Основному содержанию теорем настоящей главы можно при определенных условиях придать своеобразую форму, удобную как при решении конкретных прикладных задач, так и при изучении общих закономерностей синхронизации динамиче­ских объектов.

Рассмотрим сначала случай неавтономных систем и напомним, что согласно указанным теоремам периодические (или синхрон­
ные) движения отвечают простым решениям

Ctj = Oti, ... ,^CCfe = <x^

(8.1)

некоторой системы уравнений

P.(at, ..., aft) = 0 (s => 1, .чк),

названных основными уравнениями.

Вопрос об устойчивости каждого конкретного движения зави­сит от знаков вещественных частей корней % алгебраического уравнения к-й степени [54])

А). (8.2)

Функции P,(ai, оси) при этом выражаются через некоторые интегралы, вычисленные за период движения Т и зависящие от правых частей рассматриваемых дифференциальных уравнений; эти функции выше были названы порождающими.

Пусть существует функция D(a., ..., <xfc) параметров порож­дающего решения, непрерывная и обладающая непрерывными частными производными до второго порядка включительно, та­кая, что

тоже будем считать вещественными **). Условия стационарности функции D

(8.4)

таким образом, совпадают с уравнениями (8.1).

Назовем функцию D потенциальной функцией. Очевидно, что для ее существования необходимо и достаточно выполнение со­отношений

Разлагая эту функцию по формуле Тейлора вблизи порождаю­щих значений параметров ai=a*, ..ak = а*, в соответствии

с (8.1) и (8.3) получим D (аь ..ak) — D (а[55], ..а£) =

*=1 з=1 в з a, q=a, q

5)

= ("S') .(«. — «•) («і-«Л + •••. (8*

*=1 з~1 ' 3 а„=а„

іле не выписаны слагаемые выше второго порядка отно­сительно aq — а*.

Для того чтобы функция D в точке (а*, .. - , а*) имела мини­мум, достаточно, чтобы квадратичная форма в равенстве (8.5) была знакоопределенной положительной. А для этого, в свою очередь, необходимо и достаточно, чтобы все корни алгебраиче­ского уравнения fc-й степени

-f - 8sj%

= 0 (8.6)

были отрицательны. Заметим, что все корни этого уравнения ве­щественны в силу известной теоремы о характеристических чис­лах вещественной симметрической матрицы [97].

Если хотя бы один корень уравнения (8.6) положителен, то квадратичная форма не является знакоопределенной и минимум отсутствует. Случай, когда имеются корни, равные нулю, явля­ется сомнительным и, вообще говоря, требует изучения членов разложения (8.5), имеющих более высокий порядок.

Но уравнение (8.6) при наличии соотношений (8.3) эквива­лентно уравнению (8.2). Поэтому условия строгого минимума функции D в точке (а*, —, а*), основанные на анализе членов второго порядка в разложении (8.5), в рассматриваемом случае сов­падают с условиями устойчивости периодических (или синхрон­ных) решений соответствующих систем уравнений*).

Наличию у уравнения (8.6) нулевых корней при прочих отри­цательных. корнях соответствуют необходимые условия минимума (который в этом случае будет негрубым, может быть не строгим или вовсе отсутствовать). Соответствующие условия дадут лишь часть условий существования и устойчивости периодических
или синхронных движений, т. е. соответствующие условия будут лишь необходимыми, но не достаточными (см. также замечание

8) § 7 гл. 10, а также § 9).

Итак, в задачах о существовании и устойчивости периодиче­ских или синхронных движений функция D играет такую же роль, как и потенциальная энергия системы П в задаче об отыс­кании и исследовании устойчивости положений равновесия кон­сервативной системы с голономными стационарными связями. Иначе говоря, для периодических (или синхронных) решений уравнений изучаемого типа справедливы теоремы, аналогичные известным теоремам Лагранжа (Дирихле) и А. М. Ляпунова [178, 183].

Сформулированный выше критерий устойчивости может быть назван интегральным, поскольку функция D, согласно сказанно­му выше о порождающих функциях Р.„ зависит от усредненных за период характеристик движения системы, вычисленных для порождающего решения.

Если условия устойчивости движения сводятся только к тре­бованию отрицательности вещественных частей уравнения (8.2), то интегральный критерий дает необходимые и достаточные ус­ловия устойчивости. При наличии также иных условий условия, выраженные интегральным критерием, являются лишь необходи­мыми. Однако, как отмечалось в § 2 гл. 2, и в этих случаях во многих прикладных задачах условия, формулируемые посредством уравнения типа (8.2) или интегрального критерия, играют глав­ную роль, в связи с чем они и были названы основными, а про­чие условия, если они имеются,— дополнительными.

С небольшими видоизменениями, характер которых ясен из замечания 5) § 7, интегральный критерий устойчивости может быть сформулирован и для автономных систем.

Класс систем, для которых справедлив интегральный крите­рий устойчивости, может быть значительно расширен, если за­метить, что для его наличия достаточно существования функции D, удовлетворяющей не условиям (8.3), а значительно менее жестким соотношениям

, dD, dD, , 8D пі

Ъл ~д^7 + ~да^ + •' • + hsk ~8^ ~ Рs..................................... “(8-7)

(s = 1, ..., к),

где bSj = bjs — любые вещественные постоянные, подчиненные лишь требованию

ь ь

В (z. Z) = 2 У b, jZsZj > 0, (8.8)

я—1 3=1

т. е. условию, чтобы соответствующая им тсвадратичпая форма бы­ла положительной. На возможность подобного обобщения внима-

9 И. И. Блехман
ние автора было обращено Р. Ф. Нагаевым и К. Ш. Ходжаевым; соответствующее доказательство приведено в книге [57].

