Рассмотрим теперь автономную систему

xs — Xs (xi, ..., xj) - f - (#i, • • •, ®j, fx) (s = 1, • • •, I), (5.1)

где X, и F„ — аналитические функции переменных хх, ..., х, в замкнутой области G, которой принадлежат все изучаемые ниже периодические решения; Fs к тому же являются аналитиче­скими функциями параметра ц. ^ 0 при достаточно малых его значениях.

Пусть отвечающая уравнениям (5.1) порождающая система

і; = *.(*!. ...,*?) (« = 1......... I) (5.2)

допускает семейство Т = 2лЛо-периодических решений

Xs = Xs (cot, C&j, . . ., (э. З)

зависящее, кроме постоянной а, которая вследствие автопомно-

*} Объяснение обозначений см. в сноске на с. 271.

сти системы всегда может быть добавлена к t, также от некото­рого числа к —1*^1 — 1 произвольных параметров ai, а*_і. Допустим, что решение (5.3) является аналитическим относитель­но этих параметров вблизи рассматриваемых ниже «порождаю­щих» значений Oj = <Xi, ..., aft_i= ak_r Как и в § 4, предполага­ем, что параметры осі, ..., сс*_і входят в выражения (5.3) неза­висимо, т. е. что при упомянутых порождающих значениях пара-

* * о ш»

метрова! = alt..aft_i= afc_iотличен от нуля по крайней мере один из определителей (к — 1)-го порядка, содержащийся в мат­рице (4.4).

Как и в § 4, система уравнений в вариациях (4.5) в силу уже упоминавшегося свойства допускает к решений вида

дх°

= 157 </=1,--.,*-1), (5.4)

*л(*) = ®?. (5.5)

получающихся теперь путем дифференцирования решений (5.3) соответственно по ai, ..., ak_i и по t (напомним, что к t всегда можно добавить еще одну постоянную а).

В отличие от квазилинейной автономной системы (3.1), пери­од Т порождающего решения системы (5.2) может зависеть от параметров aj, ..., a*_i. Здесь мы, однако, рассмотрим более простой случай, когда Т не зависит ни от одного из этих пара­метров. В этом случае можно утверждать, что производные (5.4) являются Г-периодическими функциями t и уравнения в вариа­циях допускают, таким образом, к периодических решений того же периода. Столько же! Г-периодических решений будет допу­скать и система (4.8), сопряженная по отношению к системе в вариациях. Обозначим эти решения через zSJ-(£) (/ = 1, —, к) и будем предполагать, что иных периодических решений сопря­женная система не имеет; не имеет тогда периодических реше­ний, независимых от (5.4), . (5.5), и система в вариациях. Это означает, что указанной системе соответствует fc-кратный корень р = 1 характеристического уравнения; как и в § 4, будем пред­полагать, что все прочие корни характеристического уравнения имеют модули, меньшие единицы. Тогда кратному корню р = 1 будут соответствовать линейные элементарные делители и мож­но считать, что выполняются соотношения (4.9).

При сформулированных предположениях справедлива следу­ющая теорема [57, 184, 207].

Теорема. Периодические решения с периодом T*(i) — ' = 741 — б(ц)] исходной системы уравнений (5.1), обращающиеся при jx = 0 в периодические (с периодом Т, не зависящим от па­раметров а, ..., a*-i) решения семейства (5.3) порождающей

системы (5.2‘), могут соответствовать лишь тем значениям пара~ метров aj, і.., aft_i указанного семейства, которые удовлетворяют уравнениям

Рв(аі, ..., Oft-i) ^ £ Fj « 0) 4 ([50])/ = 0 (5.6>

(s — 1, ..к—1).

Определенному решению этих уравнений действительно со­ответствует при достаточно малых значениях ц единственное аналитическое относительно |л и устойчивое (асимптотически ор- витально устойчивое) периодическое решение системы (5.1) с пе­риодом Т*(,ц), обращающееся при [і = 0 в порождающее, если все корни алгебраического уравнения (к — 1)-й степени *)

бадИ =0 (s, j = 1, ..к — 1) (5.7)

имеют отрицательные вещественные части. При наличии у урав­нения (5.7) хотя бы одного корня с положительной веществен­ной частью рассматриваемое решение неустойчиво; случай нуле­вых или чисто мнимых корней требует, вообще говоря, дополни­тельного исследования.

