1. Определение орбитальных систем; свободные и несвобод­ные (каркасные) орбитальные системы, их синхронизация[63]). Все рассматриваемые в настоящей книге, а также и многие дру­гие механические и электромеханические системы с синхронизи­рующимися объектами могут быть отнесены к одному широкому классу систем, которые назовем орбитальными системами.

Под орбитальной в общем случае будем понимать систему, состоящую из (к + 1)-го взаимодействующих твердых или дефор­мируемых тел, в которой центры масс или другие характерные точки С і, ..., Ск тел В, ..., Вк, называемых несомыми телами, могут совершать движения по замкнутым траекториям относи­тельно некоторого тела Во, называемого несущим или централь­ным (рис. 44). За центральное тело, как правило, может быть принято любое из тел системы, однако обычно за таковое будем принимать вполне определенное тело} отличающееся от осталь­ных каким-нибудь характерным признаком, например, имеющее значительно большую массу. Несущее тело В0 может состоять из некоторого числа взаимодействующих тел; в этом случае будем говорить о несущей системе тел. На каждое из тел орбитальной системы, помимо сил взаимодействия, могут действовать задан­ные силы как консервативного, так и неконсервативного ха­рактера.

Можно выделить два типа орбитальных систем: свободные и несвободные (каркасные). В свободных орбитальных системах движение характерных точек С, ..., Ск несомых тел не подчи­нено каким-либо кинематическим связям; именно с такими си­стемами приходится иметь дело, например, в небесной механике (см. гл. 7). В несвободных орбитальных системах несущее тело обычно идеализируется в виде одного или нескольких твердых тел, упруго связанных одно с другим и с неподвижным основа­нием. Характерные точки несомых тел при этом могут переме­щаться по фиксированным замкнутым траекториям внутри твер­дых тел, образующих несущее тело. Подобные системы играют существенную роль в вибрационной технике — они отвечают, в частности, динамической схеме вибрационной машины с нес­колькими механическими вибровозбудителями (см. рис. 5 и 6); другими примерами могут служить сепараторы подшипников ка­чения (рис. 39), маятниковые часы, установленные на подвиж­ном основании (рис. 40).

Среди обобщенных координат, определяющих положение не­сомых тел Bs относительно несущего (центрального) тела В0, могут быть как колебательные (либрационные), так и враща­тельные (ротационные) <p,(£) (s = 1, ..., р). В числе последних особую роль играют координаты cps (t) (s = 1, ..., к) (не обя­зательно угловые), характеризующие положение точек С, на их траекториях (орбитах), назовем эти координаты орбитальными). Для несвободной системы, несомые тела которой имеют лишь одну степень свободы относительно тела В0, например, являются материальными точками, маятниками и т. п., орбитальные коор­динаты ф[64] (£) полностью определяют положение несомых тел /?і, . .., Bk относительно несущего тела Во.

Основная задача о синхронизации орбитальных систем состоит в исследовании движений, при которых характерные точки несо­мых тел В, ..., Bh движутся по замкнутым траекториям отно­сительно несущего тела В0 с одинаковыми или кратными перио­дами *), совершая синхронные движения также и по всем или некоторым другим обобщенным координатам.

Подавляющее большинство задач о синхропизации орбиталь­ных систем может рассматриваться как задачи о синхронизации слабо связанных квазиконсервативных объектов или объектов с почти равномерными вращениями [65]). Синхронизирующимися объектами при этом являются тела В, ..., Bh, несущей связью — тело Во, с которым взаимодействуют несомые тела, а несомые связи определяются взаимодействиями несомых тел между собой. Так, например, в небесномеханических задачах взаимодействие тел В0, Вл характеризуется законом всемирного тяготения. Подчеркнем, что квазиконсервативная идеализация для орби­тальных систем не является единственно возможной.

Для «не взаимодействующих» вращательных координат, в частности независимо движущихся (не взаимодействующих одно с другим и с несущим телом Во) несомых тел В„ т. е. в порождающем приближении, величины ф, определены с точ­ностью до произвольных начальных фаз а,:

ф8 (t) = ф“ (t + a*) (s = 1, —, Р), (6.1)

(р — число вращательных координат).

Относительно синхронизации орбитальных систем, идеализи­руемых в виде объектов с почти равномерными вращениями или в виде квазиконсервативных объектов можно повторить все ска­занное в §§ 4 и 5. В частности, «отбор» фаз а, в устойчивых синхронных движениях осуществляется посредством решения соответствующих основных уравнений (4.6), (5.8); исследование устойчивости — с помощью уравнения (2.12); этот отбор может быть сделан также путем использования интегрального критерия устойчивости синхронных движений (их экстремального свой­ства). Весьма существенно, что при этом, вследствие 2я-перио - дичности функций Лагранжа системы в целом и отдельных ее частей по ср.,, указанные функции после усреднения за период (на порождающих решениях) становятся 2я-периодическими по всем фазам а,. Именно это обстоятельство при наличии некото­рых дополнительных условий обеспечивает в рассматриваемых системах тенденцию к синхронизации (см. § 7).

