В настоящей главе сначала кратко излагаются основные идеи методов Пуанкаре и Ляпунова, а затем приводится (без доказа­тельств) ряд теорем о существовании и устойчивости периодиче­ских и синхронных решений некоторых систем дифференциаль­ных уравнений, содержащих малый параметр. Эти теоремы по существу развивают и дополняют в определенных направлениях классический аппарат теории Пуанкаре и Ляпунова периодиче­ских решений систем с малым параметром.

Главной особенностью изучаемых уравнепий, характерной для задач о синхронизации, является наличие у порождающей системы семейства периодических (или синхронных) решений, зависящего от некоторого числа произвольных параметров щ, ... ..ак, а главной особенностью приводимых теорем — возмож­ность выразить основной результат через посредство так назы­ваемых порождающих функций jP«(oci, ..., aft) и интегрального критерия устойчивости. Об этих особенностях математического аппарата теории синхронизации подробно говорилось в гл. 2.

Большинство приводимых результатов было получепо в по­следние годы именно под влиянием потребностей развития тео­рии синхронизации и ее непосредственных приложений; они представляют собой основу математического аппарата, исполь­зуемого в настоящей книге при решении конкретных задач.

Остановимся вначале на кратком изложении основных идей методов малого параметра Пуанкаре и Ляпунова.

Математические основы метода малого параметра примени­тельно к теории периодических решений дифференциальных

уравнений были заложены в классических сочинениях А, Пуан­каре в конце XIX века [325]. Первостепенную роль при исполь­зовании метода Пуанкаре играет теория устойчивости движения и теория периодических решений дифференциальных уравнений, развитая примерно в тот же период А. М. Ляпуновым [178], Методы Пуанкаре и Ляпунова за последние три десятилетия получили дальнейшее развитие в работах многих исследователей; эти методы были с успехом использованы при решении ряда важ­ных прикладных задач, они являются в настоящее время одними из наиболее эффективных и универсальных в теории колебаний нелинейных систем.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений »

х, = Х„(хи..., Хп, [48]) + jjiF. Ui, хп, t, р) (1.1) (s = 1, ..., п),

где X. и F„ — аналитические функции переменных Х, хп в замкнутой области G, которой принадлежат все рассматривае­мые ниже решения уравнений, и непрерывные ^-периодические функции переменной t (времени) в любой точке области G. По­ложим, что F, являются также аналитическими функциями малого параметра ц>0 при р - С ро, где ро>0. В большинстве прикладных задач перечисленные жесткие требования относи­тельно гладкости правых частей уравнений, существенно облег­чающие исследование, являются достаточными *); эти требования могут быть существенно ослаблены (см. § 7). Система (1.1) не­автономна; предполагается, что правые части уравнений содер­жат время в явной форме; изучение автономной системы имеет ряд особенностей (см., иапрпмер, §§ 3 н 5).

Отыскание периодических решений системы

Ж? = Xs (ж?, ...,xl, t) (s = 1, ..., п), (1.2)

получающейся из (1.1) при ц = 0 и называемой порождающей системой, может оказаться более простым, чем нахождение пе­риодических решений системы (1.1). Предположим, что Г-перио - дические решения порождающей, системы (порождающие реше­ния) существуют и известны. Возникает вопрос, можно ли «до­верять» этим решениям в том смысле, что им однозначно соответствуют близкие периодические решения исходной систе­мы, т. е. решения исходной системы, обращающиеся при р = 0 в решения порождающей системы. Иногда возникает также не­

обходимость найти решения исходной системы более ТОЧНО, 1. е. с учетом членов, содержащих р..

Принципиальное решение указанных задач и дает теория А. Пуанкаре. Им было, в частности, показано, что соответствие между решениями систем (1.1) и (1.2) имеет место не всегда. В зависимости от характера правых частей уравнений (1.1) мо­жет оказаться, что периодическому решению порождающей си­стемы (1.2) не соответствует периодическое решение исходной системы (1.1). С другой стороны, возможны случаи, когда реше­нию порождающей системы отвечает несколько и даже бесчис­ленное множество периодических решений исходной системы.

Все эти особые случаи представляют наибольший интерес для теории нелинейных колебаний вообще и для теории синхрониза­ции в частности.

При практическом использовании метода Пуанкаре периоди­ческое решение системы (1.1) разыскивают в виде рядов

ж* (t) = ж® (і) + (t) + (12ж*2) (*)+■■• (1-3)

с ^-периодическими коэффициентами по целым положительным степеням параметра ц, хотя в некоторых случаях разложения могут быть по дробным степеням (х. Подставляя выражения (1.3) в уравнения (1.1) и разлагая их правые части по степеням ц, приравнивают выражения при одинаковых степенях (х из обеих частей равенства. Тогда получаются следующие системы уравне­ний для определения приближений ж*1*, •.:

= І psj (0+ Fs (*;, .4, і, 0) . (1.4)

з=і

(s = 1, ...,n),

?Aq) = 2 Psi (f) 4q> + ф«'7> (x°i xn, • • •; • • •, a#_1), t),

3=1

(1.5)

(g = 2,3, ...; s = 1, ...,n).