С точностью до членов порядка р. поправка 6(ц) к периоду решения при этом определяется формулой

§ 6. Системы, близкие к произвольным нелинейным в случае квазипериодического семейства порождающих решений[51])

Рассмотрим ту же нелинейную систему общего вида

(s — 1, . . I),

(6.1>

что и в § 4, но будем предполагать, что соответствующая порож­дающая система

допускает семейство квазпнериодических решений вида

xs xs (cot, 'фі, .. ■, hn).

Здесь к + п<:1,

“ф, = оi. t + a. (s — 1, к), (6.4)

причем функции ж® являются 2я-периодическими по каждому из аргументов ф,; а, и К, — произвольные постоянные. Пусть далее первые т частот <о, существенно зависят от постоянных а к — т последующих частот а. равны частоте внешнего возму­щения со, т. е.

to, = o.(hi,..hn) (s = 1,..., m),

(6.5)

о, = co (s = m+l к),

причем m<:k. Иными словами, будем считать, что порождаю­щая система допускает семейство квазипериодических решений, зависящее от к + п произвольных постоянных a, (s — 1, ..., к) и hv (v = l, п). С подобным случаем приходится сталкивать­ся при исследовании синхронизации квазиконсервативпых систем.

Семейство (6.3) содержит подсемейство Т = 2я/ю-периодиче - ских решений, выделяемое соотношением

..., hn) — <o (s «*» 1, ..., то). (6.6)

Это подсемейство, которое и будем рассматривать в дальнейшем, содержит, таким образом, лишь к + п-m независимых постоян­ных. Поэтому система уравнений в вариациях (4.5), соответст­вующая уравнениям (6.2) и решению (6.3), допускает в данном случае к независимых Г-периодических решений

z«(f)==4aT (s==1> •••> l> j = •••» k) (6-7)

и n линейно возрастающих решений

д'х° дх® <9(0. дх®

3SV (f) = — -7 - = 2и ТГ ~ Н (в = 1, . . ., Z; v = 1, . . ., п),

sv 4 ’ dh ^ ciipj C«v 1 0hv 4 ’ ’ ’ ’ ’ 7*

(6.8)

где штрих означает полное частное дифференцирование. Нетруд­но составить такие линейные комбинации решений £„«(*), что первые т из них будут по-прежнему линейно возрастающими, а остальные п — т — периодическими с периодом Т. Такими ком­бинациями (также являющимися решениями уравнений в вариа­циях (4.5)) будут

Zsv w = f + 0sv (t) (V = 1, -. -, m), (6.9)

V

yi д(0-

= 2d ~дк~№ (v = те + 1, ..., n), (6.10>

» і=і v

(s = l, I).

Здесь через o, v(f) обозначены T-периодические функции, опреде­ляемые равенствами

m 0

csv (0 = 2 5Civ (6.И)

i=l *

где x«v — числа, которые находятся из систем линейных алгеб­раических уравнений

ж ^ д(о.1, S = V.

25Civ-^7- = 6sv = j0j s¥=v (s, v=l, ...,га). (6.12)

Можно считать, что эти уравнения имеют единственное решение в силу предположения о существенной зависимости частот e>i,...

. .(dm от постоянных hi, » « •) hm»

Заметим, что функции ж® в выражениях (6.9) и (6.10) пред­полагаются Т-периодическими, т. е. считается, что равенства

(6.5) и (6.6) выполнены.

Таким образом, система в вариациях (4.5) допускает к+п — тп. взаимно независимых Г-периодических решений (6.7) и (6.10). Будем предполагать, что иных независимых Т-периодических ре­шений эта система не имеет. Тогда сопряженная система (4.8) также допускает столько же независимых Т-периодических ре­шений, которые обозначим через zsl (f), ..., zSift+„_m (£), и будем счптать, что они выбраны удовлетворяющими следующим усло­виям ортогональности и нормировки:

1

2 Z£r (fy Csi (t) = 6jr (І = 1, . . ., ПІ),

1=1

I

— Ьгг (* = 1» + 1, ..., к), (6.13> ’ бk—m+v, r (v = Ttl - f - 1, • . и).

