Пусть параметры всех часов с точностью до величин более высокого порядка, чем ц одинаковы. Тогда согласно. (1.3), (1.14),

(1.6) будем иметь

а, = а, %s = %, v. = v, р. = р, ?« = ?, (2.1)

и после перехода от неизвестных а, кг, ия|з, уравнения (1.15) при учете (1.12) и (1.13) запишутся в форме

|дPs = — itrh ib 2 г, ег№-^) а (1 — vr®) rsel(^-^) —

j=i

— ib 2 r^-b) — a (l — vrf) rke^~^ 1=0 (s = 1, • • •> ft)* 3=1 J

где обозначено

Ь = - Р?/(Х“-1). (2.3)

Рассмотрим те решения уравнений (2.2), которые соответству­

ют колебаниям всех маятников с одинаковыми амплитудами

П = ... = rh = 1/Vv, (2.4)

совпадающими, как нетрудно видеть, со значениями амплитуд при

отсутствии связи между часами, т. е. при неподвижной платфор­ме lb = 0). Для указанного случая, отделяя в уравнениях (2.2) ве­щественные и мнимые части, получаем следующие 2к равенств, которым должны одновременно удовлетворять к постоянных ■фь • • 1|V

h h k. h

2 cos я|^ — 2 cos M’s — 'Фі), 2 sin i[}j = 2 sin (ij>s — ijjj), (2.5)

3=1 3=1 3=1 j=l

Vk=0 (s = l, ..., k).

Равенство ф* = 0 присоединено к этим уравнениям в соответствии с (1.13).

Уравнения (2.5) удовлетворяются, в частности, если

фі = ... — - ф* = 0, (2.6)

что соответствует колебаниям всех маятников с одинаковыми фа­зами. Однако уравнения (2.5) допускают, как легко видеть, так­же и множество решений, удовлетворяющих условиям

к к

2 cos = 0, 2 sin = 0, = 0. (2.7)

j- І 5=1

Эти условия эквивалентны требованию, чтобы к векторов es еди­ничной длины, один из которых (ек) направлен вдоль оси Ох плоскости хОу, образовали в этой плоскости замкнутый много­угольник (см. рис. 8, где, однако, теперь следует считать | es | = 1). Для случаев к = 2 и к — 3 существует только но од но, му такому многоугольнику, а для к > 3 — бесконечное множество много­угольников. Это свидетельствует о том, что для числа часов, боль­шего трех, фазы “ф* не определяются однозначно из уравнений

(2.2) ; для их нахождения согласно замечанию 8) § 7 гл. 10 следу­ет рассмотреть следующие приближения.

В числе решений, удовлетворяющих условиям (2.7), отметим (при произвольном к) решения вида

IPs = І (J = 1, ■ • •, к — 1), Ч’ь = 0, (2.8)

которым в плоскости хОу соответствует правильный А’-угольник, т. е. фазы являются равномерно распределенными, а также (при четном к) решения вида

фі = ... = 4V2 = п, 4V2+1 =... = % = О, (2.9)

которым соответствуют колебания одной половины всего числа ма­ятников в противофазе по отношению к другой половине маят­ников.

Таким образом, синхронизация часов в принципе всегда воз­можна, если их одноименные параметры достаточно мало отлича­ются один от другого. Разумеется, необходимо убедиться еще в устойчивости соответствующих решений; как будет показано ни­же, этот вопрос решается положительно, по крайней мере, в слу­чае двух часов. Здесь же отметим, что для решений типа (2.4),

(2.6) и (2.7) дополнительное условие устойчивости (1.19) выпол­няется при любом числе почти одинаковых часов, ибо оно обес­печивается положительностью коэффициента сопротивления пх.

Рассмотрим подробнее случай двух часов. В этом случае урав­нения (2.2) допускают два решения

г=г2 = Vv, г|зі = 0, г|з2 = 0,

_ (2.10)

П = г2 = Vv, г|п = я, — 0,

отвечающие соответственно синфазным и противофазным движе­ниям маятников. Обращаясь к исследованию устойчивости этих ре­шений при учете (1.15), (2.1) и (2.10), для к —2 находим

д faPJId ах = (а + /]/v, д {кРг)Юа2 = [aj'h - ib)/[Av,

д (иРЛ)/да3 = (аег;,‘і + ibe4' A/tfv, д (цР*)/^ = - ib/Vv, (2.11)

д (|іР2)/5а2 = (2а + іЬе~г^)/У v, д (іР2)/да3 = ib/У v,

д ((iPsVSot! = ae~ibh/Yv, д (цР3)/да2 = - ае**i/j/v,

д (іРв)ідаа = (а — 2іЬе_,11і)/і/v.

Составив теперь уравнение (1.17), легко найдем, что его корни оказываются одинаковыми для обоих решений (2.10):

К] = — 2р, а, я2_з = |Л—а ± Уа2 — 4Ь2] (2.12)

п имеют отрицательные вещественные части, если только а > 0, что обычно и предполагается.

Таким образом, в рассматриваемом случае, вне зависимости от соотношения между частотой колебаний маятников со и частотой свободных колебаний платформы рх — Усх/А1, устойчиво как син­фазное, так и противофазное синхронное движение маятников; при этом, как нетрудно видеть, в случае противофазных колеба-

14 И. И. Блехман ний платформа остается практически неподвижной, т. е. имеет место парадокс неработающих связей (см. § 3 Введения и п. 7 § 14 гл. 3).

В работе [60] показано, что этот результат распространяется на случай, когда платформа имеет не одну, как здесь предположено, а три существенные степени свободы. Как отмечалось во Введе­нии, противофазные синхронные колебания двух номинально оди­наковых часов и наблюдались Гюйгенсом в его известных опытах, а синфазные и противофазные — в опытах, поставленных в ин­ституте «Механобр».