В уравнениях (1.4) и (1.5) введено обозначение

<‘-e>

где круглые скобки означают, что заключенные в них производ­ные ВЫЧИСЛЯЮТСЯ ДЛЯ порождающего решения Xs = Xg, т. е. для У-иерыодического решения системы (1.2). Если порождающее ре­шение известно, то для нахождения функций Ж*1>, ,,. могут

быть последовательно использованы рекуррентные системы урав­
нений (1.4), (1.5). Каждая из этих систем представляет собой систему линейных неоднородных уравнений с одинаковой одно­родной частью

z, = p,(t)zi +... + p. n(i)z„, (1.7)

коэффициенты которой являются Т-периодическими функциями времени вследствие Г-периодичности решения®* (і)-

Ответ на поставленные выше основные вопросы, таким обра - 80м, зависит от того, можно ли найти единственные Т-периоди - ческие решения xiq) (t) уравнений (1.4), (1.5), а также будут ли ряды (1.3) сходящимися по крайней мере при достаточно малых ft. Решение этих вопросов существенно зависит от характера си­стемы уравнений (1.7), которая играет первостепенную роль в дальнейшем и которую, следуя А. Пуанкаре, называют уравне­ниями в вариациях для порождающей системы, составленными для порождающего решения.

В теории линейных дифференциальных уравнений установ­лено, что если система (1.7) не имеет Т-периодических решений, то Т-периодические решения уравнений (1.4) и (1.5) непременно существуют и являются единственными. Исследование показы­вает, что в этом простейшем случае периодическому решению z%t) порождающей системы (1.2) отвечает (по крайней мере при достаточно малых (х) единственное аналитическое решение

(1.3) исходной системы (1.1), обращающееся при ц = 0 в рсшспне 4 (1С).

Значительно сложнее случай, когда система в вариациях (1.7) имеет ^'-периодические решения; такой случай встречается, в частности, тогда, когда порождающая система (1.2) допускает семейство Т-периодических решений

х8 = xs (£, cti, ..., oift) (s = 1, ..., /?), (1.8)

зависящее от некоторого числа к^п произвольных параметров «і, ..акш, именно такой случай, согласно сказанному выше, наи­более интересен для теории синхронизации. Предполагается, что параметры щ входят в выражения (1.8) независимо, т. е. ранг матрицы I дхУда$ j равен к. Тогда согласно теореме Пуанкаре [184, 325] система в вариациях непременно имеет к периодиче­ских (с периодом Т) решений

zsj (t) — s — 1) І!»•••» К)-

Здесь и ниже первый индекс при z указывает номер функции, а второй — номер решения.

По крайней мере к периодических решений zej (t) имеет в рас­сматриваемом случае также система линейных дифференциальных уравнений

Z* + Pis (i) zl -1- . . . + Pns (і) z* = 0, (1.10)

называемая сопряженной с системой (1.7).

Исследование устойчивости периодических решений, най цен­ных методом малого параметра Пуанкаре, имеет ряд особенно­стей. Согласно теории А. М. Ляпунова [178], решение вопроса об устойчивости зависит от характера решений так называемой системы уравнений в вариациях для уравнений (1.1) и решения

(1.3)

которая представляет собой линейную однорбдную систему с Г-иериодическими коэффициентами (круглые скобки с индексом «*», в которые заключены производные, указывают на то, что они вычислены для рассматриваемого решения). Уравнения (1.11) описывают поведение малых отклонений движения от рассмат­риваемого периодического движения с течением времени. Если все решения системы (1.11) стремятся к нулю при t -*■ то рас­сматриваемое движение асимптотически устойчиво; наличию хотя бы одного неограниченно нарастающего решения соответ­ствует неустойчивость, а случай, когда имеются нетривиальные периодические решения, требует, как правило, дополнительного исследования.

Одна из важных особенностей исследования характера реше­ний системы в вариациях (1.11) связана с наличием в ней мало­го параметра. Если система, получающаяся из (1.11) при (1 = 0, т. е. система (1.7), имеет только затухающие при i-> op решения, то изучаемое движение асимптотически устойчиво и при доста­точно малых ja. Если система (1.7) имеет хотя бы одно неограни­ченно возрастающее при £-*-«» решение, то рассматриваемое дви­жение при достаточно малых р неустойчиво. Когда система (1.7) имеет периодические решения, для ответа на вопрос об устой­чивости движения (даже при достаточно малых р) пеобходимо рассмотреть члены уравнений (1.11), содержащие р.

Последний «критический» случай представляет наибольший интерес для теории синхронизации, ибо он соответствует случаю, когда порождающая система имеет семейство Т-периодических
решений. Приводимые ниже теоремы о существовании и устой­чивости периодических решений как раз и относятся к указан­ным случаям.

Заметим, что важный для теории синхронизации случай зависимости порождающего решения от произвольного числа параметров аи ак впер­вые систематически рассмотрен И. Г. Малкиным [184] (А. Пуанкаре изучал случай зависимости только от одного параметра). И. Г. Малкин как раз и получил для различных случаев уравнения типа P,(ah..., ak) = 0 (s = = 1, ..к) для определения этих параметров («основные уравнения»). Ал­гебраические уравнения типа dPJda.) — — 0 (*, / = 1, ..., к), от кор­

ней х которых зависит решение вопроса об устойчивости (см. § 2 гл. 2 и ниже), получены И. И. Блехманом для квазилинейных [33, 34], а затем И. Г. Малкиньпг и другими исследователями для более сложных систем. Существенное обобщение сделано Р. Ф. Нагаевым, рассмотревшим весьма общий случай квазипериодического семейства порождающих решений [216]. Результаты упомянутых, а также других работ по развитию метода Пуан­каре, интересные для теории синхронизации, излагаются ниже.

Систематическое изложение методов Пуанкаре и Ляпунова в теории нелинейных колебаний можно найти, например, в книгах [57, 74, 184, 188, 237, 260, 280, 312], а обзоры работ по развитию метода — в [54, 57, 291].