1) Левые части уравнений (2.9), (3.5), (4.10), (5.6), (6.14) как раз и представляют собой порождающие функции, а сами эти урав­нения— основные уравнения, о которых говорилось в § 2 гл. 2.

2) Уравнения вида (2.1) и (3.1), о которых идет речь в тео­ремах §§ 2 и 3, иногда называют каноническими. К такому виду приводятся общие квазилинейные системы вида

'

я, = 2j (t) Щ + Ф* (t) + цфя (Яг, • • •, Хи ц, t) (7.1)

(s = 1, ..., Z),

где ash ф, и Фв есть Т — 2л/со-периодические функции t (в авто­номном случае а,} и <р, — постоянные, а Ф, не зависят явно от t), если всем кратным корням р характеристического уравнения ли­нейной части системы соответствуют линейные элементарные де­лители. Переход от уравнений типа (7.1) к уравнениям вида

(2.1) или (3.1) осуществляется путем неособенного линейного преобразования переменных. Практическое нахождение этого преобразования хотя и требует в общем случае знания фунда­ментальной системы решений соответствующей линейной систе­мы дифференциальных уравнешш с периодическими коэффици­ентами, но при решении многих прикладных задач, оказывается осуществимым благодаря соответствующей структуре матрицы

3) Теоремы §§ 2 и 3 остаются справедливыми и для системы уравнений, приведенной к канонической форме лишь частично, т. е. только относительно переменных, отвечающих критическим характеристическим показателям. При этом для получения урав­нений (2.9), (2.10) и (3.5), (3.7), играющих, как правило, основ­ную роль, достаточно привести систему к канонической форме лишь для переменных xi, хк, соответствующих ведущей кри­тической группе показателей. Более того, уравнения, отвечающие некритическим переменным, могут даже не быть квазилинейны­ми; существенно лищь, чтобы все некритические характеристи­ческие показатели системы уравнений в вариациях имели отри­цательные вещественные части.

4) Все теоремы, как нетрудно видеть, непосредственно приме­нимы не только к чисто периодическим, но и к синхронным ре­шениям соответствующих систем (см. равенства (1.1) гл. 1).

5) Во многих практически важных задачах, приводящих к исследованию периодических или синхронных движений (в частности, в задачах о внутренней синхронизации динамических систем), период порождающего решения Т заранее неизвестен[52]). В таких случаях естественно попытаться определить этот период, исходя из условия, чтобы он был по возможности ближе к пе­риоду Г*(ц) исходной системы (3.1) или (5.1), а именно из ус­ловия, чтобы поправка к периоду 6(ц) с точностью до членов по­рядка (г обращалась в нуль[53]). Тогда, согласно (3.10) и (5.8), вместо к — 1 уравнений (3.5) получается к равенств

PAai, ..., а*) = 0 (s = 1, ..., к). (7.2)

Из зтих уравнений могут быть определены к — 1 ПОСТОЯППЫХ ССь • • CCfc-1 и период Т.

Благодаря отмеченному обстоятельству оказывается возмож­ным формулировать результаты решения ряда задач о синхрони­зации в виде, одновременно пригодном как для случая внешней синхронизации, так и для случая внутренней синхронизации. Более того, при определенных условиях можно не останавливать­ся специально на рассмотрении наиболее сложной задачи о внут­ренней синхронизации, получая результаты чисто формаль­ным путем из решения более простой задачи о внешней синхронизации [57].

6) Условия теорем §§ 2—5 содержали ограничения, касаю­щиеся линейности элементарных делителей, соответствующих кратным корням характеристического уравнения системы в вари - ацйях; в § 6, однако, допускалось наличие также показателей с квадратными элементарными делителями. С последним случаем приходится сталкиваться при решении ряда задач о синхрониза­ции (например, задач о синхронизации квазиконсервативных объ­ектов и вообще задач, сводящихся к изучению автономных в по­рождающем приближении систем, для которых период порож­дающего решения Т зависит, по крайней мере, от одной из посто - яннных <хе). Рассмотрение случая квадратных элементарных делителей кратных корней для ряда конкретизированных систем содержится в работах [208—210, 213, 215, 283], частично изло­женных в книге [573.

