Одна из возможных конструктивных форм балансира для ав­томатической компенсации дебаланса вращающихся дисков схе­матически представлена на рис. 33. На гибком вращающемся валу 1 закреплен диск 2, центр тяжести которого С не лежит на оси вала АОуВ. Диск имеет залитую маслом цилиндрическую или тороидальную полость, ось которой совпадает с касательной к оси вала в точке крепления диска 0. В полость помещены два шарика 5, которые при определенных условиях располагаются во вращающемся диске таким образом, что компенсируют дебаланс диска и тем самым устраняют колебания вала и передачу ди­намических нагрузок на его опоры.

В иных конструктивных вариантах автобалансира вместо по­лости в диске и шариков имеются либо кольца, надетые на вал с большим зазором, либо рычажки, один из концов которых связан со свободно по­ворачивающейся на валу втулкой, а дру­гой несет неуравновешенный груз.

Описанные автобалавсиры были изо­бретены Е. Сирлем [332, 333] и находят применение в машинах типа центрифуг; они особенно эффективны в случаях, ког­да дебаланс ротора может несколько из­меняться в процессе работы машины.

Элементы теории автобалансира при­ведены в книгах Ден-Гартога [ИЗ] и Я. Г. Пановко [225І, а подробное иссле­дование его динамики выполнено Ф. М. Детинко [119]; в несколько иной постановке задача рассмотрена А. И. Муй - жниеком [205].

Уравнения движения системы с шари - Рид 33

новым автобалансиром и одним неуравно­вешенным диском, Сидящим посередине невесомого вала, имеют вид[34]) [119]

Ф*+ Ро (ф* — “) = 4" (х sin ф‘ + у cos Ф«) (s = !> • *' > кУ’ (2-1)

* ..

Мх + fix + сх = Му + $у + су = -

г a2 cos cot + mR 2 (ф6 sin фз + ф8 cos <ps),

*=i

(2-2)

ft ..

- sin at - f mR 2 (ф« cos Ф* — 4>s Ф«)-

S=1

Здесь (рис. 34) x и у — координаты центра диска Oi в непод­вижной системе осей хОу, начало которой находится в точке пе­ресечения плоскости диска с осью подшипников; <р, — отсчиты­ваемый по ходу часовой стрелки угол между прямой, соединяю-, щей; центр диска 0 с центром s-ro шарика, и направлением оси Ох; Ж — масса диска, т — масса шарика, М=Ж + кт — масса всей системы; г — эксцентриситет диска; R — расстояние от цент­ра шариков до оси вала; со — угловая скорость вращения вала, В0 и р — коэффициенты вязкого сопротивления, с — жесткость вала на изгиб по отношению к силе, приложенной в точке Оь

Особый интерес при исследовании динамики автобалансира представляет выяснение условий существования и устойчивости таких решений системы дифференциальных уравнений (2.1), (2.2)т в которых ж(сйі) з® yX&t) в* 0 (или, по крайней мере, остаются достаточно малыми), т. е. решений, отвечающих самоуравнове - шиванию системы, когда колебания вала отсутствуют.

Сформулированная выше задача динамики автобалансира и была по существу рассмотрена в статье Ф. М. Детинко 1119J с по­мощью методов, отличных от ис­пользуемых в данной работе. Ф. М. Де­тинко изучил также и значитель­но более сложный случай, когда вал имеет распределенный по длине небаланс и несет произвольное число п неуравновешенных дисков с двумя шариками каждый; при этом имеется

нения (2.2) заменяются уравнениями V в частных производных.

Ряс. 34. Здесь мы приведем решение задачи

об автобалансире, как задачи о син­хронизации шариков в полости диска [57]. Представим уравне­ния (2.1) и (2.2) !в виде

Ф® + Ро (ф* — и) = цсо2Ф (ф8, х, у) (s = 1, —, к), (2.3)

* -

Мх - f сх = mR 2j (ф* sin <ps - f ф‘ cos <ps) + JCra? cos cot — |ip' Xf

s=1

(2.4)

..

My + су = mR У (tps cos <ps — ф® sin ф8) — J? roj2 sin cot — ф'у,

где обозначено цФ (ф£, х, у)

JW

(х sin ф8 + у cos ф4), цР' = р, (2.5)

причем величину і_і > 0 будем рассматривать как малый пара­метр; основания для этого вполне аналогичны указанным в § 4 гл. 3 при рассмотрении задачи о синхронизации вибровоз­будителей.

