Идея метода точечных отображений в виде так называемого метода секущей поверхности (.отрезка) принадлежит А. Пуанка­ре [239, 325], позднее она была широко использована Д. Вирк - гофом в теории динамических систем. Использование метода точечных отображений при решении задач нелинейной меха­ники связано с именем А. А. Андронова, а дальнейшее развитие и широкое применение — преимущественно с именем Ю. И. Ней - марка, в монографии которого [218] содержится систематическое изложение метода, обзор исследований и анализ возможностей. Поэтому здесь мы изложим лишь основные идеи метода на уровне метода секущей поверхности.

Будем рассматривать двнжепие системы как движение изо­бражающей точки в фазовом пространстве этой системы. Глад­кую поверхность в этом пространстве, которая во всех своих

точках пересекается фазовыми траекториями без касания, назы­вают поверхностью без контакта. Секущей поверхностью назы­вают поверхность без контакта, которая как при возрастании, так и при убывании времени, вновь и вновь пересекается фазо­выми траекториями, причем так, что промежутки времени между последовательными пересечениями ограничены.

Пусть размерность фазового пространства системы есть п. Выберем в этом пространстве некоторую поверхность без кон­такта S с размерностью р п — 1 и введем на этой поверхности некоторую систему координат у, ..., уР. Возьмем на поверхно­сти S некоторую точку М с координатами у, ..., ур и рассмот­рим фазовую траекторию, проходящую через эту точку (рис. 53).

Если через некоторое конечное время эта^ траектория снова _нере - сечет поверхность S в некоторой точке М с коор дипатами у и ■ ■ ■

, ур, то такая точка называется последующей [56]) для точки М.

Преобразование, устанавливающее однозначное соответствие между всеми точками поверхности 5 с их последующими, назы­вается точечным отображением поверхности S в самое себя и записывается в виде М = ТМ, где Т — оператор точечного отоб­ражения. Неподвижной точкой точечного отображения Т назы­вается такая точка М*, которая отображается сама в себя, т. е. удовлетворяет условию М* = ТМ*. Естественно, что могут су­ществовать и так называемые пг-кратные неподвижные точки,

Т. е. ТОЧКИ М(гп), ДЛЯ которых мт)= ТтМ(т), НО ТкМ(т) Ф М(ту если к< т. Существенно, что неподвижным точкам со­ответствуют замкнутые фазовые траектории, т. е. периодические движения системы. Таким образом, отыскание периодических

306 О ДРУГИХ МЕТОДАХ [ГЛ. 11

І

режимов движения системы сводится к нахождению неподвиж­ных точек отображения, если, конечно, такое отображение по­строено. Более того, знание точного отображения позволяет су­дить об устойчивости периодических режимов.

Действительно, пусть периодическому движению соответст­вует ire-кратная неподвижная точка М(ту Рассмотрим возму­щенное движение, начинающееся в некоторой другой точке М0, лежащей в окрестности точки М*т). Последующей для М0 бу­дет точка Mi = ТтМ0, для точки Mi — точка М2 — ТтМх = = Т2тМ0 и т. д. Для асимптотической устойчивости рассматри­ваемого периодического движения необходимо и достаточно, чтобы

lim Mri = lim ТтПМ0 = М*т).

П-* ос п~*оо

Наиболее просто применение метода для системы с двумер­ным фазовым пространством, когда поверхность S представляет

собой плоскую кривую, а положение изображающей точки на Ьтой кривой задается одной координатой s (напри­мер, длиной дуги, отсчитываемой от некоторой начальной точки). В этом случае дело сводится к изучению то­чечного отображения отрезка в самое себя, так что оператором отображения является скалярная функция одного аргумента s — /(s), определяющая связь между координатой s некоторой точки на отрезке и координатой s ее последу­ющей. Эту функцию • называют функ­цией последования. Если представить функцию s = /Ы посредством графика

/ 'w*. • — n СТ 7. _ _ _ ф а ф и

VpilD. у ТО а ОЧКИ СГО исрЄСеЧбНИЯ S', S' ‘, ... С ПрЯМОИ S — S ЄСтЬ

неподвижные точки точечного отображения. Очевидно, что если |ds/ds|s=5* = | df (s)/ds |s=s*<; 1, то неподвижная точка s*, а также и соответствующее периодическое движение, устойчивы. На рис. 54 неподвижная точка s* является устойчивой, а точка s** — неустойчивой. Приведенное на этом рисунке графическое пред­ставление называют диаграммой Кенигса — Лемерея. Посредст­вом метода точечных отображений П. Н. Занадворовым рассмот­рен ряд прикладных задач о синхронизации генераторов элек­тромагнитных колебаний [128, 129]; указанные задачи изучались как задачи о захватывании. Метод точечных отображений может быть использован и для решения более сложных многомерных

задач о синхронизации, а также как средство исследования об­щих закономерностей синхронизации в динамических системах (см., например, [77, 217, 218]).