Если зависимостью вязкости от скорости сдвига можно пренебречь, то уравнение

(6.4) можно проинтегрировать:

~сУ + к <69>

где k — постоянная интегрирования.

Следующий шаг вычислительной процедуры зависит от формы рассматриваемо­го течения. При симметричном трехслойном течении центральный слой заключен между двумя идентичными поверхностными слоями, имеющими одинаковый объем­ный расход (рис. 6.11, а).

Из условия симметрии следует, что максимальная скорость течения находится в середине канала. Для дальнейших вычислений удобно выбрать координатную систе­му, начало которой находится на границе слоя. Вследствие симметрии достаточно исследовать только половину канала.

При условии прилипания расплава к стенкам канала профиль скорости для погра­ничного слоя будет выглядеть следующим образом:

(6.10)

Профиль скоростей в центральном слое определяется при условии адгезии меж­ду слоями расплава на границе раздела:

(6.11)

Чтобы определить пока еще неизвестную толщину слоев dx и d2 и градиент

др

давления ——, можно использовать соотношения между скоростью течения и объем oz

(6.13)

о

После интегрирования получаем:

Отношение значений толщины слоев можно получить из отношения объемных расходов: ,3

. d2 о ^2 d2 4—т + 6--------- d d t

(6.16)

'1

2 + 3-

'1

На основе этого отношения скоростей течения и вязкостей, используя метод ите­раций, из уравнения (6.16) можно получить соотношение между толщинами слоев. Положение границы раздела между слоями можно получить из отношения значе­ний толщин слоев и дополнительного условия:

+ 2</2 = h.

Затем можно получить выражение для перепада давления, переписав, например, уравнение (6.14) следующим образом:

+ 1

М

Л2_ П1

(6.17)

др_ dz

(6.18)

6V,n,

Ф-з -г)

При изучении двухслойного течения (рис. 6.11, Ь) в процессе вычисления поло­жения максимальной скорости течения появляется еще одна переменная. В данном случае, как и в предыдущем, точку начала координат удобно поместить на границе раздела слоев.

Из условия прилипания расплава к стенкам канала следует:

v1(“^1) ” 0;

(6.19)

Т +су- — - cd.

v2^d2) O’

'dl Y + cd2

г 2

+ су-

(6.20)

Из условия адгезии на границе между слоями получаем отношения толщин слоев, вязкостей и положение точки, в которой скорость достигает максимума:

*1	41
2	42	+ ^2
	42	*1

42

С “

(6.21)

Неизвестные пока количественное значение отношения толщин слоев и перепад давления тоже могут быть определены из соотношения между скоростями слоев и их объемными расходами.

	0 Г
	Vt - I V -d,	(y)dy>
	U1 ^0
	^2“ v2 (у)<&4;
	0
др	1 d2	f * +	С '
dz	4i 1	; з
др	1 rf2	f ^2	С
dz	42^2	l з	TJ

(6.22) (6.23) (6.24) (6.25)

Комбинируя уравнения (6.21) с уравнениями (6.24) и (6.25), получаем следую­щие результаты:

h 4i

у _ jh (~0 1 dz nj 12

(6.26)

,42

(6.27)

			4i	+
			-f 4	42	d2
Ф	rf23 (-1)	Ц2	1 4	4i	dx
52	'42 12	d2	^2	+	d2

42

4i

f d2 d2 t|2 34 + 4y + — v d d'

Соотношение между объемными расходами, вязкостями и толщинами слоев мож­но представить в виде:

и Ui

Л2 9l

(6.28)

^2		41	Л2 d2 +4— + - г +	/ ^2
	91	4 J	9i d1	I 9l J

v d^J

+ 4

dJ

+ 3

Отношение толщин слоев можно получить методом итераций из уравнения (6.28). Положение границ между слоями можно вычислить с учетом суммы толщин слоев:

dl + d2 = к (6.29)

Перепад давления получаем, перегруппировав, например, уравнение (6.26):

Л2 V 91

12 IVh

др_ dz

(6.30)

d2f' d 3|-т - + 4-г - +

91

Процедура, показанная выше, позволяет вычислить профили скорости, положе­ние границы между расплавами, перепад давления в симметричном трехслойном те­чении, а также в двухслойном течении через плоскую щель при постоянных вязко­стях расплавов.

Для расчета вязкости можно применить, например, метод характерных данных [34] (см. также главу 3).

Характерная скорость сдвига определяется на основании полного объемного рас­хода. При расчете характерной вязкости каждого расплава скорость сдвига, найден­ная ранее, подставляется в формулу вязкости

6 • V,

общ

В И2

(6.31)

Г] =д(у). (6.32)

Эта методика применяется, пока вязкости расплавов различаются несуществен­но. В противном случае лучше определять скорость сдвига для каждого из расплавов независимо. Для этого рекомендуется следующая процедура:

• определить начальные значения вязкости по характерным данным;

• вычислить профиль скорости и профиль скорости сдвига:

• определить скорость сдвига на стенке ую (для двухслойного течения, для внеш­него (защитного) слоя при трехслойном течении), или скорость сдвига на гра­нице раздела (центральный слой трехслойного течения);

• умножить скорости сдвига на поправочный коэффициент е0:

Y “ Ую' е0; (6.34)

• определить уточненные значения характерных вязкостей, используя скорости сдвига, определенные выше;

• повторить расчет течения. Эта итерационная процедура повторяется до тех пор, пока не будут найдены устойчивые значения вязкости. Выполнить такие простые расчеты легко даже на обычном программируемом карманном калькуляторе[27].

Однако при изучении многослойного течения, в котором используется более двух различных расплавов (то есть К, * У3, см. рис. 6.11, а), или при необходимости вычис­лить также и профили температуры, решение может быть получено только путем разработки более сложного численного алгоритма.