Во Введении уже говорилось про обнаруженные астрономиче­скими наблюдениями замечательные целочисленные соотношения (соизмеримости, «резонансы») между средними угловыми скорос­тями вращений и обращений (орбитальных движений) небесных тел; были приведены и примеры таких соизмеримостей в движени­ях Луны (законы Кассини), а также в совместном движении Зем­ли, Венеры и Меркурия. В настоящее время известно очень боль­шое число подобных соизмеримостей в Солнечной системе; под­счеты показывают, что их значительно больше, чем это можно объяснить, исходя из чисто вероятностных соображений (см., на­пример, [202, 326]). Поэтому многие исследователи приходят к выводу, что такие соизмеримости носят неслучайный характер, а объясняются устойчивостью (по крайней мере в малом) соот­ветствующих движений 122—24, 88, 100, 202], т. е. тенденцией к самосинхронизации. В ряде случаев путем более или менее при­ближенного анализа действительно удается доказать эту устойчи­вость. Примером является установление существования и устой­чивости тех решений дифференциальных уравнений, которые со­ответствуют знаменитым законам Кассини движения Луны. Важ­ные результаты здесь принадлежат В. В. Белецкому (см. обзор в книге [23]); обзоры ряда интересных исследований и оригиналь­ные результаты приводятся также в работах [100, 281] и в книгах [106, 1111).

Характерно, что прн указанных соизмеримостях наблюдаются вполне определенные фазовые соотношения между движениями тел. Так, например, соединения спутников Сатурна Энцелада и Дионы неизменно происходят вблизи перицентра Энцелада (см. § 3). Как уже неоднократно отмечалось, наличие подобных фазо - вых соотношений является типичным для явлений синхро­низации.

В 1968 г. А. М. Молчанов выдвинул гипотезу о полной резо - нансности (сицхронизированности) обращений больших планет Солнечной системы, показав, что периоды этих обращений (перио­ды средних движений) со сравнительно высокой точностью удов­летворяют некоторым линейным однородным соотношениям с не­большими целочисленными коэффициентами [202].

Для общего теоретического объяснения тенденции к соизмери­мостям (синхронизации) орбитальных движений небесных тел М. Овенденом, Т. Фиджином и О. Графом в 1973 г. был предло­жен чисто эвристически так называемый «принцип наименьшего взаимодействия» (324). Согласно этому принципу, движения п тел происходят так, что среднее по времени значение возмущающей функции вдоль орбитальных траекторий имеет минимальное зна­чение. Справедливость аналогичного эвристического принципа для иной системы — твердого тела, движущегося по эллиптической Ор­бите вокруг притягивающего центра,— путем численного интегри­рования была проверена В. В. Белецким и А. Н. Шляхтиным в 1976 г. [22], после чего В. В. Белецким и Г. В. Касаткиным было дано теоретическое обоснование поиску подобных принципов (см. [25], а также § 8 гл. 10).

Ниже мы покажем [63], что для решения рассматриваемых за­дач можно не придумывать специальные эвристические принци­пы: соответствующий принцип, в тех случаях, когда он действи­тельно имеет место, непосредственно вытекает из интегрального критерия устойчивости (экстремального свойства) синхронных движений, полученного для систем с почти разномерными враще­ниями еще в 1960 г. достаточно строгим путем из общих диффе­ренциальных уравнений движения подобных систем [40—42]. Позднее этот критерий, как отмечается в § 8 гл. 10, был обобщен и на многие другие системы (см. также § 6 гл. 12). Из ин­тегрального критерия, во-первых, естественным путем вытекает выражение для функции, которая (в случае своего существования) минимизируется на устойчивых синхронных движениях (т. е. для потенциальной функции D), а во-вторых, следует вывод о тенден­ции рассматриваемых орбитальных систем к синхронизации в смысле, указанном в § 1 гл. 1. Заметим впрочем, что функция D может оказаться близкой к тем, к которым эвристическим пу­тем пришли авторы работ [22, 324] (см. ниже).

В заключительной части главы будет показано, что результа­ты, вытекающие из интегрального критерия устойчивости, хорошо согласуются с рядом астрономических наблюдепий и вычислений, а также что они свидетельствуют в пользу упомянутой гипотезы А. М. Молчанова и открывают некоторые новые возможности ее анализа.