Во многих задачах о синхронизации механических систем обобщенные координаты могут быть выбраны таким образом, что часть ив них <pi, ..фг, является вращательными и в синхрон­ных движениях изменяется по закону, близкому к равномерному вращению, причем связи между соответствующими степенями свободы могут считаться слабыми; прочие обобщенные коорди­наты щ, ..., uv являются колебательными. Иными словами, син­хронные движения указанных систем имеют вид

Ф« = as[ns(ot + ос, + рдЬ„(а>£)] (s = 1, ..., к),

(4.1)

иг = Ur((Ot) (г — 1, ..., v),

где о, = ± 1, пе — взаимно простые целые положительные числа, а. — постоянные, а г]з, и ит — периодические функции і с перио­дом 2я/(о, причем можно считать, что <^,(<of)> = 0. К рассмат­риваемым системам относятся, в частности, многие вибрацион­ные машины и установки, гибкие валы с неуравновешенными дисками, устройства для динамической балансировки неуравно­вешенных роторов, а также электромеханические системы с па­раллельно работающими синхронными машинами, некоторые си­стемы, изучаемые в небесной механике (см. вторую часть книги).

В соответствии с предположениями о характере изучаемого синхронного движения считаем, что, по крайней мере в его окрестности, уравнения Лагранжа для рассматриваемых систем могут быть представлены в форме

JS<PS + M<PS — <Wo) =цФ8 (s = 1,..к), (4.2)

<§Ч(L) = $0> + vQ™ (г = 1,..., v), (4.3)

где L = Т—П — функция Лагранжа системы (Г — кинетическая,

П — потенциальная энергии)

= Is<ps + ks (<ps — osnsa) — ^<Fs (L) + Q™,

(4.4)

&q=-jt—;---------- =r-—эйлеров оператор, соответствующий обобщен-

dq

ной координате q. L и к, — положительные постоянные, a Q™ И Q'r^ + iiQ? — некопсерватпвпые обобщенные силы. Считает­ся, что функции L, и QT могут быть 2я/<в-периодически-

ми функциями времени t и что характер зависимости этих функ­ций от <р, и от t таков, что после подстановки выражений (4.1) они становятся (или остаются) 2я/ю-периодическими функ­циями t.

Отвечающая уравнениям (4.2), (4.3) порождающая система допускает для вращательных координат систему решений

ф° — сг8 (ns&t + as) (s = 1,..., к), (4.5)

зависящую от к произвольных параметров ai, ..ah. Пусть

к? = и®(й)і, аЛ)в (r = l,...,v) (4.5')

— соответствующее 2зх/ш-периодическое решение порождающих уравнений для (4.3), предполагаемое существующим и асимп­тотически устойчивым при всех рассматриваемых значениях

гхи ■ ■«Л-

В указанных предположениях использование теоремы § 2 гл. 10 легко приводит к следующим основным уравнениям задачи (см. также [57]):

Р, («и• • •, а*) з-<(Ф.)>^т-(ІГ + ^Н

8 8 S /

^(^+Л») = 0 (« = 1,.(4.6)

где обозначено

Л = Л (аи..., «О = <(£)>, Л0 = <<А)>,

L0 = L-^LS, А, = as<ВД> + ^ (^0>)їг/• <4-7)

8=1 т= 1 «

Здесь величины Ls = Ls(tp„, ф„) — «собственные» функции Лагранжа, причем в силу (4.5) <(Z, S)> = 0. Уравнения (4.6) мо­гут быть истолкованы как уравнения равновесия средних момен­тов или как уравнения баланса энергии, подводимой к s-му объ­екту и расходуемой им. При этом производные дА/да, = дАо/да, по физическому смыслу представляют собой средние моменты, которые зачастую не связаны с притоком или потерями энергии в системе, а характеризуют лишь перераспределение энергии между объектами, необходимое для синхронизации. Это имеет место, например, если функция Лаграпжа системы L не зависит явно от времени t и поэтому замеиа ы1 на ші + а0 в решениях

(4.5) не должна изменять значения Л, т. е.

