1. Задача о внешней синхронизации. Пусть система, струк­турная схема которой изображена на рис. 4, описывается общими

дифференциальными уравнениями задачи о синхронизации сла­бо связанных объектов (см. уравнения (2.1) гл. 1):

if = X)S)(4S .-..,4:)) +

-і - I'F'f (41}, • • -, 4fc • • •, 4^; щ, • • •, щ; «t, ц)

(7 = 1, ...,r5; s = 1, ..., к), (2.1)

тт frfl) rfl>. • r№) ,, t ■ f

Up p, . . . ? , . . . , Aj, . . . , •brfa > * * * l VJ Ц rJ

(p = l, ...,v).

Эти уравнения записаны здесь в скалярной форме, причем опу­щены несущественные теперь индексы ~ и * при функциях связей Up', предполагается, что указанные функции явно

зависят >т времени t й имеют период Т — 2я/со по этому аргу­менту. Пусть, далее', порождающая система

жі0 = Z|s> Oio, • • •, x(r%) (/ = 1, ...,rs; s = 1, ..., ft),

Up о “ Up (^10 , • • ■ , ^VlOi ■ • " > ^-XO ) • " • J ^0* ^10» ■ * M ^V0> O)

(p = 1, ..., v)

имеет синхронное решение

Xjo — (pio (t - j- cts), UpQ — up0(t, alf. •ctft), (2.3)1

т. e. решение вида, характеризуемого равенствами (1.3) гл. 2.

Уравнения в вариациях, соответствующие системе (2.2) и решению (2.3), имеют вид

zjS) = pji* (t + as) 4S) + • • • + Pi*, (i + O'*) zrSg

(/ = 1, ..., rs, s = 1, «.., ft),

(2.4>

zp = 9pizi 4* — + 9pvzv + 2 |VpT zi } + ■ • ■

m—1

где

Й>«>=-“5Й

(2 5V

„ _l*i I l>

(/» Pi ® ~ rs, Pi A = 1, • ■ V, S = 1, . . ., ft),

причем, как и ранее, круглые скобки, в которые заключены про­изводные от Xf и U„, означают, что эти производные вычисля­ются для порождающего решения.

Предположим, что уравнения в вариациях (2.4) допускают в точности к периодических решений (6„j — символ Кронекера)

д») _ А<«> (t + a ” - —*

r? v — tjo v> і ^p7 — ^2 gj

(7 = 1, ...,rs; s, v = l, ...,ft),

получающихся, согласно теореме А. Пуанкаре (см. § 1 гл. 10), путем последовательного дифференцирования функций (2.3) по ai, , ah. Пусть все прочие независимые от (2.6) решения си­стемы в вариациях неограниченно убывают при t - v Тогда к рассматриваемой системе можно применить теорему § 4 гл. 10 с учетом замечания 4) § 7 той же главы. С этой целью рассмот­рим систему, сопряженную по отношению к системе в вариациях

(2.4) . Заметим, что последние v уравнений указанной сопряжен­ной системы имеют вид

Zp - j - Qiffii <?vpzv — 0 (p = 1, ..., v) (2.7)

и, таким образом, содержат только переменные, соответствующие координатам системы связи между объектами. Это обстоятельст­во не случайно, оно характерно для всех задач о синхронизации слабо связанных объектов. В силу сделанных предположений о характере решений системы (2.4) система (2.7) допускает только тривиальное Т’-периодическое решение zp == 0. Поэтому Т’-перио - дическое решение системы, сопряженной по отношению к систе­ме в вариациях, следует искать из систем уравнений

Z;(S) - f Pif (f + «Л %(S) 4- - • • + Prfi (t - r as) z*s(s) = 0 ^

(/ == 1» • • • і ® === 1» ■ • ■»ft)»

отвечающих координатам объектов и независимых для каждого

объекта. В силу тех же предположений о характере решений

системы в вариациях (2.4) каждая из подсистем (2.8) допускает

единственное Т’-периодическое решение; обозначим это решение через rjjS) (t + as). Тогда система (2.8) в целом допускает к ли­нейно независимых Т’-периодических решений

= -nf (* + «з) Ssp (P = 1, .. •, ft). (2.9)

Поэтому, а также при учете того, что z*p==0 (р = 1, ..., v), соотношения (4.9) гл. 10 сводятся к условиям

2 ФІ? (*) r, f (f) = l (S = l, ..., ft), (2.10)

3=1

которым и должен быть подчинен выбор периодических решений

4^(0.

Если учесть теперь, что суммированию по индексу S от 1 до I в обозначениях § 4 гл. 10 здесь отвечает суммирование по ин­дексу і от 1 до rs, а затем по индексу s от 1 до к и, наконец, суммирование по индексу р от 1 до v, то применение теоремы указанного параграфа приводит к следующим основным уравне­ниям для определения параметров ai, ..., aft:

Ts

Ps («1, • •., aft) - 2 <0f}) *lis) (t + a«)> = 0 <* = 1, ..., ft).

3=1

Условия устойчивости соответствующего синхронного движе­ния при этом сводятся к требованию отрицательности веществен­ных частей всех корней у. алгебраического уравнения [58])

I да}

2. Задача о внутренней синхронизации. Пусть при тех же условиях, что и вьцпе, система является автономной, т. е. опи­сывается уравнениями (2.1), правые части которых, однако, не зависят от времени t явным образом. Тогда, еслй период порож­дающего решения Т = То заранее неизвестен и определяется, как это часто делается, из условия обращения в нуль первой поправки 6(ц) к периоду искомого решения (см. замечание 5 § 7 гл. 10), то одна из фаз а„ например а», может быть поло­жена равной нулю, а фазы «і, ..., ah-i и период Т0 определя­ются из той же системы основных уравнений. Условие устойчи­вости рассматриваемого решения, однако, теперь состоит в тре­бовании отрицательности лишь (к — 1)-го корня V, уравнения

(2.12) . Один из корней указанного уравнения, в данном случае непременно равен нулю; его наличие не влияет на суждение об устойчивости. Случай известного периода порождающего реше­ния в задаче о внутренней синхронизации рассмотрен в работах [57, 207].