§ 10. КИНЕМАТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ КРИВОШИПНО-ШАТУННОГО

МЕХАНИЗМА

Кривошипно-шатунный механизм является основным механизмом па­ровой машины и служит для преобразования возвратно-поступательного* движения поршня во вращательное движение коренного вала машины. Кривошипно-шатунный механизм в виде эксцентрикового механизма служит для передвижения золотника.

исследования, т. е. с определения величин перемещений, скоростей и ускорений поршня машины.

Примем следующие обозначения:

L — длина шатуна в м;

R — длина кривошипа в м;

R

а=— — отношение длины кривошипа к длине шатуна; ср — угол поворота кривошипа в град.;

0 — угол наклона шатуна по отношению к траектории поршня в град.;

№—угловая скорость кривошипа в радиан/сек;

S — перемещения поршня в м с — скорость поршня В м/сек-, j — ускорение поршня в м/сек2.

Определение перемещений поршня произведем по схеме централь­ного кривошипно-шатунного механизма (фиг. 146), вычерченного в масштабе 1 мм — ps м. Отрезок ОА в этом масштабе изображает кривошип, а отрезок АВ — шатун. В данном положении механизма кривошип повернут на угол ср, а угол наклона шатуна равен 0.

В мертвом положении механизма, когда поршень находится в сто­роне крышки и ср = 0, кривошип занимает положение ОАм и ша­

тун АмВм, в противоположном мертвом положении при <с = 180° соот­ветственно ОА'м и А’МВ'М.

Отрезок ВМВ'М = 2ОА изображает в масштабе ход поршня.

При повороте кривошипа из мертвого положения на угол ср ползун из положения Вм переместится в положение, отмеченное буквой В, и, следовательно, перемещение поршня будет выражаться отрезком ВмВ=хв-

Если через точку А, взяв за центр точку В, провести дугу радиусом,

равным длине шатуна, т. е. отрезка АВ, и заметить точку С пе­

ресечения этой дуги с горизонтальной осью, то отрезок АмС будет равен перемещению точки В, т. е.

хв = ВмВ = АмС.

Перпендикуляр, опущенный из точки А на горизонтальную ось, точкой D разделит отрезок АМС на две части так, что

Хв = АмС = AmD -|- Г)С•

Найдем величины отрезков AmD и DC

Отрезок

AmD ~ ОАм — OD,

О А м — О А,

OD — О A cos сь,

AmD = О А — О A cos <в = О А (1 — cos ср).
DC = ВС — BD = АВ — BD.

В прямоугольном треугольнике ABD катет

BD = VAB - — AD*, то

AD = ОА sin ср,

я поэтому

BD = VaB*~OA* sin2» = АВ^~ 1 — — sin2 ср. Учитывая, что

ОА =

АВ L

можно записать, что

BD = АВ у I — к2 sin2 ср.

Так как произведение Xаsin2® невелико по сравнению с единицей, то здесь допустимо применение приближенного извлечения корня, и тогда

BD = АВ (l — ^Jsin2®) ,

гак как

1 Г—а - 1 - j,

если а — малая величина по сравнению с единицей.

Теперь можно найти величину отрезка DC:

DC = АВ — BD = АВ — АВ ^ 1 — ~ sin2 <р ) =

= АВ г sin2 ® = А В - i - sin2® = О А -?г sin2 ®.

Получив величины отрезков AMD и DC, можно получить оконча­тельное выражение для перемещения точки В:

хв= AMD - f DC = CM ( 1 — cos®) - f OA У sin2cp

и окончательно

= О Л —cos®+-^-sin2®^ мм.

Если рассматривать движение поршня от другою мертвого положе­ния при ® = 180°, то при повороте кривошипа на тот же угол ® кри­вошип займет положение ОА'. Перемещение поршня в этом случае будет выражено отрезком

XB = AMC'=AMD'-D'C'-

После тех же преобразований величина перемещения точки В будет равна

х'в = ОА — cos ® — — sin2 ®^ мм.

Оба выражения для перемещения точки В можно объединить в одно: хв = ОА 1 — cos ® + у sin2 ®^ мм,

знак плюс берется при отсчете перемещений и угла ® от мертвого по­ложения со стороны крышки, а минус — от мертвого положения со стороны вала.

Чтобы перейти от отрезков к действительным величинам, умножим обе стороны уравнения на величину масштаба перемещений м/мм.

Так как 5 = р$хв м и R = p. sCX4, то окончательное выражение для определения перемещений поршня (ползуна) примет вид

— coscp + -|-sin2®^ м. (333)

Эта формула приближенна, и ею можно пользоваться только если отношение X < 0,3, так как погрешность в этом случае будет незначи­тельной. Формула (333) применима к паровым машинам потому, что в них отношение X < 0,25.

