/

Задачу об изгибно-крутильных колебаниях вращающегося упругого вала с несколькими неуравновешенными дисками тра­диционно рассматривают вне связи с явлениями синхронизации (см., например, [30, 120]), Между тем, как будет показано ниже, в соответствующей системе возникают вибрационные моменты, характерные для систем с самосинхронизирующимися вибровоз­будителями (см. §§ 5 и 8 гл. 3). При определенных условиях

эти моменты могут оказать существенное влияние на движение вала с дисками [57].

В наиболее общем случае рассматриваемая система (рис, 37) представляет собой многоопорный вал с некоторым числом к статически и динамически неуравновешенных дисков, приводи­мых от каких-либо двигателей; при этом считается, что вал в Процессе движения может совершать не только изгибные, но и крутильные колебания, т. е. жесткости на кручение отдельных участков вала предполагаются конечными. Опоры вала могут быть как жесткими, так и упругими, с неодинаковыми жестко­стями в различных направлениях.

Будем считать, что некоторые из дисков представляют собоіі роторы двигателей, приводящих вал во вращение.

Пусть Oxyz — неподвижная система прямоугольных коорди­нат, ось Oz которой направлена вдоль осей подшипников вала.

; / г #

a Oszsyszs— системы осей, параллельных соответствующим осям Oxyz и имеющих начала в точках пересечения О* плоско­стей дисков с изогнутой осью вала оо (рис. 38). Пусть далее
0'suavaws— системы осей координат, жестко связанных с диска­ми и совпадающих с их главными осями инерции.

Положение каждого диска определяется пятью обобщенными координатами — декартовыми координатами х, и у. точки О, в неподвижной системе Oxyz и тремя эйлеровыми углами а„ и ср., выбранными в соответст­вии с рис. 38: ccs — угол меж - о

ду осью 0sw8 и плоскостью

' г! ' П

xsUszt, р, — угол между осью

•Oszsts. проекцией оси Oewa на ' ’

плоскость x8u8zs и, наконец, <ps >есть угол между линией п пе­ресечения плоскости Xs0tzs С

ПЛОСКОСТЬЮ Ua0svs И ОСЬЮ Оs ив

(указанную линию обычно на­зывают линией у<*лов, а угол ф, — углом собственного вра­щения). п

Ограничиваясь изучением случая статической неуравнове - us Ps У vs

шенности ДИСКОВ, будем пред - рис gg

полагать, что их центры тяже - '

сти С, лежат на осях Ои,.

Если пренебречь гироскопическими членами, а также чле­нами, имеющими относительно координат х„ уs, ccs, и соответ­ствующих скоростей порядок выше второго, и не учитывать нлияния силы тяжести, то выражения для потенциальной и ки­нетической энергии системы будут

п = п(1> + п<п>,

ft ft

к-1

П(П) = 2 см+1 (ф8+1 — ф8 — и8+1 + Ия)2, (4.1)

к

т = Та> - L АТ* + 2 Ts,

S—1

Т{1) = 42 К (И + if!) + («! + (4.2)

5=1

Ь

АТ* = — У mses (xs cos ф8 + ys sin ф$) ф8, Ts = -у - Is ф2.

S—1

Выражение (4.2) наиболее просто может быть получено из формулы для кинетической энергии твердого тела, отвечающей общему случаю, когда за полюс принимается произвольная точка этого тела, а не обязательно его центр тяжести [174].

В равенствах (4.1) и (4.2) обозначено: то„, є„ А, и I, — соот­ветственно масса, эксцентриситет, экваториальный и полярный моменты инерции s-ro диска; с„, ,+i — жесткость на кручение участка вала между s-м и (s + 1)-m диском, причем с01 = cfeift+1— = 0; c£f, clf clf — соответствующие жесткости

вала на изгиб, вычисленные с учетом податливости опор; и, — зна­чения углов ф„ при которых упругие крутящие моменты в пролетах вала равны нулю; эти углы, определенные с точностью до по­стоянного поворота Хо, характеризуют направления векторов - эксцентриситетов е„ дисков при нескрученном вале.

Дифференциальные уравнения движения системы, составлен­ные в соответствии с равенствами (4.1) и (4.2) в форме урав­нений Лагранжа второго рода, имеют вид

/8ф8 = mses (xs cos <ps + ys sin cps) — (<ps — <ps^ ~ xs + xs_3) +

~i~ (фч-fi фй xs+i -J - xs) Ls Rs, fc...

