Во многих случаях (см. гл. 3 и 12) потенциальная функция D оказывается периодической относительно каждого из аргумен­тов ai, ..., ah с некоторым периодом Т, причем периодичность может быть установлена на основе общих соображений без фак­тического нахождения конкретного выражения для Z)(aі, . .а„). В этих случаях при достаточно общих предположениях функция D имеет минимумы в некоторых точках, и если эти минимумы окажутся грубыми (что также имеет место при сравнительно об­щих допущениях), то устойчивые периодические или синхронные

движения непременно существуют, т. е. в системе имеет место тенденция к синхронизации в смысле, указанном в § 1 гл. 1.

Рассмотрим, например, простейший случай, когда функция D зависит всего от одной переменной а; этот случай соответст­вует, в частности, внутренней синхронизации двух объектов. Предположим, что функция Д являясь Т'-периодической по а, не имеет промежутков постоянства. В силу непрерывности функ­ция D достигает на отрезке 0 ^ а ^ Т своего наименьшего зна­чения. Если такое значение достигается в некоторой внутренней точке отрезка а*, то при сделанных предположениях D будет иметь в указанной точке строгий минимум. При этом если (52Z)/9a2)„=a, Ф 0 (что, «как правило», выполняется), то этот ми­нимум будет грубым и устойчивые периодические или синхрон­ные решения непременно существуют. То же заключение оста­ется справедливым, вследствие периодичности функции D, если наименьшие значения достигаются па концах отрезка а = О и а ==Т. Действительно, значения, которые принимает функция D на отрезке 0 =£1 а *£ Т, исчерпывают все множество значений этой функции, а поэтому если взять другой отрезок є ^ а *5 Т + е, где є — некоторое достаточно малое число, то упомянутое наи­меньшее значение останется прежним, но окажется лежащим внутри этого нового отрезка и будет строгим минимумом функ­ции D.

С небольшими видоизменениями сказанное распространяется на случай многих переменных as; и здесь при Т-периодичности функции D по г/.,, «как правило», будут существовать грубые ми­нимумы функции D, т. е. будет иметь место тенденция к синхро­низации.

Назовем потенциальную функцию тп-грубой, если она имеет только грубые минимумы. Тогда можно сказать, что в системах с тп-грубой периодической потенциальной функцией имеет место тенденция к синхронизации.

Ввиду периодичности функции D при наличии одного мини­мума эта функция будет иметь также бесконечное число мини­мумов при значениях аргументов ав, отличающихся одно от дру­гого на п, Т (и* — целое число). Однако таким минимумам будет соответствовать одно и то же периодическое (синхронное) движе­ние системы, и поэтому различать пх не имеет смысла.

Заметим, что заключение о наличии грубого минимума у по­тенциальной функции останется в силе, если последняя представ­ляет собой не строго периодическую функцию, а сумму т-грубон периодической функции и функции, не слишком сильно изменя­ющейся в пределах куба
по сравнению с величиной изменения строго периодической ча­сти. Так, например, если

D = D(a) = Di(a) + В{ а), (9.2)

где Di(a) = VFosina, В — Аа, то заключение о наличии грубых минимумов, справедливое для функции Di(a), останется верным и для функции D(a), если

ад

(см. рис. 52). В таких случаях будем говорить о существовании кеааипериодической тп-грубой потенциальной функции.

Рис. Ь2.

Более того, допустим, что функции D в строгом смысле не существует, но вместо равенств (8.3) выполняются соотношения

Рв (®&1> • • • f ^Cfc) I Я— 4“ (otj, • • • , C&fc)

где функции U. l достаточно малы. Тогда при периодичности и то-грубости функции Do, которую можно назвать квазипотенци­альной функцией, заключение о наличии устойчивых синхронных решений, т. е. решений уравнений Р„ = 0, для которых все кор­ни уравнения (8.2) имеют отрицательные вещественные части, останется справедливым. Иными словами, наличие устойчивых периодических или синхронных решений (тенденции к синхрони­зации) в рассматриваемых системах есть, вообще говоря, «гру­бое» свойство, имеющее место как в случае существования тп - грубой периодической потенциальной функции, так и в случаях квазипериодической потенциальной и квазипотенциальной перио­дической функций.

Из числа случаев, когда свойство m-грубости у периодической потенциальной функции D отсутствует, практически наиболее важными являются такие, когда из уравнений (8.1) или (8.4), т. е. из условий стационарности функции D, не определяются значения всех а» (или, в автономном случае, всех разностей а,— — ос*). Уравнения (8.2) н (8.6) при этом непременно имеют не­которое число (в автономном случае — более одного) нулевых кор­ней, и минимум функции D, если он существует, является прин­ципиально нестрогим. В этих случаях, однако, условия стацио­нарности функции D и условия отрицательности всех прочих кор­ней уравнения (8.6) дают необходимые условия существования и устойчивости периодических или синхронных движений. Для получения достаточных условий в таких случаях необходимо изу­чение следующих приближений (см. замечание 8) § 7 гл. 10).