Как нетрудно видеть, свободные орбитальные системы, опи­санные в п. 1 § 6 гл. 12, соответствуют рассматриваемым в не­бесной механике системам, состоящим из некоторого числа к свободных твердых тел В і, ..., Bh (в простейшем случае — ма­териальных точек), движущихся по замкнутым траекториям от­носительно некоторого центрального тела В0 (в простейшем случае — также материальной точки),, обла­дающего обычно значительно боль­шей массой (рис. 44). Вращательные координаты тел <р« (f + а») при отсут­ствии взаимодействия между телами (в более общем случае — между соответ­ствующими степенями свободы) опреде­лены вследствие автономности с точ­ностью до произвольных начальных фаз а, (см. равенства (6.1)1 гл. 12). Основные уравнения (4.6) или (5.8) Рис. 44. гл. 12, из которых определяются зна­

чения этих фаз в возможных синхронных движениях, имеют вид

f,(«!.............. = + = 0 (*=l,...,fc) (2.1)

(как и в § 6 гл. 12, далее рассматриваем случай, когда ф*' ~ ф* — орбитальные координаты, число которых равно числу тел к). Здесь Ло — усредненная за период Т = 2л/и синхронного дви­жения функция Лагранжа системы связей, вычисленная на по­рождающих траекториях, а А, — усредненные неконсервативные, обобщенные силы, являющиеся в данном случае диссипативны­ми силами, е, — так называемая крутизна частотной характери­стики.

Предположим сначала, что существует потенциал усреднен­ных неконсервативных сил В, т. е. функция B — B(aі, ..., ак), удовлетворяющая соотношениям

Тогда, как указывается в § 5 гл. 12, за потенциальную функцию D может быть принято выражение
где о = sgn е„ — величина, определяемая характером анизохро - низма объектов, который предполагается одинаковым для всех s. Согласно интегральному критерию, устойчивые синхронные дви­жения могут соответствовать точкам грубых минимумов функ­ции D но разностям фаз а, — ак.

Для рассматриваемой орбитальной системы кинетическая энергия несомых связей Т111) и потенциальная энергия несущих связей Па) рарны нулю, а потенциальная энергия несомых свя­зей П(Н) = — С7(П), где t/(1I) — потенциал сил тяготения. Поэтому, согласно сказанному в § 5 гл. 12, в случае малости колебаний несущего тела выражение (2.3) для потенциальной функции представится в форме

D = [<(гт)> - <(t/‘n>)> - В]с, (2.4)

где Тт — кинетическая энергия центрального (несущего) те­ла В0.

В случае, когда все тела представляют собой свободные тяго­теющие точечные массы, имеем (см., например, [121J)

л л

І7®> і/У. У

Asj = 1/ (*, — Xjf + (ys — у jf + (zs — Zjf;

T 1 _ ,, „ 2/3 „ 1 ms 2/3—4/3

"•з------- 2 * (/^o®«) і (Д jig) 3 (M>) s » £2 g)

os = sgn es = — 1.

Здесь / — постоянная тяготения, Д. і — расстояние между массами те и тj, ft, — полная энергия массы т, в ее эллиптическом кеме­ровском движении вокруг неподвижного притягивающего цент­рального тела, принимаемого также за точечную массу то, со,— частота обращения массы т„ в указанном движении (эту часто­ту в небесной механике называют средним движением и обозна­чают через п,), штрих при знаке суммы указывает на пропуск слагаемого, соответствующего j — s. Поскольку в данном случае о, = — 1, т. е. объекты являются мягко анизохронными, то из формулы (2.4) получаем

В = <(1/<и>)> - <(21(1,)> + В. (2.7)

Именно такая функция должна минимизироваться (по фазам а. — а,) на устойчивых синхронных движениях тел т,.

Если пренебречь величинами <(21(1>)> и В, что соответствует предположению о значительно большей величине массы цент­рального тела то по сравнению с массами Тої, ..., m*, а также
о малости диссипативных сил, то получится

D^<{UlII')>,

т. е. мы приходим к заключению о «приближенной минималь­ности» среднего потенциала взаимного тяготения масс в устой­чивых синхронных движениях. Таким образом, эвристический принцип, предлагаемый в работе [324] (см. также [1061), действительно вытекает при соответствующих предположениях из ранее установленного в работах [40—42] интег­рального критерия устойчивости синхронных движений.

Напомним, что для рассмотренной сво­бодной орбитальной системы условия устой­чивости, выраженные интегральным крите­рием, являются лишь необходимыми. Эти условия будут и достаточными, если вместо свободной рассмотреть соответствующую не­свободную систему, т. е. систему, в которой массы т, движутся, например, по жестким эллиптическим каркасам (рис. 45). Конеч­но, такая несвободная система является до­статочно грубой моделью планетных систем хотя бы потому, что уменьшение числа степеней свободы каждой массы т, до одной приводит к смене характера анизохронизма объекта.

Действительно, в случае точечной массы те, движущейся в поле тяготения неподвижной центральной массы т0 по заданной кривои, полная энергия

fm0ms

so

где Fs0 и rs0 — соответственно модуль скорости и расстояние меяеду массами тп, и тп0 в некоторый начальный момент време­ни. Поскольку теперь среднее движение со» не зависит от г6о, а определяется только начальной скоростью F„0, то

Нетрудно показать, что das/dVBQ> 0, т. e. что со* увеличивается при увеличении F«o. Поэтому теперь, в отличие от (2.6), es > 0 и о, = sgn ее = 1, т. е. объекты являются яїєстко анизохронными. Также жестко анизохронными являются твердые тела, вращаю­щиеся вокруг некоторых фиксированных осей |ha = - j/eCOs,

ея =

В результате для несвободной (каркасной) системы на устой­чивых синхронных движениях будет приближенно минимизиро­ваться уже не средний потенциал сил тяготения <(UlIl))>, а средняя потенциальная энергия

<(П(П>)> = —<Ш(П)»,

т. е. средний потенциал <(Ї7П)> на таких движениях будет иметь (также приближенно) не минимум, а максимум.

Заметим далее, что устойчивости описанной несвободной ор­битальной системы соответствует, по терминологии А. М. Ляпу­нова, так называемая условная устойчивость соответствующей свободной орбитальной системы [178].