Пр„

рассмотрении изложенных выше принципов построения систем управления электроприводами предполагалось, что кине­матическая связь между двигателем и исполнительным органом МО) ие подвержена упругим деформациям н не содержит зазора. При таком допущении скорость двигателя и приведенная к двига­телю скорость И О равны между собой не только в установившемся Режиме, но и в переходных процессах. Влияние механизма иа ра - ^У электропривода проявляется лишь в том, что механизм опре­деляет характер момента нагрузки на двигателе, а момент инерции
привода является суммой моментов инерции двигателя, редуктора и приведенного к двигателю момеита ниерцин ИО. Изменение момента нагрузки на механизме в этом случае эквивалентно изме­нению момента нагрузки на двигателе, В большом числе случаев идеализация, основанная на представлении о жесткой связи дви­гателя и И О, оказывается допустимой. Это связано с тем, что ча­стота собственных уиругих колебаний механизма оказывается зна­чительно выше частоты, определяющей быстродействие АСУ ЭП. Если это условие не выполняется, пренебрежение упругостью прн анализе и синтезе системы может привести к ошибочным результа­там. Чем выше быстродействие системы управления, тем больше вероятность того, что влияние упругости на работу АСУ ЭП бу­дет заметным.

Рис. 4-1

Рассмотрению вопросов динамики АСУ ЭП реального меха­низма должно предшествовать создание модели механизма. Эта модель, с одной стороны, должна быть достаточно подробной, для того чтобы составленное иа ее основе математическое опи­сание давало достоверную картину динамических процессов. С дру­гой стороны, она должна быть по возможности простой, чтобы изу­чение этих процессов на ее основе было реально осуществимым. Критерием допустимости принятого упрощения должно быть удо­влетворительное совпадение теоретических результатов с резуль­татами эксперимента.

На рис. 4-1 приведена схема электромеханической системы, где исполнительный орган / через редуктор, условно показанный в виде зубчатых колес 5 и б, приводится во вращение двигателем, ротор которого изображен в виде вращающейся массы 8. Соедине­ние редуктора с двигателем н ИО осуществляется с помощью муФТ 2 и 7. Валы вращаются в подшипниках 3. Связь двигателя с ИО в общем случае оказывается упругой за счет скручивания вала 4 и упругой деформации зубьев колес редуктора, а также соедини­тельных муфт, выполненных, например, с обрезиненнымн. паль­цами. Кинематическая цепь в общем случае содержит обусловлен--

Ш .

ый неточностью изготовления узлов передачи зазор, который' паспределея междУ муфтамн и зубчатым зацеплением в редукторе. На систему действуют внешние моменты: момент двигателя М„, приложенный к ротору, и действующий на ИО момент нагрузки Мс, который может быть активным или пассивным. На работу меха­низма оказывают влияние диссипативные силы, представляющие собой снлы треиия в подшипниках, силы трения в зубчатых зацеп­лениях, а также снлы внутреннего трения в материале вала, воз­никающие в процессе его скручивания.

При исследовании динамических процессов в приводах меха­низмов обычно оказывается допустимым представление двигателя и механизма в виде системы с сосредоточенными параметрами, когда ротор двигателя н отделькые элементы механизма, такие, как //О, зубчатые колеса, маховики, узлы, совершающие посту­пательное движение, и т. п., представляются в внде материальных точек, обладающих определенными массами нли моментами инер­ции, а идеализированные безынерционные связи между ними массой не обладают н характеризуются только упругостью и дисси­пативными свойствами. Считается, что внешние силы нли момент приложены к сосредоточенным массам. Весьма сложную задачу представляет собой создание математического описания диссипатив­ных явлений. Теоретическое решение ее часто дает весьма прибли­женные результаты, что определяет значительные трудности прн создании достоверной модели упругой системы с учетом сил тре­ния.

В рассмотренном на рис. 4-1 примере сосредоточенными массами можно считать массы ротора 3, зубчатых колес 5 и 6 н исполни­тельного органа 1. Упругости зубчатого зацепления н муфты 7 могут быть объединены в общую упругость связи двигателя с ре­дуктором, а упругость связи редуктора с ИО определится как ре­зультирующая упругость вала 4 н муфты 2.