Отметим также, что в случае свободной орбитальной систе­мы, а также когда несомые тела В, , Bh имеют несколько

степеней свободы относительно несущего тела В0, условия устой­чивости синхронных движений, выражающиеся через посредство уравнений (2.12) или интегральный критерий устойчивости, яв­ляются лишь необходимыми, хотя и играют, как правило, основ­ную роль. В случае же несвободной системы и когда несомые тела имеют одну степень свободы относительно несущего тела (см. рис. 5 и 45), эти условия практически являются также и до­статочными.

2. Несвободная орбитальная система со слабо взаимодейст­вующими простейшими телами. Основное вариационное соотно­шение и пример его использования. Рассмотрим несвободную ор­битальную систему (рис. 5), в которой «несущее тело» В0 пред­ставляет собой систему твердых тел Вой. Воп, связанных одно

<с другим и с неподвижным основанием системой линейных упру-* тих и демпфирующих элементов, а несомые тела Ви..Вк име­ют относительно тел несущей системы всего одну степень сво­боды. Такими несомыми телами, в частности, могут быть неурав­новешенные роторы, приводимые от каких-либо двигателей (вибровозбудители), маятники, грузы на пружинках и т. п. Не - ■сомые связи будем предполагать отсутствующими, а систему в «целом — не обязательно квазиконсервативной.

Задача о синхронизации вибровозбудителей в такой системе рассмотрена в гл. 3, а задача о синхронизации маятниковых ча­сов (в несколько менее общей постановке) — в гл. 5. Здесь мы, .следуя работе А. И. Лурье [175], получим так называемое основ­ное вариационное соотношение, относящееся к общему случаю, 'И дадим пример его использования для решения задачи о син­хронизации системы с почти равномерными вращениями. В упо­мянутой же гл. 3 (п. 6 § 8) это соотношение использовано для. решения соответствующей конкретной задачи в качестве иллю­страции метода А. И. Лурье, основные идеи которого были изло­жены в § 5 гл. 11.

Пусть и — вектор обобщенных координат несущей системы тел, а <р, — обобщенная координата, характеризующая положе­ния тела В, относительно тела несущей системы.

к

(6.2)

етервое из которых — кинетическая энергия несомых тел В, ,. і „.., Bh при неподвижных несущих телах, второе — кинетическая анергия несущих тел при остановленных на них несомых телах ■Ви • • ч В* а третье — добавочная кинетическая энергия, связан­ная с. подвижностью несущего тела. Через М обозначена посто­янная симметричная матрица инерционных коэффициентов несу­щего тела, через а, — инерционные коэффициенты тел В„ через &s (ф8) — вектор, представляющий собой периодическую функ - щию от <р,. Штрих, как обычно, указывает на транспонирование; •наличие малого параметра ц перед слагаемыми Т{1) и АТ* в ра­венстве (6.2), как и в § 5, соответствует предположению о сла­бой связанности несомых тел В, Вк через посредство - тел несущей системы; малыми считаются и колебания несу­щих тел.

Кинетическая энергия рассматриваемой системы записыва­ется в виде суммы трех слагаемых

Потенциальная энергия системы и элементарная работа не­консервативных сил записываются соответственно в виде

П = І пвЫ + цП(1) (в) (п(1) (в) = цП(1) (и) =4 в' - С-в];

Е—-1

(6.3)

Ъ'А = - 8в' ДЙ + £ (С + да 6Ф„

«—1

где С и R — постоянные симметричные матрицы коэффициен-

• •

тов жесткости и сопротивления, так что в' • 2? •» — удвоенная диссипативная функция несущего тела; и —

соответственно конечная и малая части неконсервативных обоб­щенных сил, соответствующих координатам объектов <р,.

Функция Лагранжа системы, таким образом, записывается

Б БПДС

L = I (£(1) + А Г), Ls = l аЛі - П. (ф8),

(6.4)

h •

L(I) = ц2(І) = - і (в* • М-в + в'Св), AL* = |xAL* = 2 фЖ (ф*) •»,

г *=і

где L, — «собственные» функции Лагранжа тел В,. Соответству­ющие обобщенные импульсы р, = дЫдф, и z — дЫди будут

h

• г • • 4

= й«ф8 + Z = М-и + 2j bsф*. (G.5)

*=i

С точностью до величин более высокого порядка малости чем ц выражение (6.4) для функции Лагранжа системы цожет быть представлено в форме

L = І р4ф* - Я0 + ц (L(I) + AL*), Гв 6)

S=1

где

я. = І[^ + п.<фо] <6-7>

— функция Гамильтона несомых тел (немалое слагаемое е вы­ражении для функции Гамильтона системы). Среднее значение функции Лагранжа за период Т — 2я/(о, т. е. среднее за период
гначение действия по Гамильтону, таким образом, будет

Л = <Ь> = 2 (р. Ф* - Я0) + ^(Л(1) + ДЛ*) (6.8)

з=1 /

где

^ _ л(1) = <L®> и цДЛ*=ДЛ* = <Д£*>. (6.9)

