Задача об устойчивости стационарных режимов параллельной работы нескольких синхронных электрических машин является одной из наиболее важных конкретных проблем теории синхрони­зации динамических систем[44]); этой проблеме посвящено значи­тельное число интересных исследований, наиболее ранними из ко­торых являются работы Ф. О. Оллендорфа и В. Петерса [322], Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова [157], П. С. Жданова [126],

А. А. Горева [101]. В общей постановке задача столь сложна, что многие ее существенные стороны до сих пор остаются не изучен­ными. В частности, почти не рассмотрены случаи, когда вопрос об устойчивости приводится к исследованию системы дифферен­циальных уравнений с периодическими коэффициентами. Обзор современного состояния проблемы можно найти в работах [136— 138, 253].

Рассмотрим вначале постановку задачи о параллельной работе некоторого числа к генераторов G..., Gk на общую нагрузку. Состояние s-ro генератора характеризуется одной вращательной координатой — углом поворота ротора по отношению к статору ср„, а также совокупностью колебательных фазовых координат а^8), ..4’*, которыми могут являться как электрические, так и механические величины.

Пусть сначала каждый генератор работает на независимые на­грузки Ri, ..., Rh, состояние которых характеризуется фазовыми

координатами us —, (рис. 41, a). Torga мы имеем к не­зависимых автономных систем, в которых при определенных усло­виях устанавливаются движения вида

ф* = (Dst + 1[>S (G)st), х8) = ^jS) (0)st), = M(pS) (0)st), (1.1)

(j = l, ...,rs; p = l, ..., vs; s = l, ...,fc),

где iCjS) и Mp) — периодические функции времени t с перио­дом 2я/о), а каждое из со» — постоянная, которую можно назвать парциальной частотой генератора, отвечающей данной нагрузке

R*. Вследствие неодинаковости нагрузок Rs, неточностей изготов­ления, а также неидеальности регуляторов частоты со, для различ­ных генераторов, вообще говоря, будут различными.

Предположим теперь, что все генераторы включены параллель­но для работы на общую нагрузку R, состояние которой характе­ризуется фазовыми координатами щ, ..., uv (рис. 41, б). Необхо­димым условием нормальной работы системы является установле­ние в ней режима работы с некоторой общей частотой <а — синхронной частотой. Несомненным «подарком природы», зачас­тую не осознаваемым, является тот факт, что подобный синхрон­ный режим оказывается устойчивым (по крайней мере в малом «сам по себе», в силу внутренних свойств системы «генераторы — нагрузка». Иными словами, и здесь имеет место тенденция к син­хронизации, Она обусловлена теми же общими причинами, кото­
рые указаны в § 9 гл. 10 и в §§ 4 и 7 гл. 12 — периодическим характером зависшвьсти моментов взаимодействия между вращаю­щимися роторами от взаимных углов поворота «р» — <р3-. Условиями действительного установления синхронного режима работы гене-, раторов на общую нагрузку обычно являются малость различий в парциальных частотах to, и «правильность введения генерато­ров в синхронизм». Первое требование обеспечивается достаточной точностью регуляторов. Второе же связано с тем, что «область притяжения» синхронного режима в фазовом пространстве систе­мы обычно ограничена, т. е. режим устойчив, например, в малом, но не устойчив в целом. Отметим, что в практике известны случаи выпадения генераторов из синхронизма вследствие тех или иных возмущений в системе. В этих случаях возникали нежелательные биения напряжения, а иногда и серьезные аварии агрегатов.

Итак, основная задача о параллельной работе генераторов за­ключается в установлении условий, при которых, несмотря на воз­можное различие парциальных частот о., в объединенной системе устанавливается режим с общей синхронной частотой to. Иными словами, и в данном случае речь идет об основной задаче теории синхронизации — выяснении условий существования и устойчи­вости движений совокупной системы вида

<ps = (Ot + "Ips (cot), = Xjs) (tot), Up = Up (tot)

(/ = 1, ..., rs, p = 1, ..., v, s = 1, • ■., ft), (1*2)

где ips, и иР — периодические функции времени t с общим периодом 2п/(о, а (о — постоянная, которая точно заранее неиз­вестна.

Вполне аналогичным образом ставится задача о нормальной работе энергетических систем, каждая из которых содержит не­сколько синхронных машин: по-прежнему речь идет об исследова­нии условий существования и устойчивости движений вида (1.2) в случае, когда парциальные частоты to, отдельных систем,. вооб­ще говоря, различны.

Особый класс задач о синхронизации связан с электротехниче­скими способами обеспечения одинаковости углов поворота не­скольких валов, каждый или несколько из которых приводятся во вращение от тех или иных двигателей (не обязательно элек­трических). Речь идет о системах типа электрического вала, до­статочно подробно описанных в литературе (см., например [316]).

Для правильного и экономичного выбора параметров системы электрического вала, вообще говоря, необходимо решить задачу о синхронизации нескольких связанных объектов, подобной тем задачам, о которых говорилось выше: динамические (а не только статические) особенности объектов, связанных с каждым из ва­лов, естественно, могут существенно влиять на значения парамет-

ров системы, обеспечивающих наличие синхронного и синфазного вращения валов. Механические вибровозбудители являются од­ними из объектов, для которых представляет интерес решение за­дачи о синхронизации и фазировке посредством электрического ва­ла (см. п. 3 § 11 гл. 3).

Как правило, хотя и не всегда, уравнения движения систем с электрическими машинами могут быть записаны в виде уравне­ний Лагранжа — Максвелла, представляющих' обобщение уравне­ний Лагранжа второго рода на электромеханические системы. Мы не приводим здесь этих дифференциальных уравнений; в общем случае они столь сложны, что само составление их представляет нетривиальную задачу, которая до сих пор не получила оконча­тельного решения.

В переменных ip[45], £jS), Up и т = wt задача о параллельной работе электрических синхронных машин, как и все рассмотрен­ные выше задачи о синхронизации, приводится к исследованию условий существования и устойчивости периодических (с перио­дом 2л) решений некоторой системы дифференциальных уравне­ний, правые части которых — также периодические функции т = at с периодом 2п. Впрочем подавляющее большинство изучен­ных до сих пор систем таково, что указанные уравнения могут быть в результате ряда допущений преобразованы к переменным, для которых правые части уравнений не содержат время в явном виде, а установившимся режимам отвечают постоянные значения новых переменных *). Естественно, что при этом, как отмечалось выше, анализ устойчивости сводится к рассмотрению системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Значительные упрощения могут быть достигнуты благодаря то­му, что дифференциальные уравнения параллельно работающих электрических машин и энергетических систем допускают эффек­тивное введение малых параметров, причем это обусловлено не только характером связей между синхронизируемыми объектами, но и существенным различием в порядках постоянных времени, характеризующих процессы в системе [137, 286].

Помимо сформулированной выше основной задачи, в теории параллельной работы синхронных электрических машин сущест­венный интерес представляет также вопрос об изучении условий захвата в синхронный режим подключаемой к работающей сети синхронной машины, а также исследование возникающего при этом переходного процесса. Эти достаточно трудные в общей по­становке задачи, которые еще мало изучены, по существу, связа­ны с рассмотрением поведения системы «в целом».

Заметим далее, что задача о синхронизации электрических генераторов часто ставится и решается как задача о внешней синхронизации, т. е. предполагается, что один или несколько ге­нераторов системы значительно более мощные, чем все прочие, и поэтому их движение заранее задано и не зависит от поведения остальных объектов. При этом, естественно, синхронная частота ш совпадает с частотой колебаний, генерируемых «мощными» генераторами.