Теорию линий скольжения можно использовать для решения задач в области общей текучести. Кроме того, линии скольжения дают представление о максимально возможных напряжениях в области локальной текучести при плоской деформации.

3.4.3.1.

СВОЙСТВА ЛИНИЙ СКОЛЬЖЕНИЯ

В теории линий скольжения рассматривается идеальный же­сткий (sy = 0) пластический материал без упрочнения. Его диаграм­ма нагружения показана на рис. 3.46.

Используется условие текучести в главных ка­сательных напряжениях:

Gt

(3.103)

Ті — Tt — —т — k,

Тэ

Ті Рис. 3.46 Диаграмма нагружения идеально жесткого пластического материала

где ат — предел текучести при растяжении; тт — предел текучести при сдвиге.

При пластической деформации металл не уп­рочняется (k = const). Коэффициент Пуассона при пластической деформации равен 1/2. Поэтому + Gy

-=°2.

(3.104)

2

Главные нормальные напряжения по формуле (2.17) составляют

°1,3 = 2 Oy ± 2 'V (Ox -°y )2 + 4-txy. (3.105)

Максимальные касательные напряжения:

- 2-^

(3.106)

=-

+ Оу )2 + 4-ТЖу = k.

2 2

Если выражения (3.103), (3.104) и (3.106) подставить в (3.105), получим простую и часто используемую формулу, связывающую главные напряжения с гидростатическим напряжением:

(3.107)

Из (3.107) видно, что любое поле напряжений при плоской де­формации жесткопластического материала можно представить как поле гидростатических напряжений ат, на которое наложено поле напряжений чистого сдвига с т1 = k.

Траектории т1 называются линиями скольжения. Линия сколь­жения всеми своими точками касается площадок максимальных касательных напряжений.

Перечислим свойства линий скольжения.

1. Поскольку из условий равновесия следует, что xxy = xyx, все­гда должно существовать два семейства линий скольжения (а и Р), которые всюду пересекаются друг с другом под прямыми углами.

2. Так как главные касательные напряжения действуют под углом 45° к главным нормальным напряжениям, линии скольже­ния всюду составляют угол 45° с направлениями действия глав­ных нормальных напряжений ст1 и ст3.

3. У поверхности материала, свободной от касательных усилий, главные нормальные напряжения, перпендикулярные к поверх­ности ст3, равны приложенному к этой поверхности нормальному давлению p. Главные напряжения ст1 направлены перпендикуляр­но а3 по касательной к этой поверхности. Следовательно, линии скольжения всегда ориентированы под углом 45° к поверхности, свободной от касательных поверхностных усилий.

4. С учетом предыдущего пункта из формулы (3.107) следует, что на поверхности, свободной от касательных усилий, гидроста­тические напряжения составляют

ат = ст3 + k =-p + k. (3.108)

Рис. 3.47 Схема линий скольжения у контура S, свободного от нагрузки

Из этих свойств вытекает ме­тодика построения линий сколь­жения (рис. 3.47).

Нужно у свободной от усилий поверхности S нанести малые от­резки линий двух взаимно орто­гональных семейств а и Р, каждое из которых наклонено к S под уг­лом 45°. На рис. 3.47 эти отрезки показаны жирными сплошными линиями. Дальше нужно их про­длить так, чтобы везде они пере­секались под прямым углом, как показано на рисунке пунктирны­ми линиями а1...а4 и р1...р4.

Пятое свойство линий скольжения связывает изменение угла поворота линий скольжения (Дф) с приращением гидростатиче­ского (среднего) напряжения (Дстт).

Эта связь позволяет вычислять напряжения в любой точке поля, где проведены линии скольжения.

Когда поле линий скольжения построено, по нему нужно най­ти распределение напряжений ста, на сетке линий скольжения.

