§ 1. Взаимная синхронизация маятниковых часов

на упруго опертой платформе (задача Гюйгенса)

Как отмечалось во Введении, явление синхронизацни техни­ческих объектов, по-видимому, впервые было экспериментально обнаружено Гюйгенсом именно на примере самосинхронизации и фазировки хода двух маятниковых часов, висевших на общей легкой балке. Там же приведено яркое описание этого явления, данное Гюйгенсом.

Рассмотрение соответствующей задачи, которую с полным основанием можно назвать задачей Гюйгенса, представляется небезынтересным не только в связи с попыткой теоретического объяснения описанных Гюйгенсом явлений, но также и с целыо сопоставления с закономерностями синхронизации иных объек­тов, в частности, механических вибровозбудителей. Как будет показано, наряду с общими закономерностями, здесь имеются также и существенные отличия.

Приведем решение задачи Гюйгенса для одной из наиболее простых, однако зачастую вполне приемлемых моделей часовых ходов с одной степенью свободы [39]). При этом будем предпола­гать, что часы висят на упруго опертой жесткой платформе, так­же имеющей одну степень свободы (рис. 40). В такой постановке задача была рассмотрена в работах [42, 57], которым и следует дальнейшее изложение; иным методом — путем использования вариационного соотношения (см. § 6 гл. 11)—соответствующая задача решена А. И. Лурье [175]. В иной, более упрощенной постановке (см. ниже) эта задача ранее рассматривалась Н. Ми-
норским [194]. Синхронизация часов на платформе с тремя сте­пенями свободы рассмотрена Ю. И. Марченко и автором [60J.

Дифференциальные уравнения движения рассматриваемой системы могут быть получены из уравнений (4.6) и (4.7) гл. 3, описывающих движение аналогичной системы с вибровозбуди­телями (ср. рис. 6 и 40). Изменяется в задаче о часах лишь

Рис. 40.

смысл и выражения дви - жущих моментов L„ кото­рые при оговоренных вы­ше предположениях сле­дует считать зависящими от углов поворота маятни­ков >ф8 и угловых скоро­стей ф,. При этом воздей­ствие момента 'Z/e(«pe, ф.) на маятник с целью упро­щения теоретического ана­лиза задачи иногда счита­ют имеющим характер мгновенного импульса; в последнем случае

Ь8(ф„ ф«) представляет неаналитическую функцию своих аргумен­тов. Несколько иной характер в рассматриваемой здесь задаче могут носить и выражения для моментов сил сопротивления R,

будем считать их, так же как и зависящими не только от уг - • >

ловой скорости іф„ но и от угла ф„ т. е. положим Д' — Л. ир„ ф»).

Тогда уравнения движения системы часы — платформа запишутся

в виде (в отличие от задачи о вибровозбудителях углы поворота

маятников ф„ считаются малыми и отсчитываются не от направ­ления колебаний платформы, т. е. от горизонтали, а от верти­кали)

/„Ф„ + m. ge. ф, = т, г.х + L,(ф„ ф.) — Д,(ф„, ф5)

(s = l, ..., к); (1.1)

... ь

Мх + кхх + схх = = 2 -

8=1

Здесь приняты те же обозначения, что и в § 4 гл. 3.

Исходя из наблюдений Гюйгенса (см. цитату в § 1 Введе­ния), можно ожидать, что синхронизация часов возможна, на­пример, при условии, что их «парциальные частоты»

(1.2)

о, — У m. ge,/1,

т. е. частоты малых свободных колебаний маятников при непод­

вижных точках подвеса [40]), мало отличаются одна от другой. Поэтому положим

f 52 = (і — %s), (l. S)

где — некоторые малые величины, а за со можно принять либо одно из со,, либо какое-нибудь среднее от со,; можно также опре­делить ю в процессе решения задачи из условия близости пер­вого приближения к исходному подобно тому, как об этом ска­зано в замечании 5)§ 7 гл. 10. Тогда, переходя к безразмерным переменным и вводя обозначения согласно формулам

т = cot, х0 = х/А, 2 пх = кх/М(й, пх = fin*,

ту» О Д гп с

со2, gs = р% = схім, (1.4)

иФ.

