На рис. 2.5 показан малый элемент материала с размерами dx, dy, dz. Точка А находится в начале координат.

Точка B перемещается (du) относительно начала координат, это перемещение можно разложить по координатным осям на состав­ляющие dux, duy и duz. В общем случае каждую из составляющих перемещения можно представить в виде ряда:

du - ddu^. dx, d2ux. dx x dx 1! dx2 2!

+ u_ dy, дЧх dy + +u_ dz, d2ux dz +

dy 1! dy2 2! ... dz 1! dz2 2! ...

Если du достаточно мало по сравнению с расстоянием между

точками А и B:

Vi

du,

'у л -

Рис. 2.5 Вектор перемещений du точки B относительно точки A и его разложение

Рис. 2.6 Схема определения угловой деформации yxy и угла поворота элемента по перемещениям ux и uy

ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

то можно ограничиться только первыми членами этих разложе­ний и считать, что перемещения внутри малого элемента изменя­ются по линейному закону:

Входящие в эти выражения производные вида (ди/дх) назы­ваются линейными деформациями и обозначаются:

дщ_ dxt' duy ду

(2.25)

В частности:

дих dx

диг дг

£*х

&гг

Производные c разными индексами, вида (ди/дх):

ди* ; диу ; диу ; дит ; Эи^; д^

ду ’ дх ’ дг ’ ду ’ дх ’ дг

определяют не только сдвиговые деформации у, но и угловые пе­ремещения ю.

На рис. 2.6 показан первоначально прямоугольный элемент. Повороты сторон прямоугольника на дих/ду и диу/дх превращают этот элемент в ромб.

Угловой (или сдвиговой) деформацией называется уменьше­ние первоначально прямого угла рассматриваемого элемента. Из рисунка видно, что при малых деформациях, когда тангенс угла примерно равен углу, для вычисления угловых деформаций спра­ведливы формулы:

диу ; дх ’ диг ; ду ’ дих. дг '

дих ду диу дг диг дх

Ухи у уг

(2.26)

у гх

Из формул (2.26) видно, что, как и в случае напряжений, в выражениях для деформаций перемена мест индексов ничего не

меняет: уху = у уХ, у ij = уп.

Формулы для вычисления углов поворота ю выводятся на ос­новании рис. 2.6:

_ дих диу ;

Шху ду дх ’

_ диу диг ;

Шуг дг ду ’ (2.27)

диг дих дх дг '

0Шг

ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА