3.2.1.

три вида Трещин

И СИНГУЛЯРНЫЕ ПОЛЯ НАПРЯЖЕНИЙ

С трещинами связано 4 аварийных фактора из табл. 1.3 и поч­ти 12% всех случаев разрушения конструкций.

Сравнительно новая, возникшая в 1950-х годах наука «Меха­ника разрушения» занимается исследованием полей напряжений и деформаций у вершины трещины и критериями разрушения материала под действием этих полей.

На рис. 3.30 показаны три базовых случая нагружения детали с трещиной. Локальные декартовы координаты (x, y, z) имеют на­чало в вершине трещины. Кроме того, используются цилиндриче­ские координаты (г, 0, z), показанные на схеме рис. 3.30. Ось х и направление 0 = 0 располагаются в плоскости трещины.

II

пі

Рис. 3.30 Три вида трещин механики разрушения: I — нормального отрыва, II — поперечного сдвига, III — продольного сдвига.

Вдали от трещины материал нагружен равномерно распреде­ленными напряжениями:

■ ру — в случае трещины нормального отрыва (тип I);

■ Рух — в случае трещины поперечного сдвига (тип II);

■ Руг — в случае трещины продольного сдвига (тип III).

Общий случай произвольного нагружения тела с трещиной

можно получить, суммируя поля напряжений этих трех задач. Распределение напряжений у вершины трещины в общем случае можно представить в виде степенных рядов от радиус-вектора г, умноженного на некоторую функцию от угла 0. Но только пер­вые члены этих степенных рядов являются сингулярными. Они неограниченно возрастают при приближении к вершине трещи­ны. Все остальные члены ряда у корня трещины малы по сравне­нию с первыми. Если при анализе поля напряжений у вершины трещины ограничиться учетом только этих сингулярных членов, то формулы для вычисления напряжений приобретают очень про­стой вид.

°ij =^К=Т'f j’ N(0), (3.60)

где индексом N обозначен вид трещины (I, II, III), а индексы i и j могут принимать значения цилиндрических координат г, 0 и г. Эти поля напряжений проще всего вычисляются в цилиндрических координатах (г, 0, г).

Постоянная KN, пропорциональная внешней нагрузке, назы­вается коэффициентом интенсивности напряжений. Коэффици­ент концентрации напряжений в этом случае не имеет смысла, так как напряжения по формуле (3.60) при радиусе г, стремя­щемся к нулю, устремляются к бесконечности. Но при этом уро­вень эпюры напряжений задается коэффициентом интенсивно­сти напряжений.

В случае сквозной трещины в бесконечной пластине формулы для вычисления коэффициентов интенсивности напряжений очень просты:

KI — pxx "Jft' 1;

KII - pxy 'Vя' l; (3.61)

KIII - рхг 1Л'1,

где l — полудлина трещины.

В плоскости 0 = 0 (или у = 0; г = х) на продолжении трещины абсолютные значения функций от угла f j, N(0) принимают значе­ния 1 или 0. Поэтому в этой плоскости (по которой обычно рас-

пространяется трещина) наиболее значимые напряжения описы­ваются формулой v

KN___

(3.62)

Если значения KN из формулы (3.61) подставить в формулу

(3.62) и во всех случаях нагрузку обозначить черезр, то получит­ся достаточно общее выражение для вычисления наибольших на­пряжений в опасном сечении детали с трещиной:

1

(3.63)

— - Р V2 • (х/I)'

Имеет смысл оценить эту зависимость количественно, она по­строена на рис. 3.31.

Из рис. 3.31 видно, что поля напряжений, вычисляемые по формуле (3.63), характеризуются следующими особенностями:

■ напряжения устремляются к бесконечности при х ^ 0;

■ уже на расстоянии х = 0,5 от характерного размера трещины l напряжения приближаются к номинальным приложенным к пластине напряжениям р;

■ на больших расстояниях от вершины трещины вычисленные по формуле (3.63) механики разрушения напряжения меньше приложенных к детали, и с увеличением этого расстояния стре­мятся к нулю, что не соответствует действительности.

Рис. 3.31 Общий график распределения наибольших напряжений в опасном сечении у трещины

Теперь обратимся к функциям от угла 0, на которые нужно умножить масштаб напряжений на графиках рис. 3.31, чтобы по­лучить распределение напряжений в любой плоскости, наклонен­ной к оси х под углом 0.