Воспользуемся формулами (2.12), описывающими изменение на­пряжений при повороте осей координат. Направление осей *1 и у1 в этих формулах произвольно. Направим их вдоль осей главных напряжений (1 и 3). Тогда а*1 = ст1; <гу1 = ст3; т*1у1 = 0. Подставив эти величины в (2.12), получим:

аХ2 = Ст1 • cos2 (0) + СТ3 • sin2 (0) = СТ1 сту2 = °1 • sin2 (0) + а3 • cos2 (0) = ст1

1 + cos(20)		1 - cos(20)
L 2 _	+ CT3 •	L 2 J
1 - cos(20)		1 + cos(20)
L 2 J	+ CT3 •	_ 2 J

*x2y2 = -^ 2 °3 • sin(20).

Используя формулы (3.104) и (3.106), последние три выраже­ния можно записать в виде

°*2 = + k ■ cos(20);

(3.109)

°у2 = °m - k ■ cos(20);

lx2y2 = - k ■ sin(20).

Выразим в этих формулах угол 0 через угол наклона линии скольжения ф:

Ф = 0 + -|; 20 = 2Ф-|;

cos(20) = sin(2ф); sin(20) = cos(2ф).

С учетом этих соотношений формулы (3.109) примут вид

°*2 =®m + k ■ sin(29);

°у2 =°m - k ■ вт(2ф);

1*2у2

= - k ■ cos(29).

Эти напряжения связаны друг с другом уравнениями равнове­сия (2.24). Используем их для плоской задачи, в которой все чле­ны с индексом 2 отсутствуют:

дх*

дху

дау

д* ду д* Подставим в два первых уравнения (3.110) формулы (3.109):

(3.110)

да*

- k ■ sin(2ffl)) + — (-k ■ cos(2ffl)) = 0; ду

-^-(-k ■ cos(2V)) + ^~(am - k ■ sin(2V)) = 0. ду

— 0;

- — 0* х — х ду у у*'

+

д*(а”

A д*

= 0;

(3.111)

-2k

= 0.

Перепишем еще раз: до

дх дот ду

-2k ■

cos(2y) £ + sin(2y) дУ дх ду sin(2y) £ - cos(2y) |УУ дх ду

Оси координат (х, у) в этих уравнениях произвольны. Можно их ориентировать в каждой точке сетки вдоль локальных осей ва и вр, которые в каждой точке направлены по касательным к лини­ям скольжения а и р. Но при такой замене угол ф в уравнениях

(3.111) будет равен нулю. Но так как производные угла ф не равны нулю, уравнения равновесия в локальных координатах, связан­ных с линиями скольжения, примут вид

д^п два дап

дф два

+ 2k

+ 0

= 0;

дф двр

+ 2k

0 -

= 0.

дв.

Л. два _д_ дв,

Или

i°m + 2k - ф) = 0; (ат -2k - ф) = 0.

Р

Следовательно, можно сформулировать еще одно свойство ли­ний скольжения.

При продвижении вдоль избранной линии скольжения гидро­статические напряжения ат получают приращения, пропорцио­нальные изменению угла наклона линии скольжения ф:

(3.112)

(am + 2k - ф) = £ = const при a = соnst;

(am - 2k - ф) = у = const при р = соnst.

Постоянные £ и у легко определить по напряженному состоя­нию в местах выхода линий скольжения на свободную поверхность. Там, если давления нет, а3 = 0; т1 = k. Тогда, из первого равенства

(3.112) следует, что ст1 = 2k; стт = k. Если рассматриваемая линия скольжения семейства а выходит на поверхность под углом ф = фаі к оси х, то подставив найденные значения в первое равенство (3.112), получим для этой линии = k + 2k • фаі. Аналогично, используя вто­рое равенство (3.112), можно найти константу у для любой линии скольжения семейства р. Таким образом, если поле линий сколь­жения построено, то вычислить распределение напряжений по фор­мулам (3.112), (3.109) и (3.107) не представляет труда.