Контур такой выточки при t/p = 25 представлен на рис. 3.13. Декартовы координаты (x, у) связаны с криволинейными фор­мулами:

x = и -|1 + J, У = v (1 2 + 2 |. (3.30)

и2 + V2

и2 + V2

Рис. 3.13

Контур поверхностной мелкой выточки при t/p = 25; u0 = 1,133 (деталь находится выше жирной линии и = и0)

Глубина выточки t, радиус ее закругления p и острота выточ­ки t/p находятся по формулам:

t = —; Р = - 9 U0 2 ■ U0

. (U -1)2. t = 2

Р (u2 -1)2.

Для этой задачи Г. Нейбер приводит только выражение для функции напряжений:

1 --

(3.31)

(2• и2 -1)• (и2 + v2)

F (и) = 2. (и - U0)2

ou(u>v):= + 1

Ниже с помощью MathCad напряжения вычислены по следую­щим выражениям:

0u(u, v):= + 1

h(u, v)2 'h(u, v)3 (dhu(u'v) ■ dFu(u, v) - dhv(u, v) ■ dFv(u, v);

,, *2 ■, , *3 (dhv(u, v)■ dFu(u, v)- dhu(u, v)■ dFu(u, v);

. . - d2Fvu(u, v) 1 -cuv(u, v):=———br—- + -.

h(u, v)2 h(u, v)3

■ (dhv(u, v)■ dFu(u, v) + dhu(u, v)■ dFv(u, v);

h(u, v)2 h(u, v)3

<rz(u, v):= v ■ (<ru(u, v) + <rv(u, v));

<ri(u, v):=-L ■J (au(u, v)-av(u, v))2+(av(u, v)-az(u, v))2+(az(u, v)-au(u, v))2+6^(T:uv(u, v))2;

v2

C1(u, v): = gu(u, v) !gv(u, v) + J(v) + °v(u, v_)|2 + 4 ■Tuv(u, v)2;

n(u, v):

<r1(u, v)

oi(u, v) ’

где дифференциалы функций F и h, обозначения которых начина­ются с буквы d, вычислены по формулам:

h(u, v) ■ (u2 +v2)3 u ■ uO + v2

v ■ (u - uO)2

dFu(u, v):=p ■ (u - uO) ■ 1- d2Fu(u, v):=p ■ 1 -

(2■ uO2 -1)■ (u2 +v2)2 u ■ uO + v2 (u - uO)

(2■ uO2 -1)■ (u2 +v2)2’ (u ■ uO + v2) 1 _ii '_________ L_ •

(u2+v2)2 (u2+v2)3

d2Fv(u, v):=p

(u uO) t1 u2+v2J ; d2Fvu(u v) =p ■ 2 ■v ■(u - uO) ■(v2 - u2 + 2 u ■uO) (2 ■ uO2 -1) ■ (u2+v2)2; d2Fvu(u, v): p (2 ■ uO2 -1) ■ (u2+v2)3

^ / л о (3 ■ V2 - U2 +1) ... , „ (3 ■ U2 - V2 -1) dhu(u, v) := - 2 ■ и ■ —^; dhv(u, v) := 2 ■ v ■ —^ 4 ' U/. . , . Л,2 , .,2 3 ' '

h(u, v) ■ (u2 +v2)3 ; dFv(u, v):=p ■ uO

(2■ uO2 -1)■ (u2+v2)2 2■ uO2 -1 4 ■ v2

В этих формулах нижние индексы написаны в строку, так как в MathCad они соответствуют номерам членов матриц или массивов.

Полученное по этим формулам распределение напряжений по минимальному сечению (v = у = 0), для полубесконечной пласти­ны, растянутой средними напряжениями p в направлении оси у (рис. 3.13), показано на рис. 3.14.

Из этого рисунка видно, что вблизи концентратора эпюры на­пряжений очень близки к эпюрам, представленным на рис. 3.11 для эллиптического отверстия той же остроты.

К этой задаче Г. Нейбер дает следующую формулу для вычис­ления коэффициента концентрации ka = (av)v=0; u=uo/p:

ф

4

-1 + 3 •

(3.32)

К (ф) =

2 + ф / л/2

10

(*/р)1/2

о/р

10,29	89		1 t/p = 25 и0 = 1,133 у = v = 0
/	о„ =	7У= °1
к* | /		as	ц = О	l/°i
\у ПА?	' =			./
г

10

(х - и0- t)/p

Рис. 3.14 Распределение напряжений в минимальном сечении у мелкой поверхностной выточки

		6ІЗЗІ62'4/-
					/ /
				/
				/ /
			/
			/ /
		/
		/ /
	л
	//
/

Рис. 3.15 Зависимость коэффициентов концен­трации напряжений от остроты мелкой поверхностной выточки (сплошная линия) и эллиптического отверстия (пунктир)

где

фр •

На рис. 3.15 результаты вычисления по этой формуле представ­лены сплошной линией.

Зависимость коэффициента концентрации от остроты эллип­тического отверстия скопирована с рис. 3.10. Видно, что незави­симо от формы надреза вдали от вершины при приближенном ана­лизе для оценки коэффициентов концентрации у внешних мелких выточек возможно пользоваться более простой формулой для эл­липтического отверстия. Только при этом за глубину внешней выточки нужно принимать величину t, а не 2t, как у внутреннего отверстия.

2,0

Рис. 3.16 Распределение жесткости напряженного состояния в минимальном сечении у мелкой поверхностной выточки (сплош­ная линия) и у эллиптического отверстия (пунктир) при растяжении

к

11 = 2,565799

	00 о со о	25	t/p = 25
4
ч			1J	2508

2,5

1,5

20 40

60 хг = (х

80 и„-

100 *)/Р

На рис. 3.16 такое же сопоставление выполнено для распреде­ления жесткости напряженного состояния в минимальном сече­нии пластины. Видно, что эти зависимости различаются достаточ­но существенно, хотя мне непонятно, почему.