Часто синхронные движения (см. формулы (1.6) гл. 1) и близкие к ним неустановившиеся движения таковы, что их мож­но представить в виде

хг) = OjS) (t) t + «js) (t) + у¥* (t, mj8)at)]-

(j — 1, • • •»s — 1, • • ч k),

(3.1)

Up = Ор[?р«рсо(г)г + PP(*) + v„{t, mpcat)]

(p = 1, ..., v),

где о, c4s), pp — «медленные» (в частности, постоянные), a > Up — «быстро» колеблющиеся составляющие. Такое представление естественно во многих задачах о синхронизации, когда синхронная скорость или частота и сравнительно велика, так что независимую ггеременнзто t можно рассматривать как «медленное», а перемен­ную т = о)(f)f— как «быстрое» время. Иными словами, в изуча­емых случаях можно предполагать, что синхронное (или близкое к нему) движение представимо в виде наложения быстрых коле­баний или вращений на медленное движение.

В указанном предположении для решения задач о синхрони­зации применим эффективный метод, который моясно назвать методом прямого разделения движений [62, 65, 67]; идейно этот метод примыкает к принципу усреднения и асимптотическим ме­тодам. Поскольку при решении задач механики этот метод допус­кает весьма удобную интерпретацию, то здесь мы излояшм его именно применительно к механическим задачам. Проведем к тому же рассуждения и выкладки для системы с одной сте­пенью свободы, ибо обобщение на случаи систем со многими сте­пенями свободы не представляет каких-либо затруднений.

А именно, будем предполагать, что уравнение движения си­стемы имеет вид

mx = F(x, х, t) + Ф (х, х, t, сof), (3.2)

где х — обобщенная координата, m — «масса», t — «медленное», a (at — т — «быстрое» время (и > 0 — «большой» параметр), F —

«медленная», а Ф — «быстрая» сила, имеющая по т = at период 2л. Необходимые допущения относительно гладкости функций F и Ф будут ясны из дальнейшего.

Как уже отмечалось, основная предпосылка для применения излагаемого метода состоит в том, что изучаемое «установивше­еся по быстрому времени т = oof» движение системы имеет вид

(3,3)

Ж = X(.t) + ih(t, &t)i
где X — медленная, а ф — быстрая составляющая. Функция ф предполагается при этом 2я-периодической по т = Ш, причем для определенности представления (3.3) примем

<ф(і, т)> =0 (3.4)

2Я

(через J... dx здесь и в дальнейшем обозначается

о

оператор усреднения по быстрому времени т = соі). Иными сло­вами, будем считать равным нулю среднее значение быстрой со­ставляющей по быстрому времени при «замороженном» медленном.

Излагаемый метод включает два этапа. Вначале производит­ся преобразование исходного уравнения (2.2) (или соответствую­щей системы уравнений) к системе интегро-дифференциальных уравнений «вдвое более высокого порядка» относительно медлен­ной и быстрой составляющих X и ф, Затем указанная система решается приближенно.

Обратимся к упомянутому преобразованию уравнения (3.2). Подставив в это уравнение выражение (3.3), прибавим и вычтем в его правой части выражение

^,-<Ф(Х + ф, Х + ф, t, т)>, (3.5)

где через

Fi = FAX, X, ф, ф, t) = F(X + ф, X + ф, t) - FCX, X, t) (3.6) обозначена быстро изменяющаяся функция, обращающаяся в

нуль при яр = 0, ф = 0, а усреднение Ф(Х + ф, Х + ф, t, т)

производится по быстрому времени т, входящему как явно, так и через посредство функции ф.

Потребуем теперь выполнения следующего равенства между слагаемыми получившегося соотношения:

тоф = Fi(X, X, ф, ф, t) — <Fi(X, X, ф, ф, f)> +

+ Ф(Х + ф, X + ф, і, т) — <Ф(Х + ф, Х + ф, t, т)>. (3.7)

Тогда* должно выполняться также уравнение

mix = F(X, X, t) + <FiiX, X, ф, ф, *)> + <Ф(Х + ф, Х + ф, f, т)>.

(3.8)

Довод в пользу именно такого «расщепления» исходного урав­нения будет указан ниже. Пока же отметим, что получившаяся система интегро-дифференциальных уравнений (3.7), (3.8) экви­валентна исходному уравнению (3.2) независимо от предположе­ния о темпе изменения функций X и ф, по крайней мере в том смысле, что если найдено какое-нибудь решение этой системы л и ф, то выражение ж — X + 'ф будет решением уравнения (3.2).

