В отличие от коллектора типа «рыбий хвост» в коллекторе «вешалка» длина фор­мующего участка по ширине головки устанавливается не из допущения, а рассчиты­вается методом проб и ошибок при условии поддержания постоянной и, по возмож­ности, минимальной нагрузки на расплав.

Одним из возможных путей решения этой проблемы является определение средне­го времени пребывания частиц по длине линии тока. Среднее время пребывания рас­считывается на основе средней скорости по поперечному сечению канала и длины пути. Здесь:

Х_

tv(x)

У(х)

— ах-г

(5.18) (5.19)

пК2(х)

— средняя скорость в коллекторе;

у /yv _ const = o6lu; — средняя скорость в формующей зоне.

RK ’ В Н

Формула для расчета широкощелевой экструзионной головки с оптимизирован­ным временем пребывания расплава в коллекторе включает поперечное сечение рас­пределительного канала, форма которого позволяет минимизировать время пребы­вания в коллекторе [69]. Это означает, что необходимо найти минимум для уравнения, приводимого ниже:

L

f»(*'0)"jT^T)dx (5'20)

о

Минимальным значением решения уравнения (5.20) является следующая форма поперечного сечения распределительного канала:

1

■ V

(5.21)

R(x) = R0

Кроме того, можно показать, что условие минимальности времени пребывания в распределительном канале эквивалентно условию постоянства напряжения сдвига на стенке распределительного канала [69]. Конфигурация формующего участка мо­жет быть получена из уравнения (5.21) и представляется выражением

2

(5.22)

*/(*) = У о

Геометрия распределительного и формующего участков в соответствии с уравнения­ми (5.21) и (5.22) не зависит от реологических свойств материала и рабочих условий переработки. Однако поведение расплава влияет на значения R0 и у0. В соответствии с реологическим уравнением течения Прандтля-Эйринга (по закону гиперболическо­го синуса) получаем следующие соотношения для максимального радиуса распредели­тельного канала (5.23) и для максимальной длины формующего участка (5.24):

1 Т 1 У

Ар Rq ~А Т Я Ар Уо А

(5.23)

<с 6У0 Н2СЬ

(5.24)

( 1 Н Арл 2 Уо А

Ар А

Rr

Функции ф(и) и ф(г) получают суммированием гиперболических функций вида

Соответственно для течения в канале (5.25.1)

(5.25.1)

1 Я Ар г 3 Уо А и для течения через плоскую щель (5.26) —

1

(5.26)

у(г)

cos h(r) sin h(j)

R0 и y0 невозможно получить явным образом из уравнений (5.23) и (5.24) соот­ветственно. Для определения этих значений необходимо использовать итеративную процедуру расчета или номограммы, показанные на рис. 5.21 [70].

0,1 0,2 0,5 1 2 5 10 0,5 1 2 5 10 20 50 Характеристический коэффициент Характеристический коэффициент KR= 4Vq/ *R3C Ks=6V0/H2CL

Рис. 5.21. Номограммы, предназначенные для конструирования плоскощелевых экструзи­онных головок с использованием закона гиперболического синуса [69]

0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,040 8:818 0.080 6,100 Н/Уо

При выполнении расчетов с помощью номограммы рекомендуется применять сле­дующую процедуру:

1. Выбор значения R0 на основании эмпирических данных, определение Ар по номограмме (рис. 5.21, а). Процедуру следует повторять до тех пор, пока значе­ние у0 не попадет в требуемый диапазон.

2. Значение Я выбирается по номограмме (рис. 5.21,6) на основании эмпириче­ских данных, определенных с помощью значения Ар, найденного на шаге 1. Про­цедуру следует повторять до тех пор, пока значение у0 не попадет в требуемый диапазон.

