Модель электрической аналогии

Начиная с момента, когда работа экструзионной головки становится установив­шимся процессом, распределение температур может считаться постоянным во време­ни (стационарный процесс). При этом динамическими процессами системы регули­рования температуры пренебрегают.

Теплопередачей в направлении ширины или по периметру вследствие симметрии (широкощелевые головки, головки для экструзии труб, сплошных стержней, рукав­ной пленки) часто можно пренебречь. В этих случаях процесс теплопередачи можно аппроксимировать с помощью двухмерной модели (кроме симметрии канала, допол­нительными условиями являются симметричная форма внешнего контура головки и соответствующее размещение нагревательных элементов).

С учетом вышеописанных условий, двухмерная модель установившегося процес­са теплопередачи может быть описана следующим дифференциальным уравнением:

а2э с? д

= 0. (8.14)

дх2 ду2

Двухмерная модель передачи электрической энергии в плоском проводнике, ха­рактеризуемом активным сопротивлением, описывается аналогичным уравнением:

d2U d2U

+ —Т=0. (8.15)

дх2 ду2

На основании этих уравнений можно заметить очевидную аналогию между тем­пературой 9 и напряжением U. Тепловой поток Q, пропорциональный темпера­турному градиенту, соответствует силе тока / [35].

Используя эту аналогию с плоским проводником, можно построить модель ста­ционарного распределения температур по поперечному сечению экструзионной го­ловки. Это означает, что плоскую модель теплопередачи можно построить для опы­тов с плоским проводником (резистором), вырезав контур поперечного сечения головки из резистивной бумаги (бумаги, покрытой графитом), и обрисовав контур поперечного сечения канала и нагревательных элементов электропроводной краской (так называемое проводящее серебро) [12,30,36].

Модель электрической аналогии для исследования процессов теплопередачи для отдельных сечений по ширине широкощелевой головки вместе с нагревателями (рис. 8.3) и при соответствующих граничных условиях по температуре приведена на рис. 8.4.

Поверхности, через которые происходит конвективная теплопередача, разделены таким образом, чтобы можно было аппроксимировать неравномерные тепловые поте­ри с поверхности головки. Отдельные участки поверхности соединены с источником

Рис. 8.3. Модель плоскощелевой экструзионной головки с термическими граничными усло­виями: 1 - патронный нагревательный элемент (нагревательная мощность Рр) 2 - конвективная теплопередача, а - 16 Вт/м2 ■ К, = 20 °С; 3 - бандажный (ленточ­ный) нагреватель (нагревательная мощность Рв) 4 - ширина головки (Т= 1 м); 5-корпус головки; б - поток расплава (Эм = 220 °С); 7- коэффициент теплоотда­чи (а = 75 Вт/м2■ К)

1 2 3 4 5 Вольтметр У//ЛГ/М Проводящий серебряный электрод Рис. 8.4. Модель электрической аналогии для моделирования процессов теплопередачи в плоскощелевой экструзионной головке

питающего напряжения набором сопротивлений (внешние участки головки под­ключены к отрицательному полюсу напряжения, что соответствует более низким тем­пературам, а внутренние участки поверхности канала — к положительному полюсу, что соответствует более высоким температурам). Источники энергии нагреватель­ных элементов моделируются источниками постоянного тока.

На рис. 8.5 приведена сводная таблица формул, обобщающих данную аналогию.

Аналоговые соотношения

RiBi'

Модель

Изменение напряжения

Сила тока

Активное падение напря­жения (на участке i по­верхности шириной В,)

Отношение изменения на­пряжения к изменению температуры

Отношение проводимо­стей

Масштаб модели

ДО= п ■ ДЭ

/=Т-<2

к • т — а

Модельные параметры

_ ДUfV

” дэ V*J

( Вт - ОмА V м • К )

k= R

model

- безраз-

die

Головка

Изменение температуры

Тепловой поток (в голов­ке шириной Т)

Коэффициент теплоотдачи

мерный коэффициент, %

R° - сопротивление квадратного фрагмента резистивной бумаги Рис. 8.5. Параметры обобщенной модели электрической аналогии

