Изложенное в § 4 допускает обобщение на случай слабо свя­занных консервативных объектов [61])„ Рассмотрим систему, струк­турная схема которой представлена на рис. 56. Пусть состояние

Рис. 56.

s-ro объекта определяется вектором-столбцом обобщенных коор­динат ХМ = [жі8), ..., где г, — число степеней свободы

о-ТО объвКТВ.. ПрИМвНИТеЛЬНО КО МНОГПМ ИрИЛОЖеНИЯМ, ИреХаМу - щественно из области механики, целесообразно различать два рода связей (взаимодействий) между объектами. Связи первого рода, состояние которых определяется вектором-столбцом обоб­щенных координат в = [иь. .itm], можно трактовать как обусловленные наличием некоторого «несущего тела» или «си­стемы несущих тел» с то существенными степенями свободы. Будучи связаны с указанными телами, объекты приобретают не­которую дополнительную подвижность, так что их суммарные кинетическая и потенциальная энергии представляются в виде

k h

т* = 2 Т. Л - дг*. П* = 2 Пя + ДП*, (5.1)

s=l S=1

где Тs = Ts (Пя = П8 (x' s>) — собственные кппетнче - скпе и потенциальные энергии объектов, которые можно трак­товать соответственно как кинетические и потенциальные энер­гии объектов при остановленной несущей системе [175]. Через

ДТ* = ДТ* (х, х и, и) и ДП* = ДП* (х, и)

обозначены добавочные кинетическая и потенциальная энергии объектов, связанные с подвижностью несущей системы, причем под х понимается совокупность всех векторов х1’ Собственные кинетическую и потенциальную энергии связей первого рода

обозначим соответственно через = Г(1) (в, и) и П(1) = П(1) (и).

Связи второго рода условно можно назвать несомыми. Они не приводят к увеличению подвижности объектов, но их наличие также может быть (хотя и не обязательно) связано с увеличе­нием числа степеней свободы системы в целом, так что для определения состояния системы необходимо кроме х и и задать также вектор обобщенных координат p = [w1,...,i;n]. Кинетическую и потенциальную энергию связей второго рода

обозначим соответственно через Г(П) = (х, х, а, и, о, о) и

П(п) = П(11) (х, и, v).

Физический смысл различения связей первого и второго рода может быть пояснен на примерах задач о синхронизации орби­тальных систем (см. § 6).

В соответствии с предположением о слабости связей между объектами следует считать, что после наложения связей общие кинетическая и потенциальная энергии системы в целом изме­няются незначительно, т. е. можно положить

k

т = Г* + Та) + Г(П) = % Т. + О (ц),

• “ (5-2)

п = п* + п(1) + п(П) = 2 п, + о (ц),

8=1

где через 0(м) обозначены члены, имеющие порядок малого па­раметра ц. Обобщенные неконсервативные силы, отвечающие ко­ординатам объектов, предполагаются имеющими порядок не ни­же |х, причем составляющие Q(e) этих сил, имеющие порядок |Х, считаются зависящими только от координат и скоростей s-ro объекта, а также, быть может (в случае задачи о внешней син­хронизации), от времени t с периодом 2я/<о внешнего возму­щения, т. е. Q(s' = Q<s' (ars ars of). Обобщенные некон­сервативные силы Qn її Q,:, отвечающие координатам системы связей, вообще говоря, могут быть немалыми и зависеть от всех координат системы.

Порождающая система в рассматриваемом случае состоит из к отдельных консервативных автономных систем, описывающих

движения изолированных объектов, и из порождающих уравне­ний системы связей. Предполагаем, что каждая из указанных к систем допускает в некоторой области G, пространства

( ге(4)) решение вида

= 4о СФ«, cs) = + уJ? (Я]з8, О].

(53)‘

РзО ~ РзО СФ«» Ca)t 'Ф[62] = ®s(cs) t Cls (j — 1,.. . rs, S = 1,.. /с),

/ j) (fO

где а, и с, — произвольные постоянные, у jo и pjo — периоди­ческие функции if, с периодом 2л, Ojs) = ± 1, а g}s) равно нулю для колебательных и единице для вращательных коорди­нат. Постоянные а,, как и ранее, представляют собой начальны© фазы движения объектов, а постоянные с, на траекториях, отве­чающих решению (5.3), взаимно однозначно связаны с постоян­ной энергии

К (cs) = Та хУ) + П8 (4в)). (5.4)

От постоянной с„ а значит и от ft,, зависит и частота со, реше­

ния (5.3); эта частота изменяется для решений (5.3), лежащих в области G, в некотором диапазоне *)

со^ < cos < со*2). (5.5)

Синхронные движения объектов с частотами со, = тг, со, кратны­ми частоте возмущения со, возможны при условии, что частоты со, = п, со лежат внутри этих диапазонов.