A(ai + Иі«о, ..ос* + nhoq) = Л(ссі, ..., ocj.

Дифференцируя это тождество по ссо-, получаем равенство

ІЯІГ = <>: <м»

8=1 *

и тогда, складывая уравнения (4.6), умноженные на njts, прихо­дим к соотношению

2 М. = 0, (4.9)

8=1

которое является уравнением баланса энергии в системе (в по­рождающем приближении) и в случае задачи о внешней синхро­низации служит для определения исходного приближения к син­хронной частоте ю. Подчеркнем, что функция Л(«і, ..., а*), в силу сделанных естественных предположений о характере за­висимости функции Лагранжа системы L от переменных <р„ яв­ляется 2л-периодической по каждой из фаз ai, ..., ah. Именно это обстоятельство при условии достаточной малости функций А, и выполнения некоторых требований весьма общего характе­ра обеспечивает тенденцию к синхронизации в рассматриваемых системах (см. § 7).

Величина А„ которую можно назвать избыточным моментом s-го объекта представляет собой средний момент неконсерватив­ных сил, приведенных к координате <р,; она является разностью между притоком и расходом энергии при синхронном движении s-ro объекта. Эта разность как раз и компенсируется моментом дЛп/дав.

В задаче о внутренней синхронизации автоколебательных объектов при 2 ^°>)йа'/'== когДа наличие неконсер­вативных сил по колебательным координатам не вызывает дис­сипации энергии, уравнения

AI « . - о.<Ю>=0 (S = l,..., к) (4.10)

• • •------------------ V

представляют собой уравнения равновесия усредненных некон­сервативных сил или уравнений баланса энергии внутри несвя­занных объектов. Обычно эти уравнения служат для определе­ния так называемых парциальных частот объектов <о„ т. е. ча­стот (средних угловых скоростей), которые имели бы объекты в изолированном состоянии (но, естественно, при учете «собствен­ных» неконсервативных сил

Одна из важнейших закономерностей явления взаимной син­хронизации состоит в том, что она может наступить и при суще­

ственном отличии частот и»<в от парциальных частот о, (см. § 3 Введения и §§ 5, 6 и 14 гл. 3).

Если существует функция В = Віаі, ..., ah) такая, что

дБ/да, = А, (4.11)

(назовем эту функцию потенциалом избыточных усредненных

неконсервативных сил [60])), то эа потенциальную функцию может быть принято выражение

Z) = -(A + B). (4.12)

При условии, что функция Лагранжа системы м^жет быть представлена в форме

h ft

2 S=1 7=1 r=l

L* — ~2~2 ^ + 2 Іг (фі» • • *» Фа» Фі» • • •» Фй) ur - f-

+ І*.(Ф.),

*=1

V V V V

=-§~ 2 2 —г 2 2 Ъг5итщ,

r=l i«=1 Г*=1 i—1 (4.13)

L(II) = ¥ (фі,..., ф*; Фі, ..Фй),

где яг/, brj и drj — постоянные, а /,, FT и Y — функции перечис­ленных аргументов, причем /г и Fr периодичны по <р, с периодом

2я и к тому же (/г0) = 0 (г = 1, —, v), справедливо соотно­шение

и.(АТО-А»1 лт = <(£<»)>) (4I4)

в в

и потенциальная функция может быть представлена в одной из двух форм

D = л(1) — л(П> — в, d = -(a™ + ±a* + b) (4Л5) (А* = <(£*)»■

Заметим, что слагаемые Lm ы L(U) в выражениях (4.13) пред­ставляют собой соответственно функции Лагранжа связей пеп - ЙОГО її второго рода (см. § 5).

В случае задачи о внешней синхронизации условия устойчи­вости синхронного движения, как и выше, сводятся к требова­нию отрицательности вещественных частей всех корней уравне­ния вида (2.12); для задачи о внутренней синхронизации спра­ведливо сказанное в п. 2 предыдущего параграфа.