£

V[41] ф*’ dx2)

= Ps^ + + j4-2 Ф.) - Ф.)].

представим уравнения (1.1) в виде

' Ф* = ) (s = 1- • • •» *)»

(1.5)

dx2

Здесь через А обозначена произвольная величппа с размерностью длины (удобно считать, что А имеет порядок хта1), а ц>0, как и ранее,— малый параметр. Способ введения этого параметра соответствует предположению, что часы представляют собой поч­ти одинаковые слабо связанные квазиконеервативные квазилиней­ные автогенераторы и что сила вязкого сопротивления колеба­ниям платформы мала.

Задача заключается в изучении условий существования и устойчивости периодических (синхронных) решений уравнений

(1.5) , имеющих при, р = 0 период 2л.

Будем рассматривать нерезонансный случай, т. е, предполо­жим, что частоты свободных колебаний маятников на неподвиж­ном основании о,»о в достаточной мере отличаются от pjn, где рх — частота свободных колебаний платформы, ап — целое число; в указанном предположении величина = pja отлична от целого числа.

Далее примем также, что безразмерный избыточный момент (L, — R,)/I, ю2 задан выражением

= °«(1 — v«4>2) 5s, (1.6)

/со at '

где а, и V» — положительные постоянные.

Иными словами, вместо модели с импульсным притоком энер­гии к маятнику часов будем рассматривать модель с непрерыв­ным притоком энергии, подобную осциллятору Ван-дер-Поля (подробнее о таком осцилляторе см. в п. 2 § 2 гл. 6). Сообра­жения в пользу возможности подобной идеализации были вы­сказаны в докладе Н. Минорского [194], который, однако, по су­ществу не рассматривал задачу Гюйгенса как таковую, а огра­ничился изучением разбираемой в § 2 гл. 6 задачи о двух ин­дуктивно связанных электронных генераторах Ван-дер-Поля. Вместе с тем, несмотря на существенное различие исходных си­стем уравнений, как мы убедимся ниже, соображения Н. Минор­ского об аналогии между указанными задачами являются спра­ведливыми, правда, при выполнении некоторого соотношения между параметрами более сложной системы, отвечающей задаче Гюйгенса.

Как нетрудно убедиться, в результате неособенного линейно­го преобразования переменных

ф8 = ys + Ук+в, = і (у* — Vh+s) («= і, • • •, ft);

1 ъ

•*-0 = У2к+1 4" Уяк+ъ ^2 | ^ (^s Ук+&)і (1*7)

Х 8=1

dx - ^

"Hr ~ (Уы+i — Уък+г) — x2—I 2 Уъ+*)

x *=i

система уравнений (1.5) приводится к канонической форме ^ = Ку* + (s = 1, ..., 2к),

• ~|^+1 = i^xyzh+i ~r liF2ft+i, (1*8)

• ~|^+2 ——і^хУгк+і + 2ft+2<

соответствующей форме уравнений (3.1) гл. 10. В уравпениях

(1.8) при этом приняты следующие обозначения:

*. = *, **+. = -«; |-ф«

(s = l,...,ft), (1.9)

^2ft+l — — Fih+2

Применим к системе (1.8) теорему § 3 гл. 10 о существовании и устойчивости периодических решений квазилинейных автоном­ных систем.

Отвечающая уравнениям (1.8) порождающая система ¥ - КЧ°. (* = 1 2к),

(110)

аУ2к+1 .-1 „О а»2Й+2 41 ..о

^—----------- 1ЛХУ 2fe+l, ^ —1^хУ 2fc+2

допускает семейство периодических (с периодом 2п) решений

^ - ttse (ase-^ (s = ft + 1, ..2ft), (1Л1)

J/2fc+l — */2fi+2 = 0,

зависящее от 2k произвольных постоянных a,. Эти постоянные, как и соответствующие Я», можно, не нарушая общности, считать попарно комплексно сопряженными, т. е. положить

&s= rse s, cCh+s ~ as ~ s, .. .

r* = Kl = laft+«l (s = 1, ..., ft).