Предположим вначале, что каждому решению (5.3) при всех рассматриваемых а, и с, отвечает по крайней мере одно 2я/е>- лериодическое решение порождающих уравнений системы связей

Щ ' Bq((oJ, Cl, . • ., С^, GCj, . ■ Ctft),

(5.6)

»o 5=1 i? o(co£, Ci, • •., Ck, ai,. •RaJ,

зависящее от тех же 2к постоянных а, и с„ что и решение (5.3),

и являющееся асимптотически устойчивым. Будем считать, нако­нец, что объекты существенно неизохронны внутри областей G., т. е. что протяженности частотных диапазонов о42) — со^, а так­же производные do,/dc, не малы. Случай объектов, изохронных в порождающем приближении, требует особого рассмотрения; о нем говорится ниже.

При сформулированных предположениях применение, напри­мер, теоремы § 6 гл. 10 приводит к следующим результатам.

Параметры с, с* в синхронном движении определяются из равенств

(5.7)

со,(с.) = тг. со (s = 1, ..к),

а уравнения для определения начальных фаз а, (основные урав­нения) могут быть записаны в форме

(s — 1,..., к),

(5.8)

где

A0 = <(L0)>, L0 = AL* + L(I) + L(II),

причем AL* = AT* — ДП*, Lm = Tm — П(1> и L™ = Г(ІІ) - — П(ІІ) — фупкцпп Лагранжа соответствующих связей,

(5.9)

— так называемая крутизна частотной характеристики объекта (в случае е, > 0 говорят о жестко анизохронньгх объектах, в слу­чае е, < 0 — о мягко анизохронных и при е, = 0 — об изохрон­ных объектах) 1

Заметим, что функции Л, Ло, ДА* = <(А£*)>, Л(1) = <CL(I))> п Л(Н) = <(L(II))>, как п в § 4, являются 2я-периодическими по каждой из фаз ai, ..а,,; это обстоятельство весьма существен­но, ибо именно оно при условии достаточной малости функций А, и выполнении некоторых дополнительных требований общего характера предопределяет тенденцию к синхронизации в рас­сматриваемых системах (см. § 7).

(5.10)

Величины

как и в § 4 — средние за период некопсерватпвные обобщенные

СИЛЫ, приведенные К S-му объекту, причем Qu^ и Q[0) — не

содержащие ц составляющие обобщенных сил, отвечающие ко­ординатам и И V.

В отношении физического смысла уравнений (5.8) и отдель­ных слагаемых в них справедливо все сказанное в § 4 по поводу уравнений (4.6). В частности, при dL/dt = 0 справедливо урав­нение баланса энергии (4.9), а при равенстве нулю двух послед­них слагаемых в формуле (5.10) — соотношения (4.10) для опре­деления парциальных частот объектов со,. Если существует по­тенциал усредненных неконсервативных сил В = В (си, ..., ай), т. е. функция, удовлетворяющая равенствам (4.11), а также если характер анизохронизма всех объектов одинаков, т. е.

sgn е — ... = sgn eh = a, (5.11)

то за потенциальную функцию может быть принято выражение

D = — (Л0 + В)а, (5.12>

которое представляет собой обобщение выражения (4.12), по­скольку объекты с почти равномерными вращениями являются жестко анизохронными (о = 1).

Если уравнения несущих связей в порождающем приближе­нии представляют собой систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, а неконсервативные обобщенные силы, отвечающие координатам системы связи малы ($° — 0 и $,0) = 0), то справедливо соотношение

Ло = Л(П> - Л(1 (5.13)

соответствующее равенству (4.14), и тогда выражение (5.12) принимает вид

D = (Л(1) - Л(11) - В)с. (5.14)

Согласно (5.12) и (5.14) характер экстремума фупкции Ао + В или Л(1) — Л(11>, отвечающего устойчивым движениям, изменяется в зависимости от характера анизохронизма объектов, а действие связей первого и второго рода в известном смысле противопо­ложно. При В = const и при наличии только несущих связей D — oAm, а при наличии только несомых связей D = —оЛШ)- В результате приходим к таблице 6, показывающей влияние ро­да связей и типа анизохронизма объектов на характер экстрему­мов функций Л(1) или Л<П), отвечающих устойчивым синхронным движениям [211].

Подчеркнем, что в отличие от функций Л(І), Л(ІІ) и Ло, потен­циальная функция D введена нами так (см. § 2 гл. 2 и § 8 гл. 10), что устойчивым движениям всегда соответствует мини­мум этой функции.