7) Непосредственное использование теорем позволяет изучить вопрос о наличии или отсутствии факта синхронизации, а также полностью определить порождающие периодические (или синхрон­ные) решения и рассмотреть вопрос об устойчивости решений. В техническом плане дело сводится к составлению и решению ос­новных уравнений Раіаі, ..., ah) = 0, а также к нзучепию зна­ков вещественных частей корней алгебраических уравнений, т. е. к решению хорошо известной задачи Гурвица. В случаях ква­зилинейных систем при этом особых трудностей, как правило, не возникает. В случае же систем, близких к нелинейным, трудно­сти связаны с необходимостью нахождения системы периодиче­ских решений Zsj системы уравнений, сопряженной с уравнени­ями в вариациях, т. е. с решением линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Впрочем, в ряде практически важных задач такую систему решений все же уда­ется найти без особых затруднений, ибо, как отмечалось в § 2 гл. 1, трудности определяются здесь не степенью сложности си­стемы в целом, а лишь степенью сложности отдельных изолиро­ванных объектов.

Обычно при решении прикладных задач о синхронизации ус­тановления факта существования устойчивого синхронного дви­жения и его вычисления в порождающем приближении оказыва­ется вполне достаточным. В случае же, когда необходимо более точное нахождение решений, их, вследствие аналитичности по ц, устанавливаемой теоремами, можно разыскивать в виде рядов по целым положительным степеням этого параметра. Вопросы, свя­занные с практическим определением коэффициентов указанных рядов, рассмотрены в книгах [57, 66, 184].

8) В формулировках теорем указывается, что при наличии у уравнений (2.10), (3.7), (4.11), (5.7) и (6,15) нулевого корня тре - оуотся дополнительное исследование. При этом для теории син­хронизации наиболее интересны случаи, когда паличне одного НЛЙ К6( жольких нулевых корней указанных уравнений связано с тем обстоятельством, что основные уравнения (соответственно

уравнения (2.9), (3.5), (4.10), (5.6) и (6.14) позволяют найти только; часть неизвестных а„ а по отношению к другим неизвестным или; к их комбинациям удовлетворяются тождественно. Уравнения (2.10), (3.7), (4.11), (5.7) и (6.15) позволяют при этом получить лишь необходимые условия устойчивости. Такие случаи, о которых го­ворилось в § 5 гл. 3 и в § 2 гл. 5 и с которыми приходится стал - | киваться при решении некоторых задач о кратной синхрониза­ции, рассмотрены в работах Г. А. Мермана [191] и О. П. Барзу - кова [15, 16], где показано, что оставшиеся неопределенными параметры порождающего решения а„ вообще говоря, можно най­ти из условий существования и периодичности следующих при­ближений; на основе изучения этих приближений получаются так­же недостающие условия устойчивости.

9) Требования, предъявляемые к правым частям дифференци­альных уравнений, о которых идет речь в §§ 2—6, могут быть значительно ослаблены при сохранении большинства изложенных результатов [147, 184]. Так, например, во многих случаях от функций X, в уравнениях (2.1), (3.1), (4.1), (5.1) и (6.1) доста­точно потребовать не аналитичности по переменным х, х{,

а лишь наличия непрерывных частных производных второго по­рядка, а от функций F, — непрерывности частных производных первого порядка. Однако с прикладной точки зрения подобные обобщения вряд ли имеют большое значение, ибо в обычно встре­чающихся задачах правые части дифференциальных уравнений движения либо аналитичны, либо разрывны («кусочно анали­тичны»). Рассмотрению этих последних случаев, с которыми при­ходится сталкиваться, например, при решении задач о синхрони­зации механических объектов в системах с сухим трением и с ударами, посвящены работы Ю. И. Неймарка и JI. П. Шильни - кова [217, 218], М. 3. Коловского [152] и Р. Ф. Нагаева 1215]; результаты этих работ частично изложены в книге [571.

Обобщение теорем типа приведенных в §§ 2—4 на нелиней­ные почти периодические системы было дано И. Г. Малкиным [184], а на квазилинейные почти периодические системы с запаз­дыванием С. Н. Шимановым [301, 302].