Вышеописанная процедура позволяет спроектировать широкую плоскощелевую экструзионную головку с учетом времени пребывания и напряжений сдвига на стенках

распределительного канала. Однако с помощью этого метода можно спроектировать головку, предназначенную для экструзии только одного материала (при этом харак­теристики течения этого материала должны описываться законом гиперболического синуса) и только для одного конкретного рабочего режима, определяемого массовым расходом и температурой расплава. Отклонение от заданного рабочего режима и от характеристик течения приводит к изменению характера распределения в коллекторе.

Изготовление экструзионных головок с нелинейным изменением длины форму­ющего участка (см. уравнение 5.22) сопряжено с трудностями. Оно возможно лишь на фрезерных станках с числовым программным управлением.

Еще один метод конструирования широких плоскощелевых экструзионных голо­вок основывается на методе характерных значений, с помощью которого можно рас­считать потери давления по основным уравнениям гидравлики, используемых для Ньютоновских жидкостей [71].

Преимущество данного метода заключается в том, что соотношения между скоро­стью сдвига и температурой, полученные с его помощью, действительны для любого материала.

Для получения контура распределительного канала экструзионной головки в дан­ном случае требуется учитывать дополнительное условие [71], заключающееся в том, что характерная скорость сдвига в распределительном канале (коллекторе) должна оставаться постоянной:

= const.

(5.27)

г 4Уд(х) е0

кВ?(х)

Из соотношения между объемным расходом в канале и длиной пройденного час­тицей пути (координатах в уравнении (5.8)), а также с учетом дополнительного ус­ловия, заданного уравнением (5.27) получаем

(5.28)

V /

Решив это уравнение относительно R(x), получаем

(5.29)

где Я(1) - R0.

Этот контур идентичен контуру, полученному с использованием условий мини­мального времени пребывания в распределительном канале и постоянной скорости сдвига на стенках канала (уравнение 5.21).

Полная потеря давления по всему пути течения состоит из потери давления в распределительном канале и потери давления на формующем участке. Это значение

можно получить на основе следующей зависимости (по аналогии с уравнениями

(5.13) и (5.14)): l

ApW - d, ♦ ZgpL (5.30)

Поскольку связь между величинами d/ и cLr не известна, принимается следующее упрощение:

d/=dx (5.31)

На основании допущений о постоянной скорости сдвига в распределительном канале (уравнение (5.27)) и постоянной скорости потока на выходе из формующего зазора постоянной высоты (уравнение (5.7)) можно заключить, что

Лд * /(х) = const, (5.32)

fj5 * /(х) = const. (5.33)

Продифференцировав уравнение (5.30), приравняв производную к нулю и вос­пользовавшись уравнением (5.29), получаем следующее дифференциальное уравне­ние, описывающее длину формующего участка по координате хг.

dyW _ jk_ 2//3* (5.34)

После интегрирования уравнения (5.34) получаем

rR H3L3x? (5-35>

У(*) = Т 4 %

Приу(1) =у0 имеем

(5.36)

а также

<537>

Л5 kR0

Максимальный радиус распределительного канала R0 и максимальная длина фор­мующего участкау0 взаимозависимы и связаны через уравнение (5.37), а также через вязкости (и, следовательно, скорости сдвига) в коллекторе и в щелевом канале.

(5.38)

j

ew ■

(5.39)

Здесь определяющие геометрию канала значения Н и у0 задаются, а величины R0 и у0~ получаются путем вычислений.

Для всех приведенных до сих пор расчетных формул используется утверждение, что (термически) абсолютно равномерное распределение достигается только для конкретного материала и при конкретной, зависящей от конструкции комбинации пара­метров рабочего режима переработки. То есть описанные процедуры конструирования зависят от рабочих условий. Если этот метод проектирования расширить за счет приме­нения характерных значений путем добавления условия равенства скоростей сдвига, то получим новый метод, не зависимый от рабочего режима. Это означает, что

(5.40)

(5.41)

4Т0 6Т0

(5.42)

Решая это уравнение относительно R0, получаем

(5.43)

Подставив это значение /?0 в уравнение (5.37), получим

(5.44)

Как видно из уравнений (5.42) и (5.44), после введения условия равенства скоро­сти сдвига в канале и на формующем участке, рабочие условия и перерабатываемый материал перестают влиять на результат проектирования.