В соответствии со сказанным ранее будем интересоваться

решениями уравнений (2.3) и (2.4), имеющими вид

Ф„ = со/ - f as - f цд|>* (tot), x = x (tot), у — У (tot), (2.6)

где <, хну — периодические функции времени t с периодом 2л/а», я а„ — постоянные; нри этом, как отмечалось, наиболее
интересны решения, в которых «начальные фазы» а„ таковы, что х я* 0 и у « 0, т. е. имеет место самоуравновешивание.

Поставленная задача представляет собой частный случай за­дач о синхронизации объектов с почти равномерными враща­тельными движениями, рассмотренных в § 4 гл. 12 и в § 8 гл. 3: уравнения (2.3), (2.4) и решения (2.6) относятся соответственно к тому же типу, что и уравнения (4.2), (4.3) и решения (4.1) гл. 12. I

Соответствующая уравнениям (2.3) и (2.4) порождающая си­стема при р2 = с/М Ф со2 (рассматривается нерезонансный слу­чай) допускает следующее семейство решений вида (4.5), {4.6) гл. 12:

Ф® = cat + as,

х° = wR [Ч cos cot + _2 c°s (tot + aj) j, (2.7)

y° — — wR [„ sin cot + _2 sin № + ai) 11

зависящее от к произвольных параметров ГМ - ..ос*..

Здесь обозначено

~ 2

ТҐІ СО су С о

11 = pa-_(o2’ 'р~~~мт ( )

Составим теперь основные уравнения (4.6) гл. 12 для определе­ния значений параметров ai, ..., ос*, которым могут отвечать

решения вида (2.6). В соответствии с равенствами (2.5) и (2.7)

указанные уравнения можно записать в форме

Рг (аь..., afe, а) = <Ф (ф®, х°, у°)> =

Н0

231/(0 Г*

(ж0 sin ф® 4- у0 cos ф®) dt ==

--Р0« J

= 7Г - jT - w J^T| sin as + 2 sin («5 — ai)] = 0 (2.9)

(s = l, ..., k).

Эти уравнения непременно допускают решения относительно SC; аъ. удовлетворяющие УСЛОВИЯМ

при выполнении которых, как следует из (2.7), колебания вала в первом приближении отсутствуют, т. е.

(2.11)

x°(at) = f/°(co'f) = 0.

Поэтому основной интерес представляет, во-первых, установ­ление условий устойчивости движений, отвечающих решениям типа (2.10), и, во-вторых, выяснение вопроса, не будут ли одно­временно с указанными движениями устойчивы также и другие движения, которым отвечают решения уравнений (2.9), не удов­летворяющие условиям (2.10). Как нетрудно видеть, эти послед­ние решения всегда имеются.

Решения уравнений (2.9), удовлетворяющие условиям (2.10), а также соответствующие движения для краткости назовем основ­ными, а все прочие решения (и движения) — побочными.

Ответ на вопрос об устойчивости решений, соответствующих какому-либо решению уравнений (2.9), зависит от знаков веще­ственных частей корней алгебраического уравнения (2.12) гл. 12.

Рассмотрим сначала случай двух шариков в полости диска. При к = 2 уравнения (2.9) принимают вид

1 <0

(2.12)

Pi (®1, «2. = — —~г w Iі! sin “і + sin («1 — “г)! = 0.

Эти уравнения допускают, вообще говоря, четыре следующих существенно различных решения (очевидно, можно не различать решения, В которых соответствующие ССІ и 0.2 отличаются на 2яп, где п — целое число, а также, поскольку шарики считаются одинаковыми, решення, в которых значения «] и осг меняются местами):

1) 2) 3) 4)

(2.13)

c4J) = n — у,' а,1} = —(it — - у); ai2> = 0, Og2) = 0;

здесь у = arccos -~

т) Лт

Только первое из указанных решений удовлетворяет условиям отсутствия колебаний вала (2.10). Иначе говоря, лишь первое решение является основным; прочие решения суть побочные. Условием существования основного решения является выполне­ние неравенства

которое выражает очевидное требование, чтобы максимальный статический момент обоих шариков относительно оси вала был больше статического момента диска относительно той же оси.

Взаимное расположение центров шариков с и сг, центра ва­ла в недеформированном состоянии О и при движении О и а так­же центра тяжести диска С для каждого из четырех решений.

Рис. 35.

(2.13) представлены на рис. 35, а)—г). Построение выполнено в соответствии с формулами (2.13) и (2.7) для момента времени Ї = 0; произвольному моменту времени отвечает поворот диска с шариками и связанной с диском системы координат uOxv на угол фо = at.