Предполагая, что разница температур между расплавом и окружающей средой составляет, например, 200 К, и принимая п = 1 мВ/К, получим, что питающее напря­жение модели составит Us = 220 мВ. Поминальная сила тока, получаемая от источни­ка постоянного тока при номинальной нагревательной мощности, может быть вычис­лена по формуле, приводимой ниже. При этом сопротивление квадратного участка резистивной бумаги составляет R°= 2 кОм [38], теплопроводность стали, из которой изготовлена экструзионная головка, X. = 40 Вт/м • К (X • R°= k = 80 Вт ■ кОм/м • К), ширина головки Tdje, а нагревательная мощность составляет Р„от - Следовательно, ис­пользуя уравнения модели аналогии, приведенные на рис. 8.5, получаем следующую формулу для номинальной силы тока:

1

мВ

=Р -12 5 Вт-кОм п,,т кВт мК

К - --мкА (8.16)

I'die

80

кОм = 250 кОм.

Добавочное сопротивление на внешнем участке (например, для i = 1 на рис. 8.4) можно вычислить по приведенной ниже формуле. Для масштаба модели 1:1 (т = ^.шири­ны участка Вх = 2 см и локальном коэффициенте теплоотдачи, равном 16 Вт/(м2 • К), результат будет следующим:

Rl 16 0,02

Рис. 8.6. Результаты моделирования распределения температур в экструзионной головке, полученные с помощью модели электрической аналогии

В потоке расплава

3

4

Рис. 8.7. Результаты моделирования распределения температур в сечении, перпендикуляр­ном основному направлению течения: 1 — патронные нагревательные элементы (240 °С); 2 — конвективная теплоотдача в окружающую среду (а = 8 Вт/м2 ■ К); 3 — поток расплава (температура расплава 220 °С), 4 — конвективная теплоотдача к расплаву (а - 75 Вт/м2 • К)

Распределение температуры по поперечному сечению верхней части экструзи­онной головки показано на рис. 8.7 [31]. В самой головке тепловыми потоками в направлении течения и через края изолированных сторон экструзионной голов­ки в окружающее пространство пренебрегали. Теплоотдача в окружающее про­странство и к расплаву учитывалась с помощью коэффициентов теплоотдачи (рис. 8.7).

Напряжение в каждой из исследуемых точек модели можно измерить, используя соответствующим образом подключенный вольтметр с самописцем. При этом замерен­ное напряжение (в милливольтах) будет соответствовать разнице температур между заданной точкой и окружающей средой (так, например, значение 208 мВ соответствует 228 "С при температуре окружающей среды 20 °С). Изолинии напряжения, показанные на рис. 8.4 (пунктирные линии), соответствуют изотермам (линиям равных темпера­тур). То есть рассмотренная модель электрической аналогии позволяет получить адек­ватное описание распределения температур в экструзионной головке (рис. 8.6).

В этом примере высвобождающаяся тепловая энергия моделировалась источника­ми постоянного напряжения патронных нагревательных элементов, соответствовав­ших установленной температуре 240 °С.

Как легко заметить, изотермы лежат намного ближе друг к другу на сторонах, прилегающих к расплаву, по сравнению со сторонами, прилегающими к окружающей среде. Это можно объяснить более интенсивным теплообменом с расплавом.

Уже на расстоянии, составляющем половину расстояния между нагревательными элементами и стенкой канала, изотермы представляют собой практически прямые линии, идущие параллельно поверхности. Это говорит о том, что расстояние между нагревательными элементами и поверхностью канала может быть уменьшено без рис­ка возникновения колебательного профиля температур. Это наблюдение является важной рекомендацией для выбора минимального расстояния между нагревательны­ми элементами и поверхностью канала экструзионной головки.

Процедура моделирования по приведенной электрической аналогии требует не­которых затрат на оборудование (источники постоянного тока и постоянного напря­жения) и определенных навыков исследователя, выполняющего эту работу. Однако после получения теплового контура головки и определения температурных гранич­ных условий можно легко и быстро смоделировать расположение нагревательных элементов путем выбора формы и расположения электродов [37-39]. Вместе с тем определение изолиний напряжения требует достаточно больших затрат времени, по­скольку координаты каждой точки определяются вручную.

Численная модель

За последние годы быстрый технологический прогресс в области микроэлектро­ники привел к появлению современных высокопроизводительных и доступных по цене компьютеров. Это сделало возможным проведение численного анализа матема­тических моделей реологических и термических процессов при различных геомет­рических и физических граничных условиях (для сравнения см. главу 4). Были также разработаны соответствующие программы компьютерного моделирования, адапти­рованные для эффективного использования даже теми исследователями, которые не являются специалистами в области информационных и компьютерных технологий. Среди методов численного моделирования ведущие позиции занимает метод конеч­ных элементов (МКЭ) из-за его применимости для расчетов тел самой различной геометрической формы.

