Сопоставление результатов с данными

некоторых астрономических наблюдений и вычислений

Получим детализированные выражения потенциальной функ­ции D«<(£ЛН))> для ряда случаев, когда орбиты всех тел ти ____ mh, рассматриваемых как точечные массы, лежат в од­

ной плоскости; это условие достаточно хорошо выполняется для больших планет Солнечной системы и многих их спутников. За­тем мы найдем путем использования интегрального критерия (экстремального свойства) возможные значения относительных фаз движения двух тел по орбитам в устойчивых синхронных (рсзонапсных) движениях и сопоставим эти значения с данными некоторых астрономических наблюдений и вычислений.

При задании эллиптических орбит и движений тел по этим орбитам, соответствующих порождающему решению (так назы­ваемому нево<змущенному кеплеровскому движению), будем ис­пользовать принятые в небесной механике величины и соответ­ствующие обозначения (см., например, [121]); в случае, если эти обозначения совпадают с принятыми в остальной части кни­ги обозначениями иных величин, снабдим их знаком «*».

Пусть неподвижный притягивающий центр (центральное те­ло то) расположен в некоторой точке О (рис. 46) и пусть ON — некоторое фиксированное направление (плиния узлов»). Направления 0|., к перицентрам орбит («линии апсидь) будем задавать углами со* («угловыми расстояниями перицентров от узла»). Эллиптическая орбита тела ms задается тремя парамет­рами (элемептами): углом большой осью а„ н эксцентриси­тетом es. Положение тела на орбите определяется полярными координатами г„ и v„ причем полярный угол vs («истинная ано­малия») отсчитывается от линии апсид 0|s.

Справедливы следующие разложения по степеням эксцентри­ситета es [121]:

rs = as [l — escosr£ (і — t,) + ...], vt — n* (t — ts) + 2e6 sin n* (t — xs) + ...,

где и*—средние угловые скорости обращения. тел по орбитам,

Рас. 46.

называемые в небесной механике средними движениями (в ос­тальной части книги эти величины, представляющие собой ча­стоты движений изолированных объектов, обозначались через со8 или с, со,). Между к* и а, справедливы соотношения

2 п1Тг = п* = Um0)1/2a~3;°, (3.2)

выражающие третий закон Кеплера (Т. — периоды обращений тел). Величина т, в выражении (3.1) представляет собой момент прохождения тела тпа через перицентр: при t = т„ имеем і = 0.

Угловое положение тел тп, относительно неподвижного на­правления ON определяется углом

щ = + vs = со* + п* (t — ts) + 2essin nl [t — rs)+ (3.3)

называемым аргументом широты. Порояодающее решение, та­ким образом, в рассматриваемой задаче может быть задано выражениями

Г, = О* [1 — е, cos и* (t — ts) + ...],

Щ = соГ + п* (t — т,) + 2es sin п, (t — г,) + ... ] (3.4)

(в = 1, • • •, At).

Это решение содержит 4к произвольных постоянных: 3к посто­янных а», es, со*, определяющих эллиптические орбиты тел, и к постоянных <й„ — »*т8, играющих роль начальных фаз а. в соотношениях общей теории; именно эти последние постоян­ные (или связанные с ними постоянные т.) и подлежат опреде­лению на основе интегрального критерия устойчивости. Напом­ним, что также фигурирующие в (3.4) постоянные ns (средние движения) не являются независимыми, а выражаются через а, соотношениями (3.2).

Замечая, что декартовы координаты тел т, определяются равенствами х, = г. cos и, и у, = г, sin и, (см. рис. 46), предста­вим, coraacHQ (2.5), выражение для функции <(£/(Т1))> в форме

<(£/<”> >-*/££ <■ ' , ^ , N (3.5)

«=і і=і V+г! - 2Vicos (**. - ui) /

или при учете разложений (3.4) в виде «

ft к

<(0>- 2

4_ 2е /__________________ ^ _____________________ (3 6

Я . { _1_ „2 9/Т п. рпс Г (р* — п. t - і - Г£ . 1 13/2 / I ’

~f 1 “j ^/Г? I V's 3) ’ ' ' '

где обозначено

Сtsj = — = со* — — ns Te + njxj, ■ (3.7)

Asi (t) = a cos n* (t — xs) — asaj {cos [n* (t — tj) - f w* — co*] +

sin n* (t — ts) sin [{ns — n*) t + as-},

а невыписанные члены имеют относительно эксцентриситетов е, порядок не ниже второго.