Таким образом, как и требовалось, удалось получить способ конструирования распределительного канала, независимый от рабочего режима, при использовании которого теоретически всегда будет получаться равномерное распределение расплава.

Еще одно преимущество полученной формулы заключается в том, что скорости и напряжения сдвига при течении расплава одинаковы по всем линиям тока.

Недостатком способа проектирования конструкции, независимого от рабочего ре­жима, является то, что получаемые расчетные значения максимальной длины формую­щего участка относительно велики. Сочетание большой поверхности формующего уча­стка с высокими перепадами давления могут привести к существенному возрастанию сил, действующих на экструзионную головку, вызывая вспучивание внутренней по­лости, что в большинстве случаев невозможно предотвратить механической затяж­кой крепежных болтов. Поэтому конструирование щелевых экструзионных головок с помощью метода, независимого от условий переработки, применимо лишь в от­дельных случаях — для головок с узкой щелыо. С другой стороны, конструирование канала с помощью этого метода находит практическое применение при проектирова­нии угловых головок с дорном (см. раздел 5.33, а также разделы 9.2 и 9.3).

Потери давления в коллекторной системе можно рассчитать с помощью уравне­ния (5.30). Поскольку все линии тока эквивалентны с точки зрения перепада давления для выбранных условий, достаточно вычислить только перепад давления, получаю­щийся при течении через самый длинный формующий участок единичной ширины, находящийся в середине головки (х = L). Отсюда можно определить и полный пере­пад давления для экструзионной головки:

Время пребывания при течении вдоль линии тока можно вычислить с помощью уравнения (5.17). Если в это уравнение включить соотношение между расходом че­рез коллектор, его радиусом и текущим значением времени, то результат будет следу­ющим:

(5.46)

Время пребывания в головке может быть рассчитано по средней скорости течения на выходе из головки и максимальной длине формующего участка в центре головки:

(5.47)

Для конструирования экструзионной головки с помощью вышеприведенных уравнений рекомендуется следующая методика:

1. Определить максимально допустимый перепад давления и высоту щели на формующем участке на основе эмпирических данных. Определить максималь­ную длину формующего участка в центре головки (уравнение (5.45)).

2. Определить максимальный радиус распределительного канала с помощью уравнения (5.43). Так как это значение входит в определение характерной вяз­кости в канале, имеет смысл применять итерационную процедуру.

3. Выполнить оценку зависимости конструкции экструзионной головки от усло­вий переработки. Это можно сделать, взяв значение /?0, полученное на шаге 2, и определив новое значениеу0 для другой рабочей точки или другого матери­ала, а затем сравнив его со значением, полученным на шаге 1. Чем меньше раз­ница между двумя полученными значениями у0, тем менее выраженнойявля - ется зависимость конструкции от рабочих условий.

Недостаток вышеописанного метода конструирования заключается в том, что в случае его применения для разработки коллектора в форме вешалки в вычислениях вместо точной длины распределительного канала используется проекция длины рас­пределительного канала на щель. В результате экструдат во внешних участках голов­ки имеет недостаточную толщину, особенно если максимальная длина формующего участка велика.

В работе [72] описана аналитическая процедура проектирования коллектора в форме вешалки с учетом точной длины распределительного канала. В этой модели характер течения определяется степенным законом, а дополнительное условие, зада­ваемое для проектируемой конструкции, заключается в требовании равенства сред­него времени пребывания вдоль всех путей распространения течения. Это требова­ние эквивалентно условию равенства локального времени пребывания для каждой точки в пределах головки:

(5.48) ^ v5 (*) R vR(l)

Сечение А-А Рис. 5.22. Коллектор плоскощелевой экструзионной головки с распределительным каналом щелевидной формы

На основании вышеприведенных соображений получаем следующее соотноше­ние между радиусом и текущей координатой распределительного канала:

(определение приведено на рис. 5.22).

