Сопоставим распределение напряжений в минимальном сече­нии по формуле (3.28) у очень острого эллиптического отверстия с р ^ 0 и распределение напряжений при 0 = 0 по формуле (3.60) для трещины такого же размера.

Для максимальных напряжений у эллиптического отверстия в бесконечной пластине были записаны формулы:

°x = p ■ A■ X3 +%■ (ф2-ф-3) + ф +1 ,

где

(3.28)

(3.29)

Учтем, что координата Нейбера x соответствует координате у механики разрушения, а координата у по Нейберу соответствует координате (x + l) механики разрушения. Полудлина эллипса t соответствует размеру трещины l.

Перепишем формулы (3.28) и (3.29) с учетом этих обозначе­ний и считая 0:

Р; X; ; Р

Ф = У1 = 1 = A =

X) + L. Г 2 X +1 Р) Р к Р

X + 2. X

ГР

41

р; l;

fp - 1)-(р-1) (^{р-1

Л3 г

X+1

1 - ip-3

= p ■-

X + 2 ■ X

X + 2 ■ X

или

X + 1

X+1

■ё-

3!'+

= Р ■

Р) +р і) l

I

I

После исключения малых величин окончательно получим для сквозной трещины в бесконечной пластине:

X/1 +1

(3.88)

= Р ■

V(x /l)2 + 2 • (x /l)'

Из формулы (3.88) видно, что на очень малых расстояниях от вершины трещины, при х/l ^ 0, напряжения можно вычислить как

= Р ■

l

(3.89)

2 ■ X'

Это выражение совпадает с формулой (3.63), полученной ра­нее из линейной механики трещин. Таким образом, на малых рас­стояниях от вершины трещины полученная по Нейберу формула

(3.88) соответствует линейной механике трещин.

Рис. 3.39 Распределение напряжений при у = 0 в бесконечной пластине у трещины и погрешность вычислений 8о

Результаты вычислений напряжений по формуле (3.89) пока­заны на левом графике рис. 3.39 прерывистой наклонной прямой линией. Результаты, полученные по формуле (3.88), показаны сплошной кривой линией, которая при малых x/l совпадает с пре­рывистой прямой, а при больших x/l асимтотически приближает­ся к горизонтальной прямой yy/p = 1,0.

Расстояние между этими линиями представляет собой погреш­ность вычислений напряжений при использовании формул линей­ной механики разрушения. Ее можно определить по формуле

x /1 +1_________ I_ l

P V(x/l)2 + 2• (x/1) P V2■x _ (x/1 +1)-V2

_ 1.

5a _-

l 2 • x

yjx /1 + 2

Если это уравнение решить относительно x/l, получим -8ct)2

-2 - бст + бст2. (3.90)

Численные результаты вычисления погрешности 8ст показа­ны кривой линией на правом графике рис. 3.39. Зона этой погреш­ности — на левом графике областью с вертикальной штриховкой. Знак «минус» означает, что погрешность при определении на­пряжений по линейной механике приводит к заниженным ре­зультатам. Вертикальная линия (x/l)max ориентировочно ограничивает область графика, правее которой погрешность считается недопус­тимо большой. Если задаваться рядом допустимых погрешностей от 1 до 20%, то по формуле (3.90) можно определить максимальные значения

x) = (1 l /max

(1 + 5cj)2

--1

-1

Таблица 3.2 Допускаемая погрешность вычислений 5а и максимально допустимые xll (5а), % 1 5 10 20 (xrt)nш 0,0134 0,068 0,137 0,282

отношения (x/l)max, до которых решение считается корректным. Такие значения правой границы области корректных решений представлены в табл. 3.2.

Левая граница области корректных вычислений на рис. 3.39 связана либо с появлением пластических деформаций, либо с за­метным радиусом закругления вершины дефекта.

Выше — формула (3.72) — было показано, что размер пласти­ческой зоны составляет

2

Ki

2гт =-

2п

Естественно, что формулы линейной механики трещин для расчета напряжений пригодны только за пределами пластической зоны. Поэтому при расчетах напряжений отношение x/l должно быть больше, чем 2гт/1:

s2 , / 2

Ki

x > 2Гт

р2

l п. ц2.1

Эта левая граница при ^ = 1 и стт/р = 4 также показана верти­кальной линией на левом графике рис. 3.39. В области левее этой границы формулы линейной механики завышают реальные напря­жения, поэтому погрешность обозначена знаком «плюс» и ее об­ласть покрыта горизонтальной штриховкой.

Если (x/l)max окажется меньше (x/l)min, то в образце или кон­струкции не будет ни одной точки минимального сечения, где напряжения с помощью KI вычисляются с заданной точностью. В этих условиях определение полей напряжений по линейной ме­ханике трещин невозможно, и говорят, что применение линей­ной механики разрушения некорректно. Оно будет корректным, если (x/l)max ^ (x/l)min. То есть

Kl От

/ x) г. - —2

l /п

(3.91)

n-r2 - l

или, условия корректности для бесконечной пластины выполня­ются, если:

l 1

(3.92)

> 

(Ki/ О,,)2 Я - (x/l)max V

Подставив в эту формулу за­висимость (x/l)max от погрешно­сти 8ст из (3.90), можно получить выражение для расчета отноше­ния [1/(^/стт)2] как функции от погрешности 8ст и жесткости на­пряженного состояния ^.

1/(К т/ат)

1
1 1
>
				Л =	1,0
	4 = 1	8
л =	"-------	------	------

і/ 3.5 3.0 2.5 ■ 2.0 1.5 1,0 0,5 О

О

10 15

20 5о, %

Рис. 3.40 Зависимость относительной длины корректной трещины от погрешно­сти вычисления напряжений

Вычисление этой зависимости с помощью MathCad показано на графике рис. 3.40, где построены три кривые: 1) для плоского на­пряженного состояния ^ =1 (очень тонкая пластина); 2) для плоской деформации ^ = 2,5 (пла­стина бесконечно толстая); 3) для обобщенной плоской деформации ^ = 1,8 (случай, обычно наблюдаемый при испытаниях образцов со сквозной трещиной).

В ГОСТе на механические испытания для определения харак­теристик вязкости разрушения (трещиностойкости) материалов указано, что размер трещины l и ширина минимального сечения образцов b - l должны быть больше, чем:

(3.93)

b' lb2.5-rЬ

На рис. 3.40 это требование нанесено жирной горизонтальной прямой. Погрешности в точках пересечения кривых, вычислен­ных для разной жесткости напряженного состояния, с этой пря­мой приведены в табл. 3.3.

Таблица 3.3 Погрешности вычисления напряжений при I = 2,5 • (Яі/ат)2 л 1 1,8 2,5 (5а),% 9,30 2,92 1,52

Из таблицы видно, что если деталь удовлетворяет формуле (3.93), то при плоском напряженном состоянии по­грешность вычисления напряжений в наиболее благоприятной точке мини­мального сечения составляет около 10%. Однако в реальных условиях испытаний на вязкость разрушения ^ = 1,8. Тогда эта погрешность не превышает 3%, что с инженер­ной точки зрения кажется вполне приемлемым.

Оценим допустимое для корректного применения линейной механики разрушения отношение радиуса пластической зоны гт к длине трещины при обобщенной плоской деформации. Для этого
формулу (3.72) нужно поделить на допустимую длину трещины по формуле (3.93):

Таким образом, корректное применение линейной механики разрушения возможно только в тех случаях, когда радиус пласти­ческой зоны не превышает 2% от длины трещины l или от размера минимального сечения.