Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

х, — Х, іхі, ..., xh at) + nF,(a;i,..., xt, ц, at) (s = 1,..., I), (4.1)

где X, и F, — аналитические функции xi, ..., xt в замкнутой об­ласти G, которой предполагаются принадлежащими все изучае­мые ниже периодические решения. По времени t функции X. и

F. предполагаются непрерывными периодическими функциями периода Т = 2п/а; Fs к тому же являются аналитическими функ­циями параметра jx >0 при достаточно малых его значениях.

Пусть соответствующая уравнениям (4.1) порождающая си­стема

x° = X„{xl, at) (s = 1, ..., Z) (4.2)

допускает семейство Т’-периодйческих решений

х& = х6 (о£, с&1, ■.c&k) (5 1, ..., /), (4.3)

зависящее от к < I произвольных параметров ai, ...., ал и анали­тическое относительно этих параметров вблизи изучаемых ниже «порождающих» значений а1 = а1, ..., ak = ak. Предполагает­ся, что параметры сц, ..., ah входят в выражения (4.3) независи­мо, т. е. что по крайней мере один из определителей к-то поряд­ка, содержащихся в матрице

Я^ОІІ

(s — 1, .... j — 1. • ■ • j

не обращается в нуль при упомянутых порождающих значениях параметров *).

Рассмотрим соответствующую уравнениям (4.2) и решению

(4.3) систему уравнений в вариациях (см. § 1), т. е. систему

zs = Pelzl + • • • + Pelzl (s = 1» • • Ч Oi (4.5)

где

ґдХЛ дХ,(х°

Psi = Psj (®t) = ^-^7 J = (4.6)

— периодические функции периода T, причем круглые скобки,

в которые заключены производные от функции Х„ как и всюду ранее, указывают, что эти производные вычислены для какого - либо из порождающих решений (4.3).

В силу известного свойства уравнений в вариациях (см. § 1) система (4.5) допускает по крайней мере к периодических реше-

получающихся путем дифференцирования решений (4.3) по па­раметрам. Известно также, что по меньшей мере к периодических решений имеет система линейных уравнений

z* + Puzi + • • • + Puzi — 0 (s = 1, ..., Z), (4.8)

называемая сопряженной с (4.5) системой. Будем предполагать, что число независимых Т-периодических решений систем (4.5) и

(4.8) в точности равно к, т. е. что система (4.5) не имеет перио­дических решений, независимых от (4.7). Тогда характеристиче­ское уравнение системы в вариациях непременно имеет /с-краг - ный корень р = 1; модули всех прочих корней будем предпола­гать меньшими единицы. При этом кратному «критическому» корню р = 1 соответствуют линейные элементарные делители и оказывается всегда возможным выбрать периодические решения сопряженной системы так. чтобы они удовлетворяли соотноше­ниям

S*rf4 = 8ii = {0f іф] (4-9)

При сформулированных предположениях справедлива следу­ющая теорема, принадлежащая И. Г. Малкину [184] и несколько обобщенная в книге [57].

•) Здесь, как и ранее, используется сокращенная записі, определителя порядка q с элементами asi в виде jaSJ| (s, j — 1, ..q); подобным образом •запись!!o3j!! (s = 1, .... і; / == 1, .... к) означает матрицу с числом строк I и числом столбцов к.

Теорема, Периодические решения неавтономной системы

(4.1) , обращающиеся при ц = 0 в периодические решения (4.3) порождающей системы (4.2), могут соответствовать лишь тем зна­чениям постоянных ai, ..., ak, которые удовлетворяют уравне­ниям

Ps («ъ • • •, Oft) 21 Р) (*1, 0, (Of) z*s (t) / = 0. (4.10)

3=1

Если для определенной системы постоянных а,1 = aj, ..., ak'= =cCft, удовлетворяющих уравнениям (4.10), вещественные части всех корней у. алгебраического уравнения к-й степени*)

= 0 («,/ = 1, ••.,*) (4.11)

отрицательны, то при достаточно малом |л этой системе постоян­ных действительно соответствует единственное аналитическое от­носительно |i асимптотически устойчивое периодическое решение уравнений (4.1), обращающееся при jx = 0 в порождающее ре­шение (4.3).

Если вещественная часть хотя бы одного из корней уравне­ния (4.11) положительна, то соответствующее решение неустой­чиво; при наличии чисто мнимых или нулевых корней, вообще говоря, необходимо дополнительное исследование.