При использовании этого метода изучаемая геометрическая конфигурация раз­бивается на множество конечных элементов, что позволяет весьма точно учитывать малейшие изменения геометрии.

Затем решают уравнение (8.14) для всей расчетной области с учетом всех темпе­ратурных граничных условий и взаимодействий параметров [40].

Рша, = 1498 Вт Р. =858 Вт (57 %) „ Р_______________ га = ЯЯт/м2-К г. = О 25

Рн = 640 Вт (43 %)

Температура на поверхности канала

218,1

221 220,6

Рис. 8.8. Распределение температур в экструзионной головке, полученное методом конечных элементов (температуры указаны в °С)

217,5

220,2

На рис. 8.8 показано установившееся распределение температур в экструзионной головке, полученное при граничных условиях, идентичных заданным для модели элек­трической аналогии, показанной на рис. 8.4. Здесь различные значения нагревательной
мощности были рассчитаны с помощью автоматической итерационной процедуры таким образом, чтобы температура в определенных точках (на рисунке эти точки помечены «звездочками») устанавливалась близкой к температуре, заданной термо­регулятором (температура расплава 220 °С).

Управление объемом тепловой энергии, выделяемой нагревателем, включается таким образом в процесс моделирования с помощью простого регулятора p-типа. Тем­пературные датчики размещаются в точках, помеченных «звездочками».

Нагревательные нагрузки, определенные с помощью вышеописанной процедуры, приведены на рис. 8.3 и относятся к экструзионной головке шириной 1 м.

Количественные различия в форме изотерм, показанных на рис. 8.8 и 8.6, являются результатом сегментации граничных условий в модели электроаналогии. При более мелком разбиении пограничной области можно получить более точные результаты, но при этом существенно возрастет и стоимость электрической модели. Качественные оценки распределения температур но поверхности канала совпадают, а количественные оценки изменения температур в электрической модели сильно завышены.

Рtotal= 2490 Вт = Я Rt/м2.

Рр = 1690 Вт (67%)

800 Вт (33 %)

215,2

219,7

216,5

221 220,6

Рис. 8.9. Распределение температур, полученное с помощью метода конечных элементов для головки, поверхность которой подверглась действию коррозии (температуры ука­заны в °С)

Температура на поверхности канала

При использовании компьютерного анализа сначала рассматривали тепловой по­ток излучением с гладкой поверхности экструзионной головки. На рис. 8.9 показано установившееся распределение температур для поверхности головки, подвергшейся действию коррозии, полученное при идентичных граничных условиях. Температура
поверхности канала при этом становится весьма неравномерной, и требования к на­гревательной нагрузке для всей головки возрастают примерно на 66 %.

Требование повышения общей мощности нагрева распределяется между отдель­ными нагревательными элементами неравномерно. В то время как мощность плоского ленточного нагревателя должна быть повышена всего на 25 %, мощность нагреватель­ного элемента патронного типа необходимо увеличить на 197 % (то есть практически вдвое по сравнению с аналогичным требованием для новой головки с гладкой поверх­ностью). Причина такой неравномерности заключается в том, что доля потерь тепло­вой энергии через поверхность, которые должны компенсироваться нагревателями, для нагревателей патронного типа значительно выше, чем для ленточных нагревателей.

В процессе работы температурные граничные условия изменяются, что может привести к существенному смещению рабочих точек терморегуляторов. Этот факт необходимо принимать во внимание (настройка терморегуляторов в процессе рабо­ты) при конструировании системы нагрева головки.

Рис. 8.10. Распределение температур по поверхности канала, полученное методом конечных элементов, для конструкции головки с альтернативным расположением нагрева­тельных элементов (температуры указаны в °С)

Рр = 1690 Вт (67 %) Р<0,а1 2490 ВТ Рн = 800 Вт (33 %)

Температура на поверхности канала

Эти примеры ясно показывают, что распределение температур но поверхности канала изменяется от температура расплава 220 °С на входе (правая сторона рисун­ка), затем несколько увеличивается, достигает минимума в средней части головки и наконец (под патронным нагревателем) достигает максимума. Затем, по направле­нию к выходному отверстию, температура снова уменьшается и достигает минималь­ного значения (оно ниже температуры расплава) на выходе из канала. По сравнению

