Удельная упругая энергия на единицу объема материала w вы­числяется по формуле:

zjк • dzn).

В случае винтовой дислокации из 6 компонентов напряжений по формуле (4.6) имеем только один тг0, поэтому

тг0 тг0 d _2

w = Jt*0-d! zB= “Gf = yG;- (4.18)

0 0

Чтобы вычислить упругую энергию Е, приходящуюся на еди­ницу длины дислокации, нужно проинтегрировать w по площади, перпендикулярной линии дислокации:

Е = Jw ■2nr ■dr=2nr ■dr=G1 (Ш ■rdr=

r1 r1 r1

= G ■ b2 ■ 1 dr = G ■ b2 ■ ln ( Ъ

4n 1 r 4n ( r-,

r1 v

Если подсчитывать энергию по всей плоскости, получается, что Е = ж - (-да), что бессмысленно. Поэтому исключим область, где напряжения, в соответствии с рис. 4.5, превышают теоретическую прочность стали на сдвиг (ядро дислокации). Тогда при интегри­ровании r1 = b.

Радиус интегрирования r2, наверное, должен соответствовать площади сечения, которое приходится на одну дислокацию.

Плотностью дислокаций р называют число линий дислокаций, пересекающих 1 см2 площади сечения. С другой стороны р можно понимать как сумму длин отрезков линий дислокаций, заключен­ных в единице объема материала.

Из первого определения плотности дислокаций следует, что на одну дислокацию приходится участок площади шлифа F1 = 1/р. Среднее расстояние между дислокациями d можно представить как сторону квадрата с площадью F1. Тогда r2 = d/2 = 1/(2р1/2). Теперь можно записать выражение для вычисления энергии дис­локации: „ ,2

Ед = ■ ln

4^ [2 ^ b J

Плотность дислокаций в металлах зависит от степени накле­па. Для металла после прокатки часто принимают р * 1061/см2. Для наклепанного металла плотность дислокаций может состав­лять 10101/см2. Расстояние между ближайшими атомами в решет­ке a-Fe: b = 2,481A° = 2,48110-8 см. Если подставить эти значе­ния в выражение для энергии, получается

Е - G ■ b2 Ед -~^.

Обычно в литературе, исследующей винтовые дислокации, при­нимают G, b2

Ед = (1,27...2,31). (4.19)

Для краевых дислокаций расчет такой же, но нужно учиты­вать несколько напряжений и их функции от угла 0. В результате получается величина, отличающаяся на 30%:

G ■ b2

2 ■ (1 - V)

д