Имея в виду, что зазоры в механической передаче будут вве­дены при построении структурной схемы и пока ие учитываются, можно написать уравнения равновесия моментов, действующих на выделенные сосредоточенные массы:

Мл - М1% - Ьп (фх - Фв) - Мп = УіФії 2=с12 (фі—<р2);

(4-1)

Allg — bxt (фз — фі) —j [M93 - h (ф* — Фа)] — — J2Ф2»

я (ф^ — фз);

М'п - Ь'и(<К - фЭ - № - MU =

гДе Мд — момент двигателя; М'с — момент нвгрузки ив исполни - ^ьном органе (штрихом помечены величины, ие приведенные к валу двигателя); і — передаточное число редуктора; <plt ф2, <рг,

Фз— углы поворота соответствующих масс (см. рис. 4-1); фІ5 СГ2> Фз. фі> ^2* фз — ИХ первые И вторые производные; Ьп, Ь'2Ъ — коэф­фициенты внутреннего трения, постоянные, если считать, ЧТО Мо­менты внутреннего трения в упругих связях пропорциональны раз­ностям угловых скоростей концов этих связен; Af/|, Mf2l М}3 —. моменты трення и а сосредоточенных массах, в общем случае завися­щие от скоростей соответствующих масс; Мп и ЛЦз — моменти в скручиваемых упругих связях соответственно между 1-й и 2-й, 2-й н 3-й массами, связанные с углом скручивания коэффициен­тами жесткости с12 и С2з; — момент инерции ротора и муфты 7;

J2 — приведенный к двигателю момент инерции редуктора (зуб­чатые колеса 5 и 6); Jз — момент инерции И О.

Приведение к двигателю коэффициентов жесткости и внутрен­него трения осуществляется через квадрат передаточного числа:

С'23 — С-І9 / ^23 — biff І2 *

Для перехода к о. е. должны быть выбраны базовые значении скорости и моментов на валу двигателя о)й и Мб и иа исполнитель­ном валу о)б = (Об/і и Мб = М6і. За базовый угол поворота вала двигателя принимается угол, на который повернется вал двигателя,

вращающийся со скоростью за одиу секунду, <рб—

О

(4-2)

а исполнительного вала — фб = Фб/^ Тогда, вводя в рассмотрена скорости сосредоточенных масс ©ц и ы3, уравнения (4-1) можи» переписать в виде

где djdt — р Тні »^і®б/Л^б» ^м2 — J/М$1 Т'мз — Уз<0б/Л^б = J$(0(,}M6 — механические постоянные времени сосредоточенных масс; Гси = Л16/(а>6с12), Тс23 = M'f>j(<o'6c'2Z) ^ Мб/(щс23)— постоян-
времени жесткости кинематических связей; 6с12 = Ь12щ1Мс>, Ї ^ &'3(Об//Иб = Ы3(х>б/М6 — относительные коэффициенты вну­треннего трения; kfl% ft/2> kfn — относительные (в общем случае ІІЄ - еменные) коэффициента, характеризующие зависимости моментоп внешнего трения Mfif Mf,, Mfз от скоростей соответствующих масс

б>1, ©2*

Уравнениям (4-2) отвечает структурная схема механизма, при­веденная на рис. 4-2. На схеме учтены зазоры в кинематической цепи в виде нелинейных элементов на_ входах звеньев 1 }Тги, kdiP и 1 !Тс2Ъ ЬС2зР: упругий момент (М12 или М23) и момент рнуїреннего треиия возникают лишь после того, как разность углов ^ — ф3 илн ф2 — Фз) превысит результирующий зазор (dz ф01 ИЛИ і Фоі) •

Рис. 4-2

Полученное математическое описание механизма удобно исполь­зовать при исследовании электромеханической системы с помощью вычислительных машин.

Для линеаризации системы надо пренебречь влиянием зазо­ров и в уравнениях (4-2) заменить переменные их приращениями, Сцнтая, что момент нагрузки Mt не зависит от скорости, а коэффи­циенты kn и постоянны. Тогда связь между координатами и внеш­ними воздействиями можно охарактеризовать передаточными функ­циями, получив их в результате преобразования линеаризованной Фуктуриой схемы или системы уравнений (4-2).

Воспользуемся матричной формой записи уравнений. Введя обо. значения: xt = A$i, х2 = Дфг, х3 — Афэ, х4 — A®!, х5 = АЛідг> xt = Л©2, лт7 — ДМ23, л* = Awg, можно и а основании системы (4-2) записать матричное уравнение механизма в виде

х = Ах + Ви. (4-3)

А12 А аг

Матрица коэффициентов размерностью 8X8 имеет вид

А =

а матрица управления размерностью 8X2 есть В — [0 і В^]1, где 1 0 0 0 0 А,*— 0 0 10 0 .0 0 0 0 1J #С12

і

і о о

А 22 —

0 1

Ьсг~- kfi Ты 1

Ten

ken

■^г

о

о

Г*

1__

Т С12

&С12 + + Й/8

т М2

1

Tc2Z

&С29

~т« о

о

&С23

Ти2

1_

Тс23

Тиз -

• і тл О О О О

о о О О

В» =

Вектор входных воздействий имеет своими компонентами прира­щения моментов, действующих на первую и третью массы:

її = [ШАШС]',

где индекс «т» — зиак транспонирования.