Выполнив операцию усреднения, получим

Я~<(с/(П))>=,

= _

2"172 а £ l^l-cosa - 4 «И '

* * * j'f *

ns “ nj n« / ПІ =*/( *±D

Г ПТ (Pjs) / I » h / * .. . /г»

— Zje - (Zj5; — D3 (zi£j I/ cos *n£Ts - f- p£jasj; + -.(й. о;

+

где

Zjt = dj/dg = ^ , Pei — nj(ns Wj), <7gj =

= (2и* — n*)/ (и* — щ), (3.9)

а через ЬзГ) (z) = Ьз-Г) (z) обозначены коэффициенты в раз­

ложении

оо

(1 + z2 — 2z cos Х)~я/2 = Y 2 Ь(3Г) (z) cos rX, (3.10)

Г——со

называемые коэффициентами Лапласа и выражающиеся через полные эллиптические интегралы [2591; в (3.8) опущено не су­щественное для дальнейшего слагаемое, не зависящее от • • со, — и*т.

* *

Соотношение к* —Щ, записанное под первой двойной суммой, указывает на то, что в ней учитываются лишь слагаемые, соот­ветствующие всем имеющимся телам с одинаковыми средними движениями ns (а значит, согласно (3.2), также и с одинаковы­ми полуосями а,). Соотношение п&/щ = 11(1 ± 1), записанное под второй двойной суммой, указывает, что учитываются лишь слагаемые, соответствующие всем имеющимся парам тел, сред­ние движения ns и и, которых относятся как последовательные целые числа (I — целое число, IФ 0, I ± 1 Ф 0).

Из выражения (3.8) следует, что в рамках проводимого рас­смотрения в случае чисто кругового плоского движения тел возможна лишь простая (некратная) синхронизация; при эллип­тических орбитах с малыми эксцентриситетами е, рассмотрение членов первого порядка относительно еs в разложении усреднен­ного потенциала <(£/(11>)> позволяет учесть взаимодействия, ко­торые могут привести к синхронизации тел со средними движе­ниями, относящимися как последовательные целые числа («ре­зонансы титта nl/rij = 1/(1 і 1)»)-Нетрудно убедиться, что если учесть члены более высокого порядка по е, в разложении <(f/(II>)>, то будут учтены взаимодействия, могущие привести к синхро­низации тел с ЩІЩ = п!(п + д), где д = 2, 3, ... Разумеется, однако, что при малых эксцентриситетах указанные взаимо­действия будут более слабыми, чем при п* = п* и прп п.}п - = 11(1 ± 1), ибо соответствующие члены в разложении <(С/(11))> имеют относительно эксцентриситетов е8 более высокий порядок малости.

Рассмотрим подробнее простейшую орбитальную систему,! состоящую всего из двух обращающихся теп (h = 2).

Пусть сначала орбиты круговые и п — п = тогда также п аі = аг = а. При этом согласно (3.8)

1 / m! m2

(3.11)

21/2 “ ]/1 — cos а12 и минимуму потенциальной функции соответствует значение а1а == озГ — (о2 - f п* (т2 — ті) — я-

* л * А

В данном случае можно положить Юх = U и со2 = U, поскольку

любую точку круговой орбиты можно принять за ее перицентр.

Рис. 47.

Таким образом, условие устойчивости, вы­текающее из интегрального критерия, вы - щ полняется для «противофазного» движе­ния тел, т. е. для движения, в котором тела расположены по концам одного и того же диаметра окружности (рис. 47).