Заметим также, что если известно решение ф = ф(Х, X, t, т) уравнения (3.7), то, подставив его в (3.8), получим уравнение

тХ = ЯІ, X, І) - WOt, X, t), (3.9)

где обозначено

MX, X, t) = ~ <Ф(Х + ф, Х + ф, f, т)> - <F,(X, X, ф, яр, г)>. (3.10)

Выражение MX, X, t), следуя П. JI. Капице [135], назовем вибрационной силой. Тогда уравнение (3.9) можно толковать как уравнение для медленной составляющей X, в котором наряду с обычной медленной силой F фигурирует некоторая дополнитель­ная медленная сила W (вибрационная сила). Иными словами, мы показали, что при весьма общих предположениях справедливо по­ложение, в известном смысле аналогичное известной теореме динамики относительного движения: при составлении уравнений относительного движения добавление сил инерции является как бы «штрафом» за использойание неинерциальной системы коор­динат, тогда как в нашем случае добавление вибрационной силы представляет собой «штраф» за игнорирование быстрой силы Ф и быстрой составляющей движения ф.

Как показано в п. 6 § 8 гл. 3 и в п. 2 § 6 гл. 12, использова­ние сформулированного положения весьма удобно как при ре­шении задач о синхронизации объектов с вращательными дви­жениями, так и при физической интерпретации результатов этого решения.

Заметим, что вибрационная сила W представляет собой ре­зультат усреднения по быстрому времени «собственно быстрой силы» — Фи того быстрого вклада — F і, который выделяется из медленной силы — F на траектории движения системы х = X + + ф. В соответствии с этим можно различать собственно вибра­ционную силу WM = — <Ф> и индуцированную вибрационную силу W(i) =--<F1>.

Обращаясь теперь к вопросу о решении системы уравнений (3.7), (3.8), заметим, что в общем случае оно не проще, чем ре­шение исходного уравнения (3.2). Однако, если учесть основное предположение о темпах изменения функций X и г]), то представ­ляется естественным следующий прием приближенного решения этой системы. Вначале решается уравнение (3.7), причем вели­чины X, X и f, изменение которых за период быстрого движения 2я/ю относительно мало, в процессе решения рассматриваются как постоянные («замороженные»). Предположим, что это урав­нение действительно допускает при «замороженных» X, X и t
«быстро устанавливающееся» асимптотически устойчивое 2я-пе - риодическое по о£ решение, удовлетворяющее условию (3.4). Не­трудно заметить, что рассматриваемое уравнение взято нами при «расщеплении» исходного уравнения (3.2) именно таким, чтобы выполнялось необходимое условие существования указанного ре­шения— для этого достаточно почленно проинтегрировать урав­нение (3.7) по of.

Подставив найденное решение ф = ф(Х, X, f, of) в правую часть уравнения (3.8), как раз и придем к уравнению типа (3.9) для определения медленной составляющей X; теперь, однако, это уравнение будет лишь приближенным.

Заметим, что описанный приближенный прием решения си­стемы (3.7), (3.8) допускает обоснование в духе асимптотических методов. А именно, посредством введения малого параметра ц = = 1/ю и простого преобразования уравнений их можно привести к системе уравнений типа (2.7) с многомерными быстрыми и мед­ленными движениями. При этом уравнение (3.9), полученное опи­санным выше образом, отвечает первому приближению схемы усреднения В. М. Волосова, о которой говорилось в § 2. Тем са­мым решается и вопрос о вычислении последующих приближе­ний для функций г]з и X; впрочем, надобности в таком уточнении, как правило, не возникает.

Существенно, что функция - ф входит в выражение для W под знаком интегрирования. Это позволяет ограничиться. приближен­ным определением функции ф из уравнения (3.7), например, в виде суммы небольшого числа гармоник или небольшого числа членов ряда по степеням малого параметра. Часто можно счи­тать, что ф мало по сравнению с X (X мало по сравнению с | в силу исходного предположения). Наконец, во многих случаях до­пустимо учитывать лишь линейные члены в разложении функ­ции F по степеням фиф, положив согласно (3.6)

(3.11)

где производные вычисляются при ф = 0 и ф = 0. Тогда в силу

(3.4) имеется лишь собственно вибрационная сила W = Ww = = —<Ф>, а индуцированная вибрационная сила отсутствует. Иными словами, индуцированная составляющая имеется лишь в случае,

когда медленная сила F нелинейна по х и х. С другой стороны, при отсутствии в исходном уравнении (2.2) быстрой силы Ф виб­рационная сила может быть отличной от нуля за счет своей ин­дуцированной составляющей; такая ситуация характерна для случая автоколебаппн в системах с медленными силами (см. ниже).

