В бесконечном теле с модулем упругости E и коэффициентом Пуассона v атом вещества представим в виде сферы с радиусом а. В твердом растворе замещения эту сферу занимает атом раство­ренного вещества, имеющий форму сферы с модулем упругости E1, коэффициентом Пуассона н1 и радиусом a1. Обозначим разность радиусов через Aa = a1 - a.

Если включение больше полости, то оно будет обжиматься внешним давлением p1, и в соответствии с первой формулой (5.25):

•Ei

1 + V-

Р1 = -

1 - v1 -2v2

Сферическая полость будет расширяться под давлением p. Со­гласно формуле (5.27):

p = 2 • (1 - 2 у) E Ua2_

Р (1 - у-2 у2) a ’

Но силы находятся в равновесии. Поэтому p1 = p. Приравни­вая силы из двух предыдущих формул, получим

1 + V1

• E

• E •

1 - v1 -2v2

2 • (1 - 2 •v) (1 - v-2 v2)

или считая a1/a s 1:

-2■ (1 - V1 -2v2)■ (1 -2 v) E Ua1 (1 - v-2■v2)-(1 + v1) ^ E1 ^Uaa.

Из условия неразрывности границы между включением и те­лом следует: иа2 - ua1 = Aa. Подставив это значение в предыдущую формулу, получим

1+-

-2• (1-V1 -2у2)• (1 -2-V2) E

' E

= Aa.

(1 - у-2 у2) (1 + v1)

Для сокращения формул обозначим постоянную, зависящую только от упругих свойств материала включения (1) и материала основы (2) через С1> 2:

C1,2 -

1 --

2• (1 - V1 -2у2)• (1 -2• у) E (1 - у - 2 • у2) • (1 + v1 ) ^ E1

Тогда перемещения края основы можно вычислить по формуле

Aa

UnO — ‘

C1,2

Распределение напряжений за пределами включения получим, подставив это значение ua в (5.26):

3

1,2

(5.30)

3

= -2-(1_2-v) .e. г (1 - v-2-v2) (1 - 2 v)

(1 - v-2-v2) C1,2

где £ = Aa/a — относительное несоответствие радиусов.

3

аг = -

Рис. 5.19 Распределение напряжений у сферического включения при Е = Е1

Если принять V! = v2 = 0,3, то формулы 5.30 упростятся:

1,538 • Е 1 + 0,615 • E Ei

3

(5.31)

0,769 • E •$ ^

1 + 0,615• E г3.

Е1

Характер эпюр напряжений при Е2 = Е1, вычисленных по фор­мулам 5.31, показан на рис. 5.19.

При положительном значении £ = Aa/a включение равномерно сжато. Окружающий материал в радиальном направлении сжат, а в тангенциальных направлениях растянут. При удалении от края включения на один его радиус напряжения снижаются в 8 раз! Таким образом, можно приближенно считать, что возмущения поля напряжений от включения распространяются только на сфе­ру металла с радиусом в 2 раза большим, чем радиус включения.