Трещина нормального отрыва (N = I) похожа на непровар в по­перечном стыковом шве, для нее функции f;, j, N(0) формул (3.60) имеют вид:

fln(I) - 3cos (£) + Icos ( 3 );

fmW - 4cos (I)-4cos (f); fcos (|) + icos (f

(3.64)

fm(I) - 4Sin(I) + 4Sin(f).

Функция frr1(0) необходима для вычисления arr в задаче I, функ­ция feei(0) — для вычисления стее в этой задаче, frt1(0) — для вычис­ления тг0. Естественно, что в случае плоского напряженного состоя­ния стг = 0; а в случае плоской деформации єг = 0 и стг = v - (ax + ay). Все остальные напряжения равны нулю.

Так как при вычислении любых напряжений множитель KN/ (I - л - r)1/2 выносится за скобки, можно записать следующие вы­ражения для функций от угла:

для вычисления напряжений агг при плоской деформации:

fzz(0) = v [frr(0)+ fee(0)]; (3.65)

для вычисления интенсивности напряжений а; по формуле (2.22):

f (0) = ^[frr (Є) - fee (Є)]2 + [f99 (Є) - fzz (Є)]2 + f (Є) - frr (Є)]2 + 6 ■ f2 (Є) , (3.66)

для вычисления главных нормальных напряжений ст1 по формуле (2.17) получим

f /m frr (Є) + fee (Є) Ч[frr (Є) - fee (Є)]2 + 4 • fr2 (0)

71(e) - 2 , (3.67)

для вычисления жесткости напряженного состояния Ц = СТ1/СТ;:

f (0) = Щ. (3.68)

На рис. 3.32 приведены вычисленные по этим формулам гра­фики. Следует обратить внимание на кривую для f;1(0), которая очерчивает радиус пластической зоны у вершины трещины при различных углах 0. При 0 = 0 отношение напряжений: а = а2/ Ст1 = 1; ц = 2,5.

Рис. 3.32 Эпюры функций /(0) для трещины нормального отрыва (I)

В практических расчетах условий разрушения главным обра­зом используются поля напряжений для трещин нормального от­рыва и коэффициент интенсивности напряжений KI.

Трещина поперечного сдвига (II) похожа на непровар в корне лобового шва.

Irr 2(I) = - |sin (I) /ее2(е)=- fsin (f

rif(I) = + Tc°s (Є

(3.69)

Рис. 3.33 Полярные диаграммы для функций от угла трещины поперечного сдвига

Ir

Так как физический смысл графи­ков функций (3.69) воспринимается трудно, на рис. 3.33 по формулам (3.66)- (3.68) с помощью формул (3.69) построены полярные диаграммы для функций главных нормальных напря­жений /12, интенсивности напряжений /і2 и жесткости напряженного состоя­ния /п2 для трещины типа II. Из графика видно, что максималь­ная жесткость напряженного состоя­ния очень мала (не превышает 0,6). Максимальное значение функции главного напряжения ст1 равно 1,0.

Для трещин поперечного сдвига функции от угла имеют сле­дующий вид:

Рис. 3.34 Функции от угла для трещины продольного сдвига (III)

Но велико значение функции для интенсивности напряжений ст;. В направлении плоскости трещины (0 = 0) оно равно V3.

Наконец, трещины продольного сдвига (III) похожи на не- провар в корне фланговых швов. Для них существуют только два касательных напряжения xrz и т0г. Остальные напряжения равны нулю. Функции от угла 0 в этом случае имеют совсем про­стой вид:

(3.70)

/„а(Є) = sin j 2);

/гЄ3(0) = cos j 2).

Вычисленные по этим формулам графики представлены на рис. 3.34.

Видно, что в этом случае функция для стг не зависит от угла 0:

=V3.

Ыб) = ^ лІ02 + 02 + 02 + 6 • [(/rz3(6))2 + f з (Є))2 + 02] =

sin — + cos^ —

Поэтому для таких трещин пластическая зона у вершины име­ет круглую форму, как показано на правом рисунке. Радиус кру­га: fi3(0) = 31/2 = 1,73. Это же значение функции интенсивности напряжений было отмечено для трещины поперечного сдвига в направлении плоскости трещины.