Для теории ряда устройств представляет интерес задача о стационарном движении сидящего на вертикальном валу диска, к которому присоединены два физических маятника с осями

вращения, перпендикулярными к плоскости диска (рис. 36, а). Осо­бый интерес при этом представляет отыскание условий сущест­вования и устойчивости такого движения системы диск — маят­ники, при котором маятники взаимно уравновешивают друг друга так что центр диска остается неподвижным в пространстве и, таким образом, на подшипники вала и на неподвижное осно­вание не передается неуравновешенных усилий.

Задача о движении ротора с двумя маятниковыми подвеска­ми была рассмотрена Л. И. Мачабели [190] путем сведения ее к задаче о синхронизации объектов с почти равномерными вращательными движениями. Результаты цитированной работы и воспроизводятся нами ниже с несущественными видоизмене­ниями. Исправлен также ряд опечаток, вкравшихся в указанную публикацию.

Динамическая схема системы показана на рис. 36, б. Пред­полагается, что диск сам по себе статически и динамически уравновешен и закреплен посредине вала, так что центр диска 0 может совершать колебания только в плоскости диска. Тогда в предположении, что вращение диска является равномерным, рассматриваемая система имеет четыре степени свободы и ее движение может быть описано в неподвижной системе координат хОу двумя уравнениями колебаний маятников с учетом подвиж­ности их осей и двумя уравнениями малых колебании диска с учетом реакций, возникающих от наличия маятников:

Ijfpx /Сіф! — rrijh (х sin фі - J - у COS фі) +

-f - m1e1Z1oj2 sin (фх — at) = 0, (3.1)

• •• »

/2ф2 + fc2ф2 — m2?2 (х sin ф2 + у cos ф2) —

— m2e2Z2<o2 sin (ф2 — to t) — 0, Мх + СХ — S(D2 COS (£>t — mlll (ф! sin -|- фі COS фі) —

— m2l2 (ф2 sin ф2 + ф 9 cos ф2) = 0, (3.2)

My + су + so2 sin cot — mJi (фх cos фг — ф2 sin фх) —

— m2Za (ф2 соэфа — ц>1 sin ф2) = 0.

Здесь х ш у — координаты центра тяжести диска; фі и фг — углы поворота маятников, отсчитываемые от положительного направления оси Ох по ходу часовой стрелки; т — масса диска; ту и тщ — массы маятников; 3 и Sf^ — моменты инерции ма­ятников относительно их осей; 1 и h — расстояния от осей ма­ятников до их центров тяжести; Є] и єг — расстояния от центра диска до осей маятников (эксцентриситеты подвески маятников); /ч и &2 — коэффициенты вязкого сопротивления вращению ма - НТНИКОВ ; с — изгибная жесткость вала; о — угловая скорость вра­щения диска; М = тп + пц + тп-2 — масса всей системы,

= & 1 + »%ej, 12 = + m#, s = mfr — m2e2.. (3.3)

Введя обозначения |хо>2Фі(<рі, х, у, at) =

— m]Zi(a:sia<pi + ycos<pi) — m-iEjii©2 sin (фі — at) — Aico, (3.4)

цоі2Ф2(<Р2, X, у, at) =

= ТП2І2ІХ sin фг + у cos фг) — тгЄг^ю2 sin (фг — at) — k2a,

где Ц — положительный малый параметр [36]), можно представить уравнения движения маятников (3.1) в форме

/*ф, + /с.(ф« — а) = ішгФ,(ф„ х, у, at) (s = 1, 2). (3.5) Интерес при этом представляют решения вида

ф8 = at + а8 + pilC (at) (s = 1, 2), (3.6),

x = x(at), y = y(at),

где i}’* (wf), x(at), у (at) — периодические функции времени £‘ с периодом 2п/а. Поскольку уравнения (3.2), (3.5) и решения •

(3.6) соответствуют цо своему виду уравнениям (4.2), (4.3) и решениям (4.1) гл. 12, то, как и в предыдущем параграфе, здесь, можно воспользоваться результатами исследования синхрониза­ции в системах с почти равномерными вращательными движе­ниями.