WA + E {c^x5 + cga)ccj) = msss (<ps cos ф5 — «PsSinrpJ + Q{x

3=1

) =- wses (фs sin (f s — 1(4 cos ф8) - r Q(f;

(4.3)

-f 53 (CL-V; -! HiP)Pi

5—1

3=1

A&, + І (cf % + Vi) = Qf (s = 1,..., k).

i=l

Здесь Qlx ($ и —силы и моменты внутреннего и внешнего сопротивления колебаниям вала, которые могут за­висеть от всех обобщенных координат и скоростей системы, при­чем координаты ф, и скорости ф8 входят в выражения для Q

только в виде разностей фв — ф3- и ф« — ф3; Ls и Ra — соответст­венно вращающие моменты двигателей и моменты сил сопротив­ления вращению. Будем считать далее, что вал приводится во вращение от двигателей асинхронного типа, и примем, что мо­менты L, и R, определяются выражениями (4.10) и (4.11) гл. 3. Допустим также, что все частоты свободных крутильных коле­баний вала с полностью уравновешенными дисками существенно
ниже угловой скорости установившегося вращения и, а частоты изгибных колебаний в достаточной мере отличаются от па>, где п — целое положительное число [37]). Тогда, положив

= msEs (xs cos ф8 + ys sin <ps) — cs_1>8 (ф8 — ф8_х — + v, s-j) +

+ cs+i, s (ф*+і — Фї — 1 + Hs) + Ls (со) — Rs (ai), (4.4)

Qix) = Qiv) = Qla) = vQ[a = n$p),

запишем уравнения (4.3) в виде

Is4>s + h (ф8 — со) = р, Ф8 (ф81ь ф8, Ф8, xs, ys);

k ~ msxs + 2 (4fяj - f cf^aj) = mse8 (ф8 cos ф8 — ф® sin ф8) - f р^ж),.

3=1

h...

msys + 2 (4f Vi + P)Pi) = rnses (фв sin <ps + ф® cos ф8) +

j=i

(4.5)

+ І (c[fa} + c'F'xi) =

3=1

+ 2 + c«iPVi) =

j=i

(«=1, ..., ft).

Величину p > О по-прежнему рассматриваем как малый па­раметр, что при сделанных допущениях аргументируется подоб­но изложенному в § 4 гл. 3.

Уравнения (4.5) имеет вид уравнений (4.2), (4.3) гл. 12, опи­сывающих синхронизацию в системе с почти равномерными вра­щениями: они соответствуют также аналогичным уравнениям обобщенной задачи о синхронизации вибровозбудителей (см. § 8 гл. 3); более того, можно сказать, что рассматриваемая здесь задача представляет собой частный случай обобщенной задачи о синхронизации вибровозбудителей. Как и в последней задаче, основной целью исследования является установление условий существования и устойчивости, а также вычисление с той или иной степенью точности синхронных движений системы, т. е.

движении вида

ф3 = at + а* + (о*);

х8 Xgi. wt'), ys ye(cot); ^ 0^

а, = a,(cof), р, = p,(cot),

где я|)„ xs, у„ а, и р, — периодические функции времени с перио­дом 2л/о, a as — постоянные. При этом значение синхронной частоты со, вообще говоря, заранее неизвестно и должно быть определено в ходе решения задачи (случай внутренней синхронизации).

Обратимся к рассмотрению задачи в духе исследования, вы­полненного в § 8 гл: 3. Отвечающая уравнениям (4.5) порож­

дающая система при указанных выше условиях допускает се­мейство решений

h

Ф? = соt + аГ; ж® = — 2 Жп sin (cot + aj),

1

h і k

а® = — 2 Usj sin (соt + a*); y® = 2 Jfajcos (cot + aj), (4.7)

j=i j=i

ft

ps° = — 2 V» cos (cot + aj) (s = 1,..., к),

3=1

зависящее от к произвольных постоянных а*. В равенствах (4.7) через Ж,,, U, j, JC, j и Vsj обозначены постоянные, определяемые путем решения линейных алгебраических уравнений, получаю­щихся при ;л = 0 из последних 4к уравнений (4.5) в результате подстановки выражений (4.6) и приравнивания коэффици­ентов при sin (cot - f - aj) HCos(cot + aJ) в обеих частях полу­чившихся равенств.

Составим основные уравнения (4.6) гл. 12 или, что - то же, уравнения (8.4) гл. 3 для определения значений параметров •ai,..., ah, которым могут отвечать решения уравнений (4.5) вида (4.6). Согласно (4.4) и (4.7) этими уравнениями будут (значок «*» при ае далее опускаем).

<P«(aii■ • аь)=-г-<Ф8(ф®-1, ф", ф"+і, Ф®, ж”, У°)> =

[

ГГ, " >2 к

■£2~ 2 ( sin (as — аз) —

‘ ' (s = 1, к).

