Рассмотрим систему уравнений вида

У* = %*Ув + fs(at) + [xFs(yі, ..., yh pi, cof) (s = 1, ..., I), (2.1)

где X. — постоянные, F, — аналитические функции переменных у і, yt в некоторой замкнутой области G, которой будем пред­полагать принадлежащими все рассматриваемые ниже решения уравпений, и параметра ц, 3* 0 при достаточно малых его значе­ниях. По вещественной переменной t (т. е. по времени) функции Fs и fs являются периодическими с периодом Т = 2л/Сі и непре­рывными, причем функции Fs удовлетворяют этим условиям в любой точке области*).

Числа являются так называемыми характеристическими по­казателями порождающей системы

y°s = Ку°* + fs Ы) (5 = 1,------------------ Z), (2.2)

отвечающей системе (2.1). Среди них могут иметься как действи­тельные, так и комплексные, причем в последнем случае будем предполагать, что %s встречаются в виде комплексно сопряжен­ных пар и что комплексно сопряженным соответствуют также комплексно сопряженные функции /«, и Fs. Заметим, что именно такая ситуация характерна для систем типа (2.1), полученных

*) Перечисленные ограничения могут быть значительно ослаблены (см. § 7); это относится и к теоремам, приводимым в §§ 3—6.

путем надлежащего преобразования исходных дифференциальных уравнений, содержащих лишь вещественные величины.

Имея в виду приложения к теории синхронизации, будем считать, что среди величин Я„ встречается любое число нулей и чисто мттмт'пг, в числе которых могут быть и одинаковые; такие характеристические показатели назовем критическими. Вещест­венные части всех прочих показателей, являющихся, вообще говоря, комплексными числами, будем предполагать поло­жительными.

Разобьем все критические показатели на группы, каждая из которых объединяет кратные показатели и показатели, отличаю­щиеся один от другого на into, где п —любое целое положитель­ное или отрицательное число или нуль. Из этих групп выделим две особые группы, объединяющие показатели вида % = into/2, где п — целые положительные или отрицательные числа или ну­ли. К первой особой группе (назовем ее ведущей особой груп­пой) отнесем показатели вида % = into, а ко второй особой груп­пе— показатели вида К — i(2n + 1)ш/2. Мнимые части V» всех прочих критических показателей отличны от чисел вида nto/2. Группы, к которым они относятся, назовем неособыми.

Обозначим через Я,«г) = iv*r) характеристический показатель из неособой группы г,; в соответствии с вышесказанным будем иметь

in*to, s = l, • • •, к,

Л

і(2ns + l)to, s = к + і, ..., к + m,

iVg, s = к 4* та 4* та^ 4~ •• - 4~ піт—і + 1, - ■ • (2.3)

. .., к + m + • • • + mr

(r = 1.............. p),

— us -|- ivB, s = k + m--m1 + ...+mp + l, ...,I

(us > 0).

Здесь к — число показателей в ведущей особой группе, та — число показателей во второй особой группе, тпг — число показате­лей в неособых группах, р — общее число неособых групп, и на­конец, согласно принципу разбиения показателей на группы

I v'r) — vjr) I = nto; I x>lr) — v|e) I ф МО, г Ф q. (2.4)

Поясним теперь смысл выделения в особые группы характе­

ристических показателей вида К = into/2. Поскольку предполага­ется, что все комплексные (в частности, чисто мнимые) характе­ристические показатели встречаются только в виде комплексно сопряженных пар, то характеристические показатели особых групп % — тсо/2 попадают, в соответствии с (2.4), в ту же особую группу, что и комплексно сопряженные им показатели Я, = = — ina/2. В то же время комплексно сопряженные показатели вида % = ivo попадают в разные неособые группы. Иными слова­ми, особые группы содержат пары комплексно сопряженных по­казателей, а неособые таковых не содержат.