1 Zsr (f) 2*i (t)

*=1

I

2 Zsr (t) ZgV (t)

s=1

В указанных предположениях справедливо следующее ут­верждение [2161:

Теорема. Периодические с периодом Т = 2зх/со решения неавтономной системы (6.1), обращающиеся при fj, = 0 в решения - порождающей системы (6.2), могут соответствовать лишь тем значениям постоянных а%, ..., а„’, hi, ..., h„, которые являются,
решениями системы, состоящей из к + п — пъ уравнений

РВ (®1ї • • •» ^1» • • ч ^п) =

= ( 2 Fі (*ї, • • •, *?, О, ®t) z% (t) / = 0 (6.14;

Nj=i

(s = 1, .. ,k + n — m),

а также m уравнений (6.6). Каждому решению а*, —, а*; h*, ... ...,hnnpu достаточно малом ц действительно отвечает единственное аналитическое относительно ц и асимптотически устойчивое ре­шение такого рода, если:

1) Все корни алгебраического уравнения m-й степени

дР „ I

| = 0 (6.15)

вещественны и отрицательны, причем для каждого такого корня выполняется неравенство

771 7П Г m

*-22 2

і * i=i r=i L*=i

2 2 ата

/'sl dh 1 да <9а. ^

s s=m+l s 1

(6.16)

+ 2

s=m-bl 6 / J

2) fice корни Хз алгебраического уравнения (k + n — 2тп)-й степени, получающегося путем приравнивания нулю определите­ля системы линейных однородных уравнений

V орг ^ з*рг

2d да. 2d dh bs~

i=l 1 s=m+l s

О (r=l,

%zar (r — m+1, ..., k), АА-ы-m (r = k + 1, ...,k + n~m),

(6.17)

имеют отрицательные вещественные части.

Если среди чисел hi или Кг имеется хотя бы одно положи­тельное или среди К имеется хотя бы одно комплексное или

чисто мнимое, а также если хотя бы одно Яз имеет положительную вещественную часть, то соответствующее решение неустойчиво’, случай нулевых Я,2 или чисто мнимых Я3 требует дополнитель­ного исследования.

В соотношениях (6.15)—(6.17) обозначено

д* д V V дтг д dh dh Zd Zi't-ir dhR dh.

(6.18)

т т 12

n ^ V -» tf 8x(? dPr

Pri — ^iZ‘rW da. / da.

где ж*1* = (t) — первое приближение к искомому периодиче­

скому решению, т. е. коэффициенты при р в разложениях хй (і) = ж® (t) + ря*1) (t) + ..., определяемые из системы

(s — 1, . . . , I),

(6.19)

причем, как и выше, круглые скобки, в которые заключены про­изводные dX,/dXj, указывают, что эти производные вычислены для порождающего решения я® и при р = 0.

Через а и а обозначены решения взаимно сопряженных систем линейных однородных алгебраических уравнений

др' ,а, .

ai = %lar (r= 1, ..., m),

(6.20)

■<« dat i=i г

т

* і г * / • л

^ да, г—1 г

—aZ Q>r -- Ъ/lO-i--- (I — 1, • • • , ТҐІ).

Эти уравнения пмеют решения, определенные с точностью до постоянного множителя, если корни Яі уравнения (6.15) простые или кратные, но с простыми элементарными делителями, что и предполагается.

Заметим, что условия устойчивости, связанные с соотноше­ниями (6.15) и (6.16), обусловлены наличием у уравнения в ва­риациях т групп решений

дх° дх°

%S) (0 == , ZS) {t) = Qa t Osj (t) (/ =.1, ■ . ., Til),

которым соответствуют пулевые (т. е. критические) характерис­тические показатели с квадратными элементарными делителями [57, 184]; обращающиеся в них при р-*-0 показатели системы в вариациях для уравнений (6.1) аналитпчны’ относптельно ii1/2. Чнсто периодическим же решепням уравнений в вариациях

z«(*> = ~ШГ — 2і-ЖГа^ 0' = m + l, n)

3 i=l з

отвечают нулевые критические характеристические показатели с простыми элементарными делителями; обращающиеся в них при ц, 0 показатели системы в вариациях для уравнений (6.1) аналитичны по jx. Наличием таких показателей обусловлены ус­ловия устойчивости, связанные с уравнениями (6 17).

Заметим, что в данном случае, в отличие от ранее рассмот­ренных, условия устойчивости зависят не только от порождаю­щего, но также и от первого приближения к изучаемому перио­дическому решению.

Изложенный результат легко распространяется на случай ко­лебаний с соизмеримыми частотами, когда вместо соотношений

(6.5) и (6.6) имеют место равенства

ю,=чмй (« = 1, к), (6.21)

где п, — целые числа.