Изложенный метод разделения движений можно рассматривать как обобщение и развитие эвристического приема, использованного П. JI. Ка­пицей при решении задачи о движении маятника с вибрирующей точкой подвеса [135] (1951 г.). Отдельные элементы этого приема присутствуют в книге Н. Н. Боголюбова [69] (1950 г.), давшего решение той же задачи о маятнике, а также в работе В. Н. Челомея '[292] (1956 г.), в которой вы - дринута и обоснована идея повышения устойчивости упругих систем путем вибрационного воздействия. В указанных работах использованы асимптоти­ческие методы, однако в итоговых уравнениях медленных движений фи­гурируют слагаемые, соответствующие вибрационным силам. В дальнейшем прием П. J1. Капицы был применен С. С. Духиным при исследовании дрейфа частицы в стоячей звуковой волне [123] (1960 г.) и весьма успешно исполь­зован К. М. Рагульскисом для-изучения динамики механизмов на вибриру­ющем основании [241, 242] (1963 г. и позднее). Понятие о вибрационных силах (моментах) использовалось в [36, 42, 57, 95, 133, 146] (1958 г. и позд­нее) для интерпретации поведения различных систем под действием вибра­ции (см, также гл. 3 и 4). Элементы развитого подхода можно проследить и в работах, значительно предшествовавших появлению статьи П. J1. Ка­пицы— в исследованиях по теории турбулентности, нелинейной акустике, радиоэлектронике, а также в более поздних работах по колебаниям в нели­нейных управляемых системах.

Более подробное изложение метода и ряд прймсров его использования даны в работах [62, 65, 67]. Здесь же ограничимся в заключение следую­щими замечаниями:

1) Выше было принято предположение об асимптотической устойчиво­сти и быстром темпе установления периодических решений уравнения (2.7)

при замороженных X, X и t. Данное, казалось бы, весьма сильное допуще­ние, однако, вр-первых, выполняется в большинстве известных нам случаев и, во-вторых, может быть ослаблено. При справедливости этого допущения оказываются автоматически выполненными ограничения, касающиеся при­менимости схемы усреднения В. М. Волосова (см. § 2).

2) Разделение сил на быстрые и медленные несколько условно в том смысле, что ошибки не произойдет, если некоторые или все медленные си­лы отпесспы к быстрым. Именпо так следует поэтому поступать в сомни - тельпых случаях.

3) Быстрые движения в нелинейной системе могут возникнуть п при

отсутствии быстрых сил Ф(ж, х, i, at). Специфика этого «автономного по быстрому времени» (или автономного в обычном смысле) случая состоит в том, что период быстрого движения Т = 2эт/(1) заранее неизвестен и дол­жен быть пайден в процессе решения задачи. К тому же, как отмечалось, в данном случае имеется лишь индуцированная составляющая вибрацион - пой сплы W = W(i), причем, как нетрудно видеть, уравпение (3.7) непре­менно допускает тривиальное решение ip = 0 для быстрой составляющей, которому отвечает нулевое значение вибрациопной силы W = TV<4>. Таким образец, для автономной (по крайней мере, по быстрому времени <ot) си­стемы интерес представляют именно случаи, когда уравнение (3.7) допус­кает нетривиальные асимптотически устойчивые автоколебательного ха­рактера решепия.

4) Составив уравнение (3.9), можно осуществить апостериорную про­верку исходного допущения о разделимости движений. Такая проверка всег­да необходима, поскольку движения, описываемые этим уравнением, могут оказаться быстрыми, несмотря па то что движения, описываемые тем же уравнением при W = 0, были медленными.

Как следует из изложенного, метод прямого разделения дви - жепий в той его части, которая касается решения системы ин - тегро-дифференциальных уравнений (3.7), (3.8), естественно со­четается с использованием асимптотических методов. При этом для нахождения периодических решений уравнения (3.7) при

«замороженных X, X и t может быть использован и метод ма­лого параметра Пуанкаре — Ляпунова.

Применение метода прямого разделения движений к изуче­нию решений типа (3.1) позволяет перейти от исходных уравне­ний движения ДЛЯ переменных И Up к более простым урав­нениям для медленных составляющих процесса ю, (f), j}p(f). Именно эти медленные составляющие представляют, как прави­ло, основной интерес. При этом, если, как это часто бывает, фа­зовые координаты системы связи ир являются быстрыми, т. е. рр(£) = 0, то порядок системы уравнений (3.9) для определения

(в)

o, j оказывается на v единиц меньшим, нежели порядок исход­ной системы уравнений (см., например, п. 6 § 8 гл. 3).

Примечательно, что для стационарных движений, когда

• t „

а)°' — и, упомянутые уравнения медленных движений совпадают с полученными методом Пуанкаре основными уравнениями за­дачи о синхронизации [см. уравнения (8.4) и (8.68) гл. 3], из которых определяются величины а, в синхронных движениях; при достаточно общих предположениях получаются из уравнений медленного движения также и соответствующие условия устой­чивости синхронных движений. Вместе с тем уравнения медлен­ных движений (как и соответствующие уравнения асимптотиче­ских методов) позволяют изучать не только стационарные син­хронные режимы (как при использовании метода Пуанкаре), но также и медленные процессы установления этих режимов.