На рис. 8.10 показано установившееся распределение температур для одной из возможных конструкций головки с гладкими поверхностями с альтернативным рас­положением нагревательных элементов. Из этого распределения видно, что в сравне­нии с рис. 8.8 общая нагревательная мощность остается практически неизменной, но патронный нагреватель должен вносить в нагрев головки существенно больший вклад (67 вместо 57 %). Поэтому температура патронного нагревателя примерно на 6 °С выше. Максимальная температура поверхности канала возрастает примерно на 2 °С, а минимальная температура остается практически неизменной. Разумеется, это при­водит к неравномерности распределения температур по поверхности канала.

с «идеальной» температурой стенок канала такое распределение является недостат­ком (см. раздел 8.2.2). В данном случае лучше было бы иметь равномерное возрастание температуры стенок канала. Качество поверхности экструдата часто зависит от темпе­ратуры экструзионной головки на выходе. Именно поэтому формующий инструмент головки (например, кольцевой или плоской формы) имеет отдельную тепловую зону, температура которой независимо регулируется терморегулятором. На рис. 8.11 пока­зано, как можно улучшить распределение температуры за счет добавления ленточно­го нагревателя на участке выхода из головки.

р = 1859 Вт

Рр = 660 Вт (35,5 %) Ша1 РВ = 512 8т <33 %)

канала 2П, Ъ 219,7 220,1 219,4 *С 220,36 Рис. 8.11. Распределение температур по поверхности канала, полученное методом конечных элементов, для конструкции головки с тремя нагревательными элементами (тем­пературы указаны в °С)

Из-за повышенных средних температур поверхности общая нагревательная мощность в данном случае примерно на 24 % выше, чем для случая, представленного на рис. 8.8.

На входе и в средней части головки температуры поверхности канала более рав­номерны и заметно возрастают к выходу. Это заметное повышение температуры вы­звано неблагоприятным расположением левого датчика температуры, который рас­положен слишком далеко от ленточного нагревателя, установленного на выходном участке.

Обсуждавшиеся выше численные процедуры позволяют осуществлять и трех­мерный анализ. Однако для разработки модели требуется значительно больше вре­мени (в том числе на построение трехмерной сетки конечных элементов и другие вспомогательные работы), а длительное время проведения самих расчетов делает этот метод весьма дорогим. Во многих случаях знаний, полученных с помощью упрощен­ной плоской модели, вполне достаточно для приемлемого регулирования температур экструзионной головки.

Обозначения

Lt — определяемая длина участка i

Qmi; — тепловой поток, поступающий в экструзионную головку вместе с расплавом

— тепловой поток, покидающий экструзионную головку с расплавом

Осл'Осм ~ тепловой поток, отводимый от головки за счет конвекции (индексы: A (air) — воздух, М (тек) — расплав)

Qmq — тепловой поток, отводимый от головки теплоизлучением — энергия диссипации в головке в единицу времени Он — тепловой поток, поступающий в головку от нагревательной системы (нагрева­тельных элементов) md — масса головки

cpd ~ удельная теплоемкость материала деталей головки

Э(/ — температура головки

рл — давление на выходе

Эд/ — температура расплава

А/к — наружная поверхность головки (площадь поверхностей, через которые проис­

ходит теплообмен с окружающей средой)

Э5 — комнатная температура (температура окружающей среды)

асм — коэффициент теплоотдачи

aCL — коэффициент теплоотдачи конвекцией

айло ~ коэффициент теплоотдачи за счет излучения

е — коэффициент излучения

Ск — постоянная излучения абсолютно черного тела

А(И — внутренняя поверхность головки (площадь поверхностей головки, контакти­

рующих с расплавом)

9^ — температура внешней поверхности головки (температура поверхности, через

которую происходит теплообмен с окружающей средой)

Э(4 — температура внутренней поверхности головки (температура поверхности, че­

рез которую происходит теплообмен с расплавом) tH — время разогрева головки

Qii — установленная номинальная нагревательная нагрузка головки

U — электрическое напряжение

I — сила тока

9 — температура

Д, — добавочное сопротивление

rj — отношение изменения электрического напряжения к изменению температуры

Д U

Д° — сопротивление квадратного участка резистивной бумаги

Т — ширина экструзионной головки

Рпот ~ нагревательная мощность экструзионной головки

R — электрическое сопротивление

V — объемный расход расплава