ад

(5.49)

МтУ-

При этом

(Зте + 1)	3	f-1
2(2 т+ 1)		Iя J

т(т + 1)

L.

(5.50)

Функциональная корреляция между радиусом канала коллектора и текущей ко­ординатой (уравнение (5.49)) соответствует соотношениям, удовлетворяющим ус­ловиям минимального времени пребывания (уравнение (5.21)) и постоянному зна­чению характерной скорости сдвига в распределительном канале (уравнение (5.29)).

Контур формующего участка определяется следующим выражением:

1

(5.51)

(п2Я*(х)/Н2)

dx

_L(jf - (к2Rx)/H2)

о 1 ад= - j k2

L{j) ~k+k ]n

После интегрирования зависимость длины формующего участка в направлении течения будет определяться следующей зависимостью:

(5.52)

где

*-

(5.53)

n2Rx) Н2

Интересный вариант вышеописанного метода конструирования представлен ком­поновкой коллектора широкой щелевой экструзионной головки со щелевидным рас­пределительным каналом [73]. В этом случае распределительный канал имеет форму не трубы, а плоской щели (рис. 5.22). Эта форма канала предпочтительна как с точки зрения реологического конструирования, так и с точки зрения технологии изготов­ления канала. В канале такой формы не будет возникать застойных зон, так как тече­ние представляет собой комбинацию движения материала в направлении канала и в направлении щели (рис. 5.23).

Особенность рассмотренных выше экструзионных головок с распределительным каналом постоянной ширины заключается в том, что поперечное сечение распредели­тельного канала не становится равным нулю на краях экструзионной головки; напро­тив, распределительный канал доставляет расплав во внешнюю зону.

В работе [73] описана методика расчета экструзионной головки этого типа на основании степенного закона, которая учитывает следующие требования:

Вид в разрезе 6

I

Вид сверху ^

I I [hz

Рис. 5.23. Течение в щелевидном распределительном канале (схематическое изображение)

• при постоянной ширине распределительного канала Ь(рс) время пребывания для каждой линии тока должно быть одинаковым;

• отношение высоты канала к его ширине (h(x) / b(x)) постоянно.

При использовании метода характерных величин этот метод существенно упро­щается. Основу его составляет соотношение между координатой течения и длиной распределительного канала

(5.54)

d / = V dr2 + dz/2,

и соотношение между перепадом давления на участке формующей щели и перепадом давления в распределительном канале

(5.55) (5.56)

dp dp dy

dl dy dl

Уравнение (5.54) может быть переписано следующим образом:

1

dy

dx

т

Комбинируя уравнения (5.55) и (5.56), получаем соотношение для определения зависимости длины формующего участка от текущей координаты

dy dx

(5.57)

1

MW-

1

Объемный расход в распределительном канале экструзионных головок этого типа не может быть описан уравнением (5.8). Вместо этого уравнения должна использо­ваться следующая зависимость:

При этом градиент давления по длине формующей щели определяется формулой

dp 12п51/0

(5.59)

dy (В/2)//3

Для градиента давления в распределительном канале имеем

dр_ 12цкУ0(х+Ь)

d/ bhx)(B/2) ' pbU)

Подстановка этих значений фадиентов в уравнение (5.57) дает следующий ре­зультат:

d у ______________ 1___________

(5.61)

2

-1

Ь+х

В качестве дополнительного условия для определения контура распределитель­ного канала вводится требование постоянства скорости сдвига:

6Vk(x)

yk - const = bhi-~ (5.62)

где ew — поправка для прямоугольного канала.