Из сказанного вытекает также справедливость интегрального критерия устойчивости в случае существования функции D, удов­летворяющей равенствам

— — (Picsi + PiPsz + • • • + Рцс*и) (s = 1, к), (8.9)

где ctj — С]. — любые вещественные числа, такие, что

ft к

С (г, г) = 2 2 csjZeZj > 0. (8.10)

*=i j=i

д2Р datdaj

В случае справедливости интегрального критерия исследо­вание устойчивости существенно упрощается, ибо условия устой­чивости могут быть легко выписаны в явной форме. Действитель­но, согласно известной теореме Сильвестра (см., например, [97]) необходимым и достаточным условием положительности квадра­тичной формы является положительность всех главных миноров ее матрицы. Поэтому, согласно (8.6), необходимыми и достаточны­ми условиями минимума функции D в точке — а”, ..., ak = ак будут неравенства

,>0 (і,/ = 1),

'ag~ag

3^| .>0 <(,/ = 1.2), {aq=aQ

>0 (і,/ = 1, ...,к).

д D

да*да-

І г з lae=ag

Последние соотношения особенно удобны при решении задачи о синтезе системы объектов, имеющих синхронное движение с заданным сочетанием порождающих параметров «і,

В случае, когда аналитическое исследование представляется затруднительным или нецелесообразным, при наличии интеграль­ного критерия „ можно использовать известные хорошо разрабо­танные алгоритмы численного (в том числе машинного) поиска экстремумов функции многих переменных.

Значение интегрального критерия устойчивости определяется также тем обстоятельством, что в ряде случаев функция D имеет отчетливый физический смысл. Это также облегчает синтез сис­тем синхронно работающих объектов. Так, например, в случае задачи о самосинхронизации дебалансных вибровозбудителей по­тенциальная функция оказывается равной среднему за период
значению функции Лагранжа системы, взятой с противополож­ным знаком и вычисленной для порождающего решения (см. § 7 и п. 4 § 8 гл. 3). Для этого частного случая интегральный крите­рий и был первоначально сформулирован на основе интуитивных соображений, проверенных на ряде примеров, Б. П. Лавровым и автором [40], а затем обоснован и обобщен в работах автора [41, 43J. Дальнейшее развитие указанные исследования получили в работах Р. Ф. Нагаева [52, 209, 211, 213, 215], Б. П. Лаврова [164, 165], К. Ш. Ходжаева [213, 282, 283, 285, 286], автора [42, 57], К. Г. Валеева и Р. Ф. Ганиева [81], В. В. Белецкого и Г. В. Касаткина [25]. Изложение основных результатов цитиро­ванных работ приводится в соответствующих разделах книги. Здесь остановимся лишь на общих результатах, полученных в работах [25,' 81] для канонических и подобных им систем.

В статье [81] рассматривается каноническая система с функ­цией Гамильтона Hit; q, ..., qn; ри..., рп; ц), являющейся поч - ти-периодической функцией времени t и дважды дифференциру­емой по всем аргументам. Предполагается, что порождающая си­стема

дН. . дНп

9s==~dFs’ Ps = ~d^ (8.11)

Н0 = H(t; qh..qn; pu..pn; 0)

имеет почти-периодическое порождающее решение

Qe Qaoit, < • if An) • • •?

(8.12)

р,=р,0^; 0, ..., a„; bi, b„),

где a3 и bj — начальные значения переменных q, и p, при f = 0. Тогда при некоторых достаточно общих предположениях доказы­вается, что устойчивым решепиям соответствуют точки строгих минимумов или максимумов усредненной функции Лагранжа

системы

•Ло (Oj, ..., ап; bi, ..., Ьп) —

1 "Tv • 1

= lim ^ I PsoQso Н (tі О'іої • • •» 9это> Pio> • • •» Рад»1 0) I dt —

г^°° b L=i J

r

= lim Г (L) dt, (8.13)

Г-» OO 1 *)

0

вычисленной на порождающих решениях. Решения (8.12) при этом могут быть также и просто периодическими и синхронными; в таком случае усреднение в выражении (8.13) производится за 19* некоторый конечный период Т = 2п/а. В качестве параметров <ij, bj можно брать постоянные, не совпадающие с начальными значениями переменных Qj и pj. Очевидно также, что результат сохраняется и при отсутствии в системе малого параметра, т. е. в случае, когда порождающая система совпадает с исходной

(Н = Яо).

В работе В. В: Белецкого и Г. В. Касаткина [25] для перио­дической системы, несколько более общей, чем каноническая (для системы с сохранением фазового объема), показано, что для на­личия устойчивых периодических или синхронных движений не­обходимо и достаточно существование функции начальных зна­чений фазовых переменных К(хо), имеющей строгий максимум или минимум по этим начальным значениям, причем указанная функция связана с некоторой функцией фазовых координат и времени xix, t) интегральным соотношением типа (8.13); вопрос о способе нахождения функций и и К при этом, однако, остается открытым. Согласно упомянутой работе К. Г. Валееьа и Р. Ф. Га­ниева [81], в случае канонических систем такими функциями яв­ляются соответственно L и Л.

Наконец, интегральный критерий позволяет установить тен­денцию к синхронизации для динамических объектов при весь­ма общих предположениях об их свойствах и о свойствах систе­мы связи (см. § 9 настоящей главы, а также § 7 и п. 4 § 8 гл. 3, § 2 гл. 7 и § 7 гл. 12).

Заметим в заключение, что если рассматривать положения равновесия системы как вырожденные периодические движения произвольного периода, то функция D для ряда механических систем переходит при определенных условиях в потенциальную энергию системы. Таким образом, существует не только анало­гия, но и прямая связь полученных результатов с теоремой Лаг­ранжа (Дирихле).