Кроме того, вследствие автономности системы (1.8), опять - таки не нарушая общности, допустимо считать, что

= a2h = rh = a, i|>ft = 0. (1.13)

Характеристические показатели к, — ±i системы (1.10) в со­ответствии с терминологией, принятой в § 3 гл. 10, являются критическими и образуют особую ведущую группу. Критически­ми являются также и остальные два показателя Ягь+і = ікх и А-2М-2 ——ІК, однако при кхФ п/2, где п — целое число, они не вхо­дят в число особых, в том числе и ведущих особых показателей.

В результате несложных вычислений в соответствии с форму­лами (3.5) и (3.6) гл. 10, а также равенствами (1.4), (1.6), (1.7),

(1.9) и (1.11), получаем следующие выражения для "функций Z5[42]: цР* = — і |ХА + t 2 Ч/Ц і ias (1 — Vstttaft+j) a.

«[,

h

JJ-jPfc+s ~ і I Xs^ft+s 4" Го г 5] Qi&k+i (1 vsasafe+£) сс^^,8

li=i

и следующие основные уравнения для определения параметров ccs порождающего решения*):

(* = 1, ...,к) (1.14)

і

:

lPs в 2k =

= — »2fe і + ^237 2 + a£ (1 — vsasaft+s) asj —

— a, + 3[TTJ2 ^a*+i) + °fc(1 — Vhaka2h)a2ftj = 0,

ji, Pft+s = — a2fe[xPfe+1! + afe+,|xP2ft = (1.15)

= a2k [, ^Xafe+s + ^2~ГЇ 2 ЧР-і + a* (1 — vsasah+s) ah+s j - f

-Ь ®ь+» лі (* = 1 fe). Здесь обозначено b“=-^i (Ue> В силу соотношений (1.12) и (1.13) из равенств (1.14) для s = к получаем Ph = — fгь = Рщ - Поэтому, как следует из (1.15), Рк+. = Р„ и для определения 2к — 1 комплексных посто­янных осі, ..., ccfe_i, ah+! = ai, ..., a2h-i = afc-i, a = a2k = ak, кото­рые согласно (1.12) можно заменить 2к — 1 вещественными по­стоянными Г, ..rh, ij)i, ,.., достаточно рассмотреть 2к — 1

уравнений, полученных приравниванием нулю вещественных и мнимых частей в левых частях первых к уравнений (1.15). При этом последнее уравнение Im Ph = — a Im (р£ + = 0 как вы­

полняющееся тождественно в силу установленного выше равен­ства Ph = — P2k исключается.

Для существования синхронных колебаний рассматриваемого типа необходимо, чтобы указанные 2/с — 1 уравнений допускали решения, в которых if), вещественны, а гс— положительны.

Согласно теореме § 3 гл. 10 достаточными условиями устой­чивости синхронных движений, отвечающих каждому такому ре­шению, являются, во-первых, отрицательность вещественных ча­стей корней % алгебраического уравнения (2к— 1)-й степени

+

д &Р*) , л (s, / = 1,'..., 2к — 1) (1.17)

п, во-вторых, выполнение неравенства Re

да-

<(^)>-a‘^d<°- <u8>

которое в результате вычислений при учете (1.4), (1.7), (1.9) и

(1.12) —(1.14) приводит к соотношению

2пх — ’У qfj sin % — Kah (l — vfer|) > 0. (1.19)

rh К — 1 т*

х з=і

Дальнейшее аналитическое рассмотрение задачи в общем слу­чае сопряжено с трудностями, связанными с необходимостью ре­шения системы трансцендентных уравнений (1.15). Поэтому ниже ограничимся изучением случая почти одинаковых часов.