Рассмотрим теперь систему

y. = %.y. — x, F.(yu yi, р) (s = 1, ..., I), (3.1)

отличающуюся от (2.1) лишь тем, что правые части уравнений не зависят явным образом от времени t.

Известно [75, 147], что периодические решения системы (3.1) с периодом Tqt а, близким к Tq,0 = 2nq/va (q — целое положи­тельное число), могут соответствовать любой паре чисто мнимых чисел %, = ±ivc. Поэтому, рассматривая вопрос о существовании и устойчивости решений с периодом Т, близким к какому-либо ив таких периодов, будем считать, что по крайней мере одно из чисел %. = 2ninJT = тп, из ведущей группы (1 ^ s =5 /с) отлич­но от нуля, ибо в противном случае будет неопределенным пе­риод рассматриваемого решения.

Соответствующая уравнениям (3.1) порождающая система

(3.2)

В рассматриваемом случае автономной системы периодические решения уравнений (3.1), обращающиеся при ц = 0 в порождаю­щие решения (3.2), будут иметь период, вообще говоря, отлич­ный от Т = 2я/(о и зависящий от ц. Обозначим этот период через

7’* = 7’*({і) = 7’[1-б(|1)], (3.4)

где б(ц)— неизвестная функция (.«поправка к периоду»), подле­жащая определению в процессе решения задачи; очевидно, что 6(0) = 0.

При сформулированных условиях справедлива следующая тео­рема [34, 57].

Теорема. Периодические (с периодом Г*(|д.) = 741 — 6(ц)]) решения автономной системы уравнений (3.1), обращающиеся при [1 = 0 в периодические (с периодом Т) решения (3.3) порож­дающей системы (3.2), могут соответствовать лишь тем значени­ям постоянных си, ..., GCh-2, GCh-i = cch =‘ос, которые удовлетворя - ют уравнениям

Ps( О!,..., ak) = aknkp* — asnspl = 0 (s = 1, ..., ft ~ 1), (3.5) где

PГ = P*s K, • - on) = <F' (y°o ylo) e~in*at> =

= <F8 (аіЄІПіИ{, ..., ahein^ 0, ..., 0) <ГІП*Ю<> (* = 1, ..., ft). (3.6)

*

Если для определенной системы постоянных а1 = с— ..., ай_2 = ай_2, = а* <= а*, удовлетворяющих уравнениям

(3.5) , вещественные части всех корней к алгебраических урав­нений *)

і

і — ahnhSsjY. j = 0 (s, і = 1, ..., ft — 1). (3.7)

/ ) еЧпз~п^ _ б • f -1 (2п* + 1)Р* 1^)1 — о

I ^ 16 / *4 2 nsah (3.8)

(s, j= ft-f 1, ...,k + m),

Іч^г * v-M^+’vr0 <3-9>

отрицательны, то при достаточно малых ц. згой системе постоян­ных действительно соответствует единственное аналитическое от­носительно jx, устойчивое (асимптотически орбиталъно устойчи­вое), периодическое решение системы (3.1) с периодом Г*(|і) = = Т[і — б(ц)], обращающееся при ц = 0 в периодическое (с пе­риодом Т) решение (3.3) порождающей системы (3.2).

да-

Объяснение обозпзлйБий p,f. в сноске НЕ С. 271*

18 и. и. Блехман

Если вещественная часть хотя бы одного из корней уравнений

(3.7) —(3.9) положительна, то ■ соответствующее решение неустой­чиво; при наличии чисто мнимых или, нулевых корней, вообще говоря, необходимо дополнительное исследование.

С точностью до членов порядка |л поправка к периоду при этом определяется формулой

«М (3.10)

Таким образом, и в случае автономной квазилинейной систе­мы уравнений (3.1) исследование устойчивости периодических решений сводится к задаче Гурвица для алгебраических уравне­ний, коэффициенты которых выражаются непосредственно через правые части первых к+ пг + тщ +...+ тр> уравнений (3.1).