Отвечающая уравнениям (3.2) и (3.5) порождающая система допускает семейство синхронных решений

Ф$ = at + аь ф® = at + as;

3* IPія cos at + 6i cos (at + ai) + b2 cos (coі + аг)]

(3,7)

у0 = x°/a = —w[a sin at + b sin (at + ai) + fes sin (at + аг)!,

зависящее от двух произвольных постоянных а-, и а-г', по своему смыслу эти постоянные, очевидно, представляют собой;углы от­клонения маятников от прямой 0j02, равномерно вращающейся с угловой скоростью со.

В равенствах (3.7) обозначено

юа, с „ s

Ю = *=М’-

mi6l h m2l2

M ’ а М •

(доставим теперь основные уравнения (4.6) гл. 12 для опре­деления значений параметров <а и аг, которым могут отвечать решения уравнений (3.5) и (3.2) вида (3.6). В соответствии с равенствами (3.4) и (3.7) эти уравнения могут быть представле­ны в форме

Pi (“і, a2) = <ФХ (q>5, у°, соf) > ss

=з=-т^- <^1^ [ж® sin (оit ax) + Уі c°s (tot + ах)] —

ki

1

— m^e, a»2 sin ax — kx to) = j— {mJx(о2 [(и -j - ex) sin +

-f - b2w sin (aj — a2)] — fe1 a»} = 0,

2

P2 (аь аг) = ^- <Ф2 (q>S, з0, y°, cot) > = (3 9)

== - i - <тге2/2 [ж0 sin ((of + a2) - r y° cos ((of + a2)]

2

-f m2Z2e2(o2 sin a2 — fe2co> ==----- — {m2i2(o2 l(wa — es) sin a2 —

А'г

— bjiv sin (ax — a2)] — fr2(o} = 0.

Исследование устойчивости движения, соответствующего ка­кому-либо решению ах = ai, а2 = а2 последних уравнений, сводит­ся к изучению знаков вещественных частей корней квадратного уравнения (см. уравнение (2.12) гл. 12)

(3.10)

= 0.

В реальных системах моменты сопротивления /с і со и &2(о малы по сравнению с прочими оередненными моментами, фигурирую­щими в уравнениях (3.9). Поэтому можно ограничиться реше­нием этих уравнений с точностью до членов, содержащих &і<в II Л'2(0 в степенях не выше первой.

Нетрудно установить, что существует (с точностью до несу­щественной постоянной :2зш где п — любое пелое число) шесть следующих решений системы (3.9):

~ П I Ъ ■. Z. ■ ~Г1'

СС-2 0 ~ - р ї

l і а^' « 0 - j - к1ыА1 — к2аВ[

2) ai2) fa 0 + + к^В[2 а22' яят /c1coJ4c22) + к2о)ВІ2’;

3) аі3) да :т + к^соА*1 - f к2<л)В^ а(33) да я - f - /с1соА(г3) + /сго)й(23);

4) с44)да л + /сі(о44) + к2шВ(і а(24) да 0 + /с1иЛ^4) -f к2^В[4);

5) аі6)да Р + feifi)45) + к2ыВ[6 а[6) да - у + А-ІсоЛ^) - f к2а>В[ъ);

6) а(і6) да — р + кг<і>В[* а(26)да — - у + А:1(оЛ^в)+ к2оіВ{2у.

(3.11)

Здесь

v = arccos J - (— 1 — ті? I, ri. = —-—-

2чДч5 ) ь*ю

(3.12)

wa

Постоянные Л/ и Bjh (/ = 1, 2; к = 1,..., 6) легко находятся

из уравнений (3.9) нутем подстановки в них соответствующих

выражений (3.11) й пренебрежения членами к3о в степенях вы­ше первой.