Необходимо подчеркнуть, что в отличие от систем с почти равномерными вращениями, условия устойчивости, выражаемые через посредство уравнения (2.12) или условия минимума по­тенциальной функции D, в данном случае являются лишь необ-

Таблица б Характер экстремумов функции А® или Л<п> , отвечающих устойчивым синхронным движениям (при В *= const) Тип анизохронизыа объектов Род связей Жесткий анизохронизм Мягкий анизохронизм е(со) > 0, 0 = 1 е(ш) < 0, а ——1 Несущие связи Минимум А® Максимум Л*1» (Л(П)=0, D=aAm) (2)=Л(1>) (d=_a<1)) Несомые связи Максимум Л<п> Минимум Л<п> (Л(1)=0, D=—сЛ(П>) (2)=_Л<П)) (Я=Л<П>)

ходимыми; кроме того для устойчивости корни уравнения (2.12) теперь должны быть вещественными и отрицательными. Допол­нительные соотношения, дающие систему необходимых и доста­точных условий, вытекают из неравенств (6.16) гл. 10. В част­ном случае квазиконсервативных объектов с одной степенью свободы при наличии связей, не вносящих в систему новых сте­пеней свободы, указанные дополнительные условия устойчиво­сти сводятся к неравенствам

2е* к®)2 м*е° (и«®) < °* (5-15)

М.

которые должны выполняться для каждой системы постоянных

определяемых из линеинои однородной системы уравнении

Г ЭР 3=1 L 3

(5.16)

= 0 (s = 1, —, к)

h 2 Мі 3=1

о

6.//.

при каждом из к значений корней к уравнения (2.12); через р, обозначен обобщенный импульс объекта. Поскольку в рассмат- риваемом случае величины As= у не зависят от ак..а. ь, то уравнения (5.16) могут быть записаны также в форме <32Л„

= 0 (s=l,...,fe). (5.17)

і

В важном случае, когда dQ Jdps < 0 п характер анизохро - низма всех объектов одинаков (см. равенство (5.11)), дополни­тельные условия (5.15) непременно выполняются, и указанные

выше необходимые условия являются также и достаточными.; Для квазиконсервативных объектов с линейными несущими свя­зями дополнительные устойчивости получены в работе [2131.

Относительно гадачи о внутренней синхронизации справед­ливо сказанное в конце § 2.

В более общем случае неизохронных консервативных объек­тов, когда порождающее решение зависит не только от фаз еч, .,а*, но также и от других произвольных параметров, мож­но воспользоваться теоремой Р, Ф. Нагаева (§ 6 гл. 10). Ив этой теоремы, в частности, вытекает, что приведенные выше условия устойчивости сохраняют роль необходимых в сравнительно ши­роком классе случаев. Решение же ряда конкретных задач о синхронизации покагывает, что данные условия играют основ­ную роль в отборе устойчивых фазировок объектов (см. вторую часть книги, а также [57]).

Приведем теперь некоторые результаты, относящиеся к осо­бому случаю объектов, изохронных в порождающем приближе­нии, когда порождающая система может быть выбрана так, что, частоты не гависят от энергии, частотные диапазоны объектов

(5.5) вырождаются в точку, соответствующую (в случае задачи о внешней синхронизации) частоте возмущения со. Одним из; важнейших классов таких объектов являются квазилинейные осцилляторы (см. § 3) в случае, когда последние квазиконсерва - тивны; подобные осцилляторы служат моделями многих реаль­ных объектов в механике, радиотехнике, радиофизике и биоло­гии (см. гл. 5, 6 и 8).

Порождающее синхронное решение в этом случае зависит не только от фаз ai, ..ак, по п от постоянных с і, ..ch, т. е. со­держит 2к произвольных постоянных. Значения этих постоян­ных, которым могут при достаточно малых ц отвечать синхрон­ные движения системы, определяются из уравнений

Здесь величины А, и Ло по смыслу совпадают с введенными выше и вычисляются по тем же формулам, а

(5.19)

В случае чисто консервативной системы (а также в предполо­жении, что неконсервативные силы имеют более высокий поря­
док малости) по-прежнему справедлив интегральный критерий устойчивости (экстремальное свойство) синхронных движений: устойчивые движения могут отвечать грубым максимумам функ­ции A) = ~D. Иным путем аналогичный результат для несколь­ко отличных систем был получен позднее К. Г. Валеевым и Р. Ф. Ганиевым. Примечательно, что для рассмотренных в йх работе [81] квазилинейных, а также близких к каноническим чисто консервативных систем устойчивые синхронные движения соответствуют не только максимумам, но также и минимумам функции Ло по 2к начальным значениям или по другим связан­ным с ними параметрам порождающего решения (см. также § 8 гл. -10).

Отметим в заключение, что наиболее общий случай, когда имеются как изохронные, так и неизохронные в порождающем приближении объекты, охватывается теоремой Р. Ф. Нагаева,, приведенной в § 6 гл. 10.