Рассмотрим теперь случай двух тел, движущихся в одном направлении по эл­липтическим орбитам с малыми эксцен­триситетами, причем предположим, что среднее движение второго тела, происхо­дит в два раза быстрее, чем среднее движение первого. Тогда согласно (3.2), (3.7) и (3.9) имеем

пі = п*, п* = 2п*,

--'aja2 = {nl/nl)2/3 = 22/s = 1,59, z2t = l/z12 = 0,629;

12

9,1*

п*т2 -(- П*Ті,

oh

a12 = ©і — co2 — n*Tj - f 2п*т2, a2l = co2

1, Pz1 =

Piz —'

= 2, = 0,

2 n«

■= 3,

9a

(3.12)

и выражение (3.8) приводится в виду

w / ✓

= 4- -7- z21 {2Ь(3г) (zsl) — z21 [ЗЬ(32) (z21) —'b£0) (z2i)]) cosr(2»*T — to*) + 4 2

-f " —- 12Ьз2) (zj2) — zI2 [ЗЬУ' (zJ2) — 0s3> (zj2)]} cos 2 (п*т — w*).

Здесь обозначено

т* = т2 — т*, со* = о>2 — coj. (3.14)

При z и = 1,59 и Z21 = 0,629 имеем следующие значения для

коэффициентов Лапласа: (zls) = 1,23; Ь(82) (z12) = 0,913; Ъ'33) —

= 0,649; Ь(30) (2И) = 6,03; Ь(3г) (гг1, = 4,82; Ь(32) (zal) = 3,66. Под­ставив эти значения в выражение (3.13), находим оконча­тельно

= - J— [4,11е1 cos (2и*т — со*) — 3,00escos 2 (и*т — to*;J =з *

= Ж cos (2и*т — 6), (3.15)

где • •

Ж — V 16,9 е + 9,00el — 24,cos ш*,

Ж cos 6 = 4,11ех cos со* — 3,00е2 cos,2co*, (3.16)

,М sin 6 = 4ДІЄ! sin со* — 3,00е2 sin 2со*.

Отсюда в соответствии с интегральным критерием устойчиво­сти (экстремальным свойством) следует, что устойчивому син­хронному движению может соответствовать значение разности моментов прохождения телами через перицентры, определяемое выражением

т = т2 — Ті = (б + ті)І2п*, (3.17)

значению же т = 6/2и* соответствует неустойчивое синхронное движение.

Рассмотрим два еще более частных случая. В первом случае предположим, что е — 0, т. е. «внешнее» (наиболее удаленное от притягивающего центра) тело mi имеет в невозмущенном движении круговую орбиту (рис. 48, а). При этом можно, не на­рушая общности, положить со* = <о2 — cDi = 0, ибо, как уже от­мечалось, любую точку окружности можно принять за перицентр. Согласно (3.15) в данном случае

. D»<(t7(n))> = -/-^-J-cos2n*x

и устойчивому движению соответствует значение

т. е. в устойчивом синхронном движении взаимное расположение тел таково, как показано на рис. 48, а. В астрономии и небесной

механике в этом случае говорят, что соединения и противостояния тел {при их наблюдении с центрального тела) происходят при прохождении внутренним телом своего перицентра.

Рис. 48.

Во втором случае допустим, что ег = 0, т. е. окружностью является невозмущенная орбита внутреннего тела тпц. Полагая, как и выше, со* = 0, из (3.15) для этого случая получим

D « < (с/(п))> =/ A cos 2п*г

4 й2

и найдем, что для устойчивого синхронного движения

т = тг — ті = п/(2п*). (3.19)

Соответствующее такому движению взаимное расположение тел показано на рис. 48,6; говорят, что в этом движении соединение тел происходит при прохождении внешним телом своего апо­центра, а противостояние — при прохождении им своего пери­центрач

Сопоставим теперь полученные результаты с данными неко­торых астрономических наблюдений и вычислений.