При этом для каждой неособой группы можно найти другую неособую группу, которая содержит характеристические показа­тели, комплексно сопряженные показателям первой группы. От­сюда следует, что общее число неособых групп р всегда четное, т. е. можно положить р — 2р где р' — целое число. Будем в даль­нейшем для конкретности считать, что неособая группа с номе­ром р' + г содержит показатели, комплексно сопряженные по от­ношению к показателям группы с номером г. Иначе говоря, по­ложим в дополнение, к формулам (2.3)

.,(»■) „(р'+г) „ ■ „

— ^s+rnj+...+тр» j — TOp/_j. r

(r = l, ...,р'; s = k + m + + - • • + mr-i + 1, • • • (2-5)

. . •, k -|- 171 "f[49] Wlj... -[- Wj.).

Наряду с характеристическими показателями К попользуются так называемые корни характеристического уравнения р, связан­ные с % соотношением р = ехг = е2пУ/а. Структуре характеристиче­ских показателей, определяемой равенствами (2.3), и структуре дифференциальных уравнений (2.1) отвечают Ar-кратный корень характеристического уравнения р = 1, m-кратный корень р = —1, пгг-кратные (г = 1, р) корни, отличные от ±1, но с модулями, равными единице, и наконец, I — (к + тп + mi + тпр) корпёй, моду­ли которых меньше единицы; при этом всем кратным корням соответствуют линейные элементные делители*).

Сделаем, наконец, естественное предположение, что порожда­ющая система (2.2) допускает периодические решения iroro же периода Т — 2я/и, что и период правых частей уравнений (2.1). Это требование приводит, как нетрудно видеть, к следующим ус­ловиям, накладываемым на функции /.(tot), соответствующие пе­ременным ведущей группы: т

J fs (of) e-in*atdt = О (s = 1, ..., к). (2.6)

о

При выполнении условии (2.6) порождающая система (2.2) до­пускает не одно решение, а семейство Т-периодических решений,

asein, at + us (f 't), s = 1, ..к,

(2.7)

us (at),

s — к lt • • ., Z.

зависящее от к произвольных постоянных а,: У0 (&t)

Здесь через u„(cof) обозначены 2я/со-нериодические функции t, определяемые формулами

S=M-1............. I-

При сформулированных предположениях справедлива следую­щая теорема [33, 57].

Теорема: Периодические решения неавтономной системы уравнений (2.1), обращающиеся при ц — 0 в периодические ре­шения (2.7) порождающей системы (2.2), могут соответствовать лишь тем значениям постоянных aj, ..., а*, которые удовлетво­ряют уравнениям

(s = l, ...,ft). (2*9)

Если для определенной системы постояилыхщ =аІ5 ..., =

= aft, удовлетворяющих уравнениям (2.9), вещественные части всех корней алгебраических уравнений *)

(2.10) (2.11)

дР‘ " =0 (*,/== 1...... ft),

= 0

(уЪ •••>*'?> {(тц-п^ю* g

^ " («,/ = А+ 1, ...,И4

(2.12)

(s, j = к + т + тх + • • •. + тг-г + 1, —

..., к -}- т + Щ -[- ... + тг; г = 1, ...,//?= р/2)

отрицательны, то при достаточно малых р. этой системе постоян­ных действительно соответствует единственное аналитическое относительно |Х асимптотически устойчивое периодическое реше­ние уравнений (2.1), обращающееся при р, = 0 в порождающее решение (2.7).

Если вещественная часть хотя бы одного из корней уравне­ний (2.10)—(2.12) положительна, то соответствующее решение неустойчиво; при наличии чисто мнимых или нулевых корней, вообще говоря, необходимо дополнительное исследование.

Таким образом, исследование устойчивости периодических ре­шений системы уравнений (2.1) сводится к обычной задаче Гур- вица для алгебраических уравнений, коэффициенты которых вы­ражаются непосредственно через правые части первых к + тп + + /»! + ... + пір - уравнений (2.1).