При бесконечно длинном шатуне, т. е. при X = 0, перемещение поршня будет выражаться следующим уравнением косинусоиды:

S = R (1 — cos ®) м. (334)

Сравнение уравнений (333) и (334) показывает, что перемещение поршня при конечной длине шатуна отличается от перемещения при L = оо. Разница этих перемещений зависит от величины отношения X и от положения кривошипа. Она равна нулю при » = 0° и » = 180°, а при ф = 90° и ф — 270° имеет максимальное значение, равное

2 = 0,5Х-Л= Щ - м. (335)

Формула (333) применяется для аналитического определения вели­чины перемещения поршня. Однако при решении ряда задач более удобным является графическое определение величины перемещения.

Для графического определения перемещений поршня вовсе не нужно вычерчивать весь кривошипно-шатунный механизм, достаточно только провести окружность радиусом, равным отрезку О А, изображающему кривошип, и все перемещения можно отметить на диаметре, проведен­ном параллельно траектории поршня.

Как указывалось выше, перемещение поршня (ползуна) в виде от­резка хв — АМС можно получить (фиг. 146), проведя через конец кривошипа (точку А) дугу радиусом А В, до пересечения в точке С с диаметром круга, проведенным параллельно траектории поршня.

Этот способ годится для любого кривошипно-шатунного механизма, как центрального, так и смещенного, но требует циркуля больших размеров для проведения дуг и места для расположения их центров

Для центральных кривошипно-шатунных механизмов имеются более удобные способы определения величин перемещений поршня.

При бесконечно длинном шатуне величина перемещений поршня вы­ражается отрезком AMD (фиг. 146), где точка D является проекцией точки А (ОА — отрезок, изображающий кривошип). Это построение соответствует формуле (334) и пригодно для механизмов с небольшой величиной отношения X (меньше 0,1) и для приближенных подсчетов.

Если в центральном кривошипно-шатунном механизме величина от­ношения X не превосходит 0,3, то для графического определения ве­личин перемещений поршня можно рекомендовать широко распростра­ненный очень простой метод, предложенный заслуженным профессором Ленинградского политехнического института имени М. И. Калинина и

Военно-морской академии Ф. А. Бриксом еще в конце прошлого сто­летия 1.

Метод проф. Ф. А. Брикса (фиг. 147) заключается в следующем. Относительно точки О как центра проведем окружность радиусом О А мм, изображающим длину кривошипа R. Через центр окружности, точку О, проводим диаметр, являющийся продолжением траектории поршня, и с левой стороны отмечаем схематически положение цилиндра. От точки О откладываем в сторону, противоположную расположению цилиндра, отрезок ОР, изображающий в выбранном масштабе величину Z, согласно уравнению (335).

Как указывалось выше, вели­чина Z представляет разность между величинами перемещения поршня в механизмах с конечно и бесконечно длинным шатуном при повороте кривошипа от мерт­вого положения на угол 90°.

Центром вращения кривошипа будет точка Р, а конец криво­шипа (точка А) будет скользить от окружности, проведенной отно­сительно точки О как центра радиусом О А.

Точка В, проекция точки А на диаметр, представляющий траекто­рию поршня (ползуна), харак­теризует положение поршня по отношению к мертвым положе­ниям.

Например, нужно определить положение поршня и пройденный им путь, если кривошип повернулся на угол да'.

Для этого через центр вращения кривошипа (точку Р) проведем прямую РА' под углом ср' к траектории поршня. Из точки А' пере­сечения этой прямой с окружностью опускаем перпендикуляр на траек­торию поршня. Точка В' (конец этого перпендикуляра) характеризует положение поршня на своей траектории. Расстояние S' от мертвого положения поршня до данного в точке В' представляет величину пе­ремещения поршня при повороте кривошипа на угол ср'.

При повороте кривошипа на угол ср" поршень переместится от того же крайнего положения на величину S", которая определяется по но­вому положению кривошипа РА".

Графическое построение по методу проф. Ф. А. Брикса обладает точностью, достаточной для так называемых точных вычислений.

Скорость поршня может быть определена различными способами. Большим распространением пользуется аналитическое определение ско-

Морской сборник" № 5, 1893

рости поршня по приближенной формуле, полученной о г диференци - рования уравнения (333):

c = 4T = w[R (l-cos<p±£sin*?y.

В результате диференцирования величина скорости будет выражаться следующим уравнением:

с = (в-R ^sin ф + ~ sin 2® мсек. (336)

Это выражение, как и выражение перемещения по формуле (333), пригодно для подсчетов при X С 0,3.

Ускорение поршня при постоянной угловой скорости кривошипа аналогично предыдущему находится диференцированием выражения скорости, полагая (в = const, т. е.

и окончательно примет вид

/ = ш2 • R (cos ® + X cos 2®) MjceK2. (337)

В формулах (336) и (337) знак плюс относится к движению поршня от мертвого положения со стороны крышки, а минус — к движению поршня со стороны вала.

Формула (337) применяется при тех же условиях, что и формулы (333) и (336).