Для скорости сдвига в конце канала можно записать

" F° , +/л « ^ - (5-63)

(х + о) 6

В/2v 7 В/2

ew — cw

bh2(x) bh%

Отсюда

К*) = hE V1 +x/b. (5.64)

При этом высота щели на конце распределительного канала равна hE. Следова­тельно

h(x = 0) = hE. (5.65)

Подставляя полученные выражения в уравнение (5.61) и интегрируя по длине формующего участка, имеем:

у(х) = (2 Ь / к) л/£(1 - х/Ь)- 1, (5-66)

%	ы
	,н)_

где г 2

При А£ = //, yk ='ys и, следовательно” г)5 s (т. е. конструкция не зависит от рабочего режима). При этом k = 1, и для длины щели получается следующее простое выражение:

(5.68)

у(х) = 2 Vх ■ b.

Численные методы расчета

Приведенные выше аналитические методы конструирования позволяют опреде­лить остальные геометрические параметры экструзионной головки после выбора кон­фигурации формующего участка или размеров распределительного канала. В каче­стве альтернативы конструирование головки можно также проводить с помощью численных методов.

С этой целью экструзионная головка разбивается на сегменты, для каждого из которых вычисляются значения объемного расхода и перепада давления (рис. 5.24) [74 ]. Для каждого сегмента справедливо следующее соотношение между объемными расходами через входное и выходное сечения распределительного канала:

(5.69)

Рис. 5.24. Сегментация плоскощелевой экструзионной головки для проектирования с помо-

н(х)

щью численных методов

Объемный расход из коллектора VL представляет собой функцию давления в цен­тре сегмента и геометрических параметров щели:

(5.70)

VL=fl(p-p0).n(x),y(pc)]-

Давление в центре сегмента рассчитывается как среднее значение из значений давления в межсегментных точках:

- Рп + Рп + Р 2--

Потери давления по длине сегмента распределительного канала определяются на основании объемного расхода и геометрических размеров сегмента канала:

Рп =Рп+1 + АРк <5-72)

ApR=f[Vn, Vn+vR(x)]. (5.73)

Зная значения Vn ирп на границе сегмента, можно определить значение VL, итера­ционно применяя уравнения (5.69) и (5.73). При известном распределении объемно­го расхода VL через выходное сечение каждого сегмента и известных двух геометри­ческих характеристик капала из трех необходимых — R(x), у(х) или Н{х), можно с помощью итерационной процедуры определить третий геометрический параметр. Процесс начинается с итерационного расчета геометрии на краях головки, так как значения давления в распределительном канале (давление окружающей жидкости) и объемного расхода через распределительный канал (в общем случае равное нулю) известны в качестве граничных значений. Численное проектирование канала экстру­зионной головки имеет следующие преимущества:

• возможность проектирования головок любой указанной геометрии, например, широкощелевых экструзионных головок с переменной высотой щели в форму­ющей зоне;

• существует возможность указать любое распределение объемного расхода на выходе, что позволяет проектировать головки с заведомо неравномерным рас­пределением объемного расхода;

• имеется возможность дополнительно учесть потери давления на входе при пе­ретекании расплава из распределительного канала в формующую щель. В про­цессе этого перетекания расплав подвергается вытяжке (рис. 5.25). Таким обра­зом, при течении в направление губок возникают не только потери давления в щели, но и потери давления на входе при перетекании расплава из распреде­лительного канала в щелевой зазор головки, Арр

• величина входовых потерь давления зависит от геометрии и от скорости тече­ния, т. е. от степени растяжения расплава и от его продольной вязкости, которая представляет собой меру сопротивления расплава деформации растяжения. Потери давления на входе можно определить с помощью уравнения (5.70), вы­читая их из рабочего давления р:

VL=f[(p~ АРЕ - Р0), Щх), у(х). (5.74)

Следует принимать во внимание, что потери давления на входе зависят от объем­ного расхода расплава через геометрическую конфигурацию щелевого канала:

ApE = f[VL, H(x),R(x)). (5.75)

К недостаткам численного моделирования каналов экструзионных головок отно­сятся:

Рис. 5.25. Паление давления на входе при перетекании расплава из распределительного канала в формующую щель

• значительный объем нрофаммирования;

• большие затраты времени на получение конечных результатов расчета;

• для многих практических задач часто возникают математические проблемы, связанные с устойчивостью получаемого решения.