дефор­
маций (точнее, зона гХр • E) показана на рис. 3.45 горизонтальной штриховкой.

4. Далее изменили масштаб графика по оси ординат: шкалу а/р разделили на ат/р = 2,5 и получили более понятную шкалу а/ат, которая построена на рис. 3.45.

5. После этого можно найти средние напряженияр0, действую­щие в брутто-сечении пластины с шириной 2Б:

где через ут обозначена граница упругопластической области. На рис. 3.456 ут = 0,8р.

Таким образом, эпюра напряжений на стадии локальной теку­чести в первом приближении построена.

Теперь в нее можно вносить уточнения. Так, можно перейти от плоской деформации к обобщенной плоской деформации, уточ­нив отношение напряжений р0 по формуле (3.49) с учетом вычис­ленного выше значения р0, и далее, пересчитав л по формуле (3.48), найти Ст! = л • ат. Это уточнение изменит размер упругопластиче­ской зоны ут и р0. Если изменения значительны, придется снова пересчитывать задачу.

Можно учесть, что пластические деформации в зоне, заштри­хованной горизонтально на рис. 3.45, происходят без изменения объема. Для них коэффициент Пуассона н = 0,5. Поэтому дефор­мация sz получает дополнительное приращение:

ASz =Єх • (0,5-0,3) = ^-E:^.0,2,

что приводит к увеличению напряжений az на

ACTz = 0,2(стх - л ат),

где напряжения ах вычислены по формуле (3.28) для упругого по­ведения материала.

Эта поправка приводит к некоторому повышению жестко­сти напряженного состояния и повышению напряжений ^ в уп­ругопластической области (исправленная линия а на рис. 3.456 показана тонкой сплошной кривой).

Естественно, что такой анализ пригоден только в пределах ло­кальной текучести и только тогда, когда в упругопластической зоне в направлении осей у и z напряжения с учетом всех добавок не превышают напряжений ах.