В соответствии с принципом Гамильтона должно быть

ЄЛ+<6'Л> = 0. (6.10)

Отсюда, используя формулы (6.3), (6.8) и (6.9), получаем

2 [б (р>фв—н0) -j - ^°>6фЛ - j - б (л( ^ - j - дл*) - f - «=1

+ І $x)fi<ps - би'./г-й^-і (і ргбф8 + 2'-би) ; = о

(йч=|1ет (6.И)

<2 (*■-$)' в=1

и, после известного преобразования' с использованием интегри­рования по частям, приходим к основному вариационному соот­ношению

/V fm. _ f D. 4- ^ - ПІ°Л ЯтЛ

+

/

т

. (6.12)

+ б(Л(1) + ДЛ*) + ^2 <?^бф5- бв'.2?.в> = ~г’‘Ьп

'8=1 '

Приведем также уравнения движения несомых тел и несущей системы, соответствующие выражению (6.4) и сделанным выше предположениям

•• сЩ

Л„т. 4--------------- 4- п. Я>_ = п(6> 4- пО(1) (.?=■!.--- - М /R 13^

— в то І і І Ув " / '■в І rV* - п 1 *-/t V /

(L(I) + Д£*) + Д. і = 0. (6.14)

d д Q

Здесь 3** — т — g - — эйлеров оператор, соответствующий

д<7 ”

обобщенной координате д, так что

(L*) = &Я ar„ (L(I) + AL*) = Mb + Си + 2 6scps. (6.15)

Применим в качестве примера основное вариационное соот­ношение к решению задачи о синхронизации несвободной орби­

тальной системы с почти равномерными вращательными движе­ниями, т. е.,-как и в § 4, предположим, что изменение обобщен­ных координат ф» в первом приближений определяется равенст­вами (4.5), а соответствующий закон 2я/м-периодических уста­новившихся колебаний — равенствами (4.5')

ф8 = Ф? = ^в (nsa>t - f as) (s = 1, ..., к), .g 16.

и = в0(м£, аи ah).

Сопоставляя уравнения (6.13) и (6.14) с (4.2), (4.3) и учитывая, что согласно (6.4) <§JJJ) = c? u(L(I) + AL*), будем иметь в рас­сматриваемом случае

as = /«, П5 (ц>$) = О, = —К (<ps — asnsa>), = — Ru.

. (6.17)

Будем рассматривать (6.16) как форму приближенного реше­ния задачи о синхронизации, воспользовавшись вариационным соотношением (6.12) для определения постоянных щ, ..., а*. Принимая во внимание, что согласно (6.5) Ps = /tcsnsra, т. е. Ы = о, а также учитывая Т = 2зт/о-периодичность функций u°(t), z(t) и произвольность вариаций 6ос„ получцм следую­щие уравнения:

д (Л(І) + ДЛ*) sfnW\ /дио в *

das

(* = 1 *)- (6.18)

Поскольку согласно (4.7) и (6.4)

д дЛ ул д а(А№ + АЛ*)

das — das Zd das dag ( J

s= 0

и в иаШбм случае

Q(o) — — R то уравнения (6.18) в точности совпадают с уравнениями (4.6), полученными в § 4 методом ма­лого параметра.

Из вариационного соотношения легко получаются также уравнения, описывающие медленный процесс установления син­хронного режима и условия его устойчивости. Для этого поло­жим в равенствах (6.16) величины а, не постояными, а медлен­но меняющимися функциями времени а, = a, it). Тогда будем иметь

Подставим эти выражения в (6.12) и пренебрежем, как это при­нято в принципе усреднения, изменением величин а„ а, и а. в течение периода. Кроме того считаем, что вектор и определя­ется по текущим значениям а, прежними выражениями (6.16); такое предположение соответствует допущению о медленности изменения а» и быстроте процесса установления колебаний по переменным в (см. также п. 6 § 8 гл. 3). Тогда придем к сле­дующим уравнениям:

■*

(6.21)

(s = l

• . [66]1 ft).

В случае, когда существует потенциал избыточных усредненных неконсервативных сил, т. е. такая функция В(ai, ..., а*), что (см. § 4)

(6.23)

можно ввести функцию

D — — (А(І) + ДЛ* + В) и представить уравнение (6.21) в форме

(6.24)

Из хорошо известных теорем об устойчивости [183, 294] следует, что положения устойчивого равновесия этой системы, соответст­вующие синхронным устойчивым движениям (6.16), отвечают точкам минимума функции D, которая играет здесь роль потен­циальной энергии. Но эта функция в рассматриваемом случае совпадает со введенной в § 4 потенциальной функцией. Полно­стью совпадают поэтому и результаты исследования, получен­ные обоими методами.

Если функции В, удовлетворяющей равенствам (6.22), не су­ществует, но члены /,а, в уравнениях (6.21) могут быть отбро­шены вследствие их малости *), то получающиеся из этих урав­нений стационарные значения постоянных а. и соответствующие условия устойчивости также в точности совпадут с определяе­мыми согласно уравнениям (4.6) и (2.12). Иными словами, и в этом случае имеет место совпадение соответствующих резуль­татов.