Если оперировать не с углами поворота, а со скоростями cocpej доточенных масс Д$2, Д©3, т. е. в качестве вектора состояний

136

рассматривать вектор х = 1хАхьх^х7ха]т, то

X = А22Х -|- В21и.

Матричная передаточная функция объекта, определяющая связь координат х4 — Xs с внешними входными воздействиями, получается

как

Bai,

W0 (р) = (pi - А. Л-1 В21 - M

det (cl—Aj2)

где Adj (p — A22) — присоединенная матрица; det (pi — AM) — определитель матрицы pi — A22; I — единичная матрица.

Поскольку в матрице В21 отличными от нуля являются только 1-й элемент 1-й строки и 2-й элемент 5-й строки, для получения матричной передаточной функции объекта необходимы элементы лишь 1-го и 5-го столбцов присоединенной матрицы. Если обозна­чить ИХ 0ц, #21» •••» #61> ai5t ^251 #55t ТО

Дб5і		аи/Т мі	#15 / ^мЗ
шп		/Г-1	, грі Q-lb!1 из
Д	1 — det (pi—А)	aSi/TKl	#35 (T м3	X
AM 23			О45/71 мз
_Дю3 _		JlbilT id	&&JT м3-

Шл ДМС.

Элементы 1-го столбца после деления их на det (pi — А) будут представлять собой передаточпые функции, связывающие соответ­ствующую выходную координату с ДМд, 2-го — с ДЛ?6. Так, на­пример,

At5j (р) _ 1 дц

ДАІд (р) det (pi —А) Тн1 *

До)і(р)	_ asi
_ Д/Ид (p)	«11
Дш2 (p) '	Qbl
[am.(p)J	azi

Через элементы матрицы могут быть определены передаточные Функции, связывающие между собой отдельные координаты; на­пример,

(р) = Ай2 (р)

Ащ (р) ЛМД (р)

До'з (р) = Ді^а (Р)

Лй>2 (р) ДЛІд (р)

Прн учете трения передаточные функции оказываются чрезвы­чайно громоздкими. Имея в виду, .что обычно в промышленных механизмах приходится иметь дело со слабодемпфированиыми упругими

связями, и исходя из стремления получить обозримый Результат, можио положить &с12 — &с23 = klx = kf2 — ft/з = 0.

Тогда после формальных преобразовании получится

Ami (Р) = J_ х ЛАГд (Р) Т»Р

■Т*2У

(7Vr Ги

________________________________ Т сі2Т муТ у-

т т ГмІ^иЗ^мЗ «І j [Y ^wx C^m2" TM3) r

~£12^C23--- J, "Г * f 12----------------- 'P г 1 £23

|_ (Г? Р»+І)(Г^+1)

~тмр ХТ*3р* + )(Пр*+[)’

Д(03 (?)_____________________________________________ ^ усзТсізрг-- 1_________________________

^7tfj ~ ТсПТс23ТчйТ^р* + [Тс1, (Гм2+7м3) + ГшТн33 pa +1

T%Pl+

~(ПРа+1)(7>2+0' ^

Afl>3 (p) і __ 1

Д(о3 (p) TmTw,7P2 +1 ^bP3 +1

Постоянные времени 7, Tt, Тя и Г4 определяются в резуль­тате нахождения корней соответствующих биквадратных уравне­ний и зависят от соотношения параметров объекта; Т5 = ]/ Т^ТЫ3< Частоты, соответствующие этим постоянным времени, имеют опре­деленный физический смысл. Если на вход объекта подать прира­щение момента ЛМд, то в возникших колебаниях скорости пергой кассы будут присутствовать составляющие с частотами 1 /(2 л Г2) и 1/(2лТ4). Если скачком изменить скорость первой массы (напри­мер, прн установившемся вращении, наложив тормоз, затормо­зить двигатель), то скорость второй массы будет содержать коле­бания с частотами l/(2nTj) и 1 j(2rcT3). При наложении тормоза на вторую массу третья масса будет совершать колебания с частотой 1/(2лТ5). В ряде случаев это может быть использовано прн иден­тификации объекта.

Аналогичным путем может быть составлено математическое описание н более сложного объекта с большим числом масс. Од­нако аналитические выражения для системы с таким объектом в об­щем виде оказываются обычно чрезвычайно громоздкими.