Как указывается, например, в работе [100], спутники Са­турна Диона и Энцелад имеют периоды обращения соответ­ственно Ті = 2,73691 суток и Ї2 = 1,37028 суток, т. е. отноше­ние их средних движений n^fn = Т-у! Т^ = 1,99734 как раз весьма близко к двум. Орбиты обоих спутников лежат в одной плоскости, а их эксцентриситеты составляют соответственно Єі = 0,0021 и ег = 0,0045. Если принять приближенно, что эксцентриситет Дионы ei «0 (о возможной при этом погреш­
ности см. ниже), то будем иметь как раз первый из рассмотрен­ных выше частных случаев, когда соединение тел в устойчивом движении должно происходить при прохождении внутренним телом своего перицентра. Этот результат вполне соответствует наблюдениям:, последние свидетельствуют о том, что соединения Энцелада и Дионы всегда происходят вблизи перицентра Энце - лада (см., например, [100]; отметим, что в цитированной работе приводятся качественные соображения в пользу устойчивости соответствующего движения спутников типа Энцелад — Диона).

Таблица 4 . Элементы орбит Нептуна и Урана (на 7 января 1979 г.) Элемент Планета Среднее движение * ns Эксцент­ риситет е* Средняя аномалия 8ІІОТИ 'Ж0з Долгота восходя­щего УЗЛР 8 Долгота перицент­ ра я« Наклоне­ ние ** Нептун (*=1) Уран (s=2) 0,0060 0,0117 0,00984 0,0491 196,89° 52,70° 131,53° 74,01° 61,63° 170,12° 1,772° 0,771°

Рассмотрим теперь данные, относящиеся к двум планетам Солнечной системы — Урану и Нептуну, средние движепия кото­рых также относятся примерно как 2 :1 = 0,0117/0,0060].

В таблице 4 приводятся значения элементов, характеризующих положение и движение указанпых планет на 7 января 1979 г.; эти значения взяты из издания І.12І.

Поскольку взаимное наклонение орбит і = і2 — ц мало, то дви­жение планет можно считать происходящим в одной плоскости. Кроме того, ввиду отсутствия среди больших планет Солнечной системы других планет с отношением средних движений к сред­ним двия? ениям Нептуна и Урана вида l!l± 1) (см. § 5; исклю­чением является Плутон, однако, его масса более чем в 7000 раз меньше, масс Урана и Нептуна) влиянием остальных больших планет на синхронизацию в системе Солнце — Нептун — Уран допустимо, согласно сказанному ранее, пренебрегать. Тогда мож - но ожидать, что к этой системе будут приложимы результаты, изложенпые выше для случая двух тел с отношением средних движений щ/щ =2:1. Проверим это предположение.

Между Л0п Qs, яя и использованными ранее элементами ®s, ts справедливы соотношения (см., например, [1211)

(3.20)

— Jls fis, .ЖOs — ns (Іц Ts),

Если, как п в предыдущем примере, положить приближенно е = 0, т. е. считать орбиту Нептуна круговой, то из условия ми­нимума выражения (3.15) при учете (3.21) получается п*т = = (о* = 166°, т. е. всего на 5° меньше значения (3.22), опреде­ленного на 7 января 1979 г. Однако в рассматриваемом случае ввиду наличия более подробных данных можно найти величину п*т и по более точной формуле (3.17). Согласно табл. 4 имеем

где t0 — начальный момент времени t. Отсюда при учете данных табл. 4 находим

(О* — — ^2 ^2 — (Я1 ^~l) —

= 170,12° - 74,01° - (61,63° - 131,53°) « 166°, (3.21)

11* (т2 — Ті) = п*т = Л! 171°. (3.22)

Ж cos б = 4,11 • 0,00984 cos 166° — 3,00 • 0,0491 cos 332° = — 0,169; Ж sin б = 4,11 • 0,00984 sin 166° - 3,00 • 0,0491 sin 332° = 0,0789;

откуда б = 155° и в соответствии с (3.17) пт* = 0,5 (155° + + 180°) = 167,5°, что еще ближе к значению п*т = 171° согласно

(3.22).

Таким образом, теоретические результаты, вытекающие из интегрального критерия устойчивости (экстремального свойства) синхронных движений, находятся в хорошем согласии с данны­ми астрономических наблюдений и вычислений.