(2.15)

н2 + Ан + В^ 0,

где в силу (2.12)

[г] cos ctj cos ос2 ]- (cos ocj j-cos a,) cos (a1 — a.,)]

Обратимся к исследованию устойчивости решений (2.13). Уравнение (2.12) гл. 12 в данном случае может быть представ­лено в форме

12 и. И. Блехман

Достаточными условиями существования и асимптотической устойчивости движений рассматриваемого типа, отвечающих ре­шениям (2.13), являются неравенства [35])

(2.17)

А > О, В > 0.

Для первого, основного решения (2.13) по формулам (2.16) на­ходим

2 2 . <0 W, , „ ч Ч) IV

А = Aw — — (— і] cos y - f cos 2-у) s—, Po Po Согласно (2.14) величина В всегда положительна внутри об­ласти существования рассматриваемого решения; что же касает­ся величины А, то условие ее положительности приводит к тре­бованию w< 0 или согласно (2.8) — к неравенству

(2.19)

to >• p = У c/M.

Таким образом, основное движение, т. е. движение, прп ко­тором вал не колеблется вследствие компенсации неуравновешен­ности диска воздействием шариков, устойчиво в закритической области.

Для трех побочных движений (2.13) по формулам (2.16) на­ходим

(2.20)

Отсюда следует, что второе решение устойчиво ЛИШЬ в до - критической области (т. е. при о<р); третье решение устойчи­во только в закритической области (т. е. при со > р) и притом лишь в случае, если т} > 2; последнее, четвёртое решение вооб­ще неустойчиво. Таким образом, при выполнении условия (2.14), гарантирующего существование основного решения, это решеппе в закритической зоне является единственным устойчивым реше­нием рассматриваемого типа. При докритических же скоростях

вращения вала это решение неустойчиво. Сказанное предопреде­ляет область эффективного применения изученных автобалан - сиров.

Таким образом, на рассмотренную систему в сущности рас­пространяется широко известный результат решения классиче­ской задачи о самоуравновешивании несбалансированного диска без шариков (см., например, [30]); этот результат выше был назван принципом Лаваля (см. п. 6 § 14 гл. 3).

Полученные выше выводы согласуются с результатами, най­денными Ф. М. Детинко иными методами [119], и в определен­ном смысле дополняют эти результаты. (В цитированной работе не рассматривается вопрос об устойчивости побочных решений, а устойчивость основного решения изучается при нескольких конкретных значениях параметра rj; вместе с тем там решена также и более сложная задача о вале с распределенным по длине небалансом.)

Поскольку автобалансир справляется со своей задачей уже - при числе шариков, равном двум, то нет надобности прибегать і: использованию большего числа шариков. С другой стороны,, при к>2 исследование существенно усложняется, ибо в этом случае решения уравнений (2.10) (а значит, и основных уравне­ний (2.9)) перестают быть изолированными. Это является отра­жением того обстоятельства, что при числе шариков к, большем двух, и выполнении условия, аналогичного неравенству (2.14), уравновешивание диска возможно при любом фиксированном положении к — 2 шариков за счет выбора положений двух про­чих шариков.

Заметим в заключение, что и в рассматриваемой задаче из общих соотношений § 4 гл. 12, а также § 8 гл. 3 может быть легко получен простой интегральный признак устойчивости (экст­ремальное свойство) синхронных движении, причем роль потен­циальной функции играет функция Лагранжа, соответствующая колебаниям на валу полностью уравновешенного диска, к оси которого присоединены массы шариков; при этом функция Лаг­ранжа вычисляется в порождающем приближении:

D = Л(1) = <(Г(1) - П(1))> =

- <4-м К*Т + (в°>*1 - 4-с [(*■>• + 0/У]- (2.21)

Производя усреднение при учете выражений (2.7) и формул» (4.17) гл. 3, получаем

Сопоставляя этот результат с полученным для задачи о син­хронизации вибровозбудителей (см. формулу (5.23) гл. 3), сле­дует иметь в виду, что в рассматриваемом здесь случае по су­ществу имеется как бы к + 1 вибровозбудителей— один неурав­новешенный диск и к шариков.

Напомним, что согласно интегральному критерию устойчивые движения соответствуют точкам грубых минимумов функции D; из этого условия, как нетрудно видеть, получаются основные уравнения (2.9), а также и соответствующие условия устой­чивости.

Нетрудно заметить, что из сформулированного интегрального критерия устойчивости непосредственно вытекает вывод о само- уравновешивании системы далеко в закритической области, где потенциальной энергией П(1) в выражении (2.21) можно прене­бречь по сравнению с кинетической энергией Т{1). Этот вывод вполне согласуется со следствием из интегрального критерия ус­тойчивости в задаче о самосинхронизации вибровозбудителей, изложенным в § 5 и в п. 6 § 14 гл. 3, т. е. с закономерностью, названной нами обобщенным принципом Лаваля.