К — — 'л, + x»-+i) т - cs,,+1 (a, fl — a, — xs+l + хй) - f

Об интерпретации последних уравнений можно почти дослов­но повторить сказанное в п. 2 § 8 гл. 3. Так, величины

2

W<K) (аи..., а*) = 2 (JT, j + Л°«) sin (а, - aj) (4.9)

j=і

по аналогии с задачей о синхронизации вибровозбудителей мо­гут быть названы вибрационными моментами; величины

(as_i, as, as+i) = cs_I>s (as — as_! — xs + нв-г) —

— cs, s+i (as+i — as — hs+1 + Hs) (4.10)

являются средними за период 2л/© значениями упругих крутя­щих моментов, а Z/s(o) и /?,(«) — средние значения вращающе­го момента двигателя и момента сил сопротивления, действующих на 5-й диск. Часто вращающий момент приложен только к край­нему диску; тогда

Zii(g>) Ф 0, L2((d) =...= £),(©) ■= 0.

Согласно равенствам (8.34) и (8.35) гл. 3 справедливы со­отношения

wmLeAV 5,к)==_ал™

даэ да. (4.11)

л(1) = <(зг(1) — п(1))>, л(11> = -<(п(П))> = -(п<ш).

При учете соотношений (4.9)—(4.11) уравнения (4.8) могут' быть представлены в форме

Р (гг. Г&Л ==

= Т - [Ls (“) — Rs Н — s'sK) (a*-1, oti+i) —

S t

at)]=0 (4.12>

(s = 1............. A)

і

или в виде

р. («Ь • • •, Д») ^ [- ■-А<^-)) + Ls (to) - ns И ] 1

к

. в +Ls и _ иї=0 (413)

(s = 1,-------- A).

Последние уравнения вполне аналогичны соответствующим Уравнениям § 8 гл. 3, относящимся к задаче о синхронизации вибровозбудителей.

192 ОБЪЕКТЫ, РОДСТВЕННЫЕ ВОЗБУДИТЕЛЯМ ГГЛ. 4ч

Ї

Сложив все уравнения (4.8), предварительно умноженные паї <o/cs, как и в § 4 гл. 3, получим равенство і

« 2 Ls N = 2 Rs (*>)(4.14)

1 S=1

которое представляет уравнение баланса энергии в системе (в исходном приближении) и служит для - определения угловой ско­рости синхронного вращения со. Порождающие фазы а3 нахо­дятся из уравнений (4.8) (или, что то же самое, из уравнений ■(4.12) или (4.13)) лишь с точностью до аддитивной произволь­ной постоянной. Все это, как уже неоднократно отмечалось, яв­ляется следствием автономности исходной системы уравнений..

Заключение об устойчивости движения, соответствующего некоторому решению = ai,..., aft = ось трансцендентных урав­нений (4.8), зависит от знаков корней алгебраического уравне­ния (8.31) гл. 3, имеющего степень к — 1.

Для рассматриваемой системы справедлив интегральный кри­терий устойчивости, причем за потенциальную функцию можно принять выражение

D = А(1) - А'п> - В = атт - П(1) + П(П))> - В, (4.15)

где

В = В (al5..., rift, to) = 2 lLi М — Rj НІ “і - (4.16)

i=i

Нашей целью не является подробное изучение задачи об из - гибно-крутильных колебаниях вращающегося вала с неуравно­вешенными дисками; поэтому ограничимся приведенными выше основными соотношениями и коротко остановимся на главных качественных выводах.

Один из выводов состоит в том, что вследствие неуравнове­шенности дисков, изгибные и крутильные колебания вала ока­зываются взаимно связанными, причем может оказаться, что эту связь игнорировать нельзя, и тогда следует рассматривать зада­чу в описанной выше нелинейной постановке. Конкретным про­явлением указанной выше взаимосвязи между изгибными и кру­тильными колебаниями является появление в уравнениях (4.12) вибрационных моментов W*K В результате при определенных условиях в процессе движепия участки вала могут оказаться закрученными на значительные дополнительные углы, относи­тельно которых будут происходить крутильные колебания, как относительно средних положений. При этом в сечениях вала могут возникнуть дополнительные напряжения, а характер воз­действия вала на опоры может существенно измениться.

Указанные эффекты проявляются тем сильнее, чем больше максимальные значения вибрационных моментов по срав­

нению с наибольшими упругими крутящимися моментами S т. е. чем меньше жесткости cs>s+i участков вала на кручение, чем больше неуравновешенности mses и чем выше угловая ско­рость о. Разумеется, что эти эффекты можно как угодно осла­бить путем выбора достаточно больших жесткостей cs, s+i.

Отметим, что к рассмотренной системе при L„(co) « Ве(а) пол­ностью относится обобщенный принцип Лаваля (см. п. 6 § 14 гл. 3): если угловая скорость вращения вала со значительно вы­ше частот свободных колебаний системы, то последняя будет стремиться к самоуравновешиванию.