Нетрудно видеть, что из всех решений (3.11) наибольший ин­терес в изучаемой задаче представляет второе решение. Дейст­вительно, если параметры системы выбраны таким образом, что выполняется соотношение

ті(єі + h) — /Иг(є2 + h), (3.13)

или, в обозначениях (3.8),

а + Ъ1 - fc2 = 0, (3.14)

то для указанного решения отклонения центра диска а; и у в соответствующем движении с точностью до малых членов по­рядка равны нулю, т. е. имеет место практическое самоурав- новешивание системы.

В самом деле, согласно (3.7), (3.11) и (3.14) при аА —

(2)

и а2 = а3 имеем

x°/w да a cos cot + Ъг cos (<оt + к^ыА^ + к2ыВ[2)) +

-4- b2 cos (cot + л - f Д-гсоЛІ2) - f к2юВ(2)) ~ (а - j - Ьг — Ъ2) cos cot —

— bl (/,■]())+ к2ыВ2') sin <о£ -|- Ь2 (/с1<аЛ(22) + к2(аВ22>) sin ©t =

= b2 (к1 соД2) - f /.-2соВ(22)) — Ьх (к^А^ /f2coZ? i2)) | sin соt да О,

y°Jw да — [fc2 [kltiiA(^> - j - k2<i)B(2) — (3.15}

— Ъу (/с1<аЛ(і2) -J - fc2G)Z? i2))] cos cof да 0.

Для всех прочих решений (3.11) величины х и у будут со­держать в своих разложениях ПО куЫ и свободные. члены, т. е. самоуравновешивание (в изучаемом приближении) не будет

иметь места. Поэтому рассмотрим вопрос об устойчивости имен-

(2) (2)

но решения, отвечающего = «і и а2 = а2 .

С точностью до членов, содержащих неотрицательные степе­ни к(а и &2(о, для указанного решения при учете равенств (3.9) и (3.14) находим

дР. ^ дР„ 1

^-1 = _ тЛ<о2 (wbL — ех), ^ — m2Z2o2b1w,

«>! і 2 (316)

^ = -*7 ^ = 1" (wb* ~ N>-

Таким образом, условия отрицательности вещественных частей корней квадратного уравнения (3.10), совпадающие с условием положительности коэффициентов этого уравнения, могут быть ттрелставлены в форме

(дРл дРа тА. а? т.? (о2

- (щ ) = —*— № —^ —V <юЬ* ~82> > °>

(дР, дР„ дР. дРа m. LmJ,©4 , , , „

(toj *f2 - ЛГ, 0^; j= К"7** - - 8.) - fcxV'2] =

m, i,m„Z„(D4

= " I ' Ієіє2 — w (fcie2 + Ьаєі)1 > (3-І7)

12

После преобразований с учетом (3.8) последние неравенства принимают вид

с г. (тЛеЛ+ тМі)м

^ у 1 1 1 2 1 2 2 2 1/ ___ Д

(3.18)

р2 —ю2 mlfyr2 + m2i2/cl 1

“2 < - ГМІ-"Г = R2-

ml© -4— т I а &

р2-«2 'Vl®2 + ТО2г2*1

Условия (3.18) выполняются при

со < рУЯ/Ш + 1) < р,

где R = Inf (Ді, R%) — наименьшее из двух положительных чи­сел в /?2, определяемых по формулам (3.18). Кроме того, вне зависимости от значений прочих параметров системы условия устойчивости (3.18) выполняются, если

и > р = у с/м, (3.19)

т. е. если угловая скорость вращения вала со превышает частоту собственных колебаний диска с жестко закрепленными на нем
маятниками, т. е. так называемую первую критическую скорость. Поэтому можно считать, что основное условие самобалансиров­ки системы, так же как и для системы, рассмотренной в § 2, совпадает с соответствующим условием для классического слу­чая— неуравновешенного диска без маятников. Иными словами, и в данном случае имеет место обобщенный принцип Лаваля.