4.1.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ПРОЧНОСТЬ МЕТАЛЛА НА СДВИГ

Задача о приближенной оценке величины теоретической прочно­сти металла на сдвиг была решена в 1920-х годах на основании схемы, приведенной ниже. На рис. 4.1 схематически показана диагональная плоскость объемно центрированной кубической кри­сталлической решетки с межатомными расстояниями b.

Под действием касательных напряжений т верхняя часть кри­сталла сдвигается относительно нижней части на расстояние х (как показано заштрихованными кружками). При этом между атомными плоскостями A и B возникает сдвиговая деформация tg(y) = x/b.

Потенциальная энергия U1 (индекс 1 показывает, что эта функ­ция относится к одному атому решетки) каждого атома слоя A от­носительно атомов слоя B должна изменяться с увеличением x по циклической зависимости c периодом b. Ее можно описать рядом

Фурье. Однако в первом приближении можно ограничиться толь­ко первым членом этого ряда:

U1= A ■ sin(k • x + ф) + В, (4.1)

где A, B, k и ф — постоянные.

Для того чтобы функция U1(x) имела период b, нужно выпол­нение условия sin(k ■ X + ф) = sin[k ■ (x + b) + ф], или k ■ (x + b) = = k ■ x + 2л. Следовательно, k ■ b = 2л и

k = ^. (4.2)

b

Чтобы при x = 0 атомы находились в устойчивом положении, потенциальная энергия U1 должна быть минимальной. Это будет справедливо, если sin^) = -1, или

Ф = f. (4.3)

Подставив формулы (4.2) и (4.3) в формулу (4.1), для потенци­альной энергии атома получим выражение

U1 = A ■ sin I2*, x + -34lJ + B = B - A ■ cosl^bj. (4.4)

График этой функции при B = 0 показан на рис. 4.16.

Найдем выражение для касательной силы T1, действующей на один атом. Когда мы гирю весом P кг поднимаем на высоту АН, мы совершаем работу AU = P ■ АН, и потенциальная энергия гири уве­личивается на величину AU. Следовательно, зная приращение энергии AU, постоянную силу Р можно определять по формуле

P = au = dU

АН dh'

Переход в последнем равенстве к производной делает формулу пригодной и для вычисления переменной силы Р. Поэтому в слу­чае формулы (4.4) силу T1, действующую на один атом, можно оп­ределить как производную от потенциальной энергии:

_ A • ¥• sin f2^). (4.5)

T d

1 dx

С другой стороны, усилие T1 можно определить как приложен­ные к кристаллу напряжения т, умноженные на площадь F1 атом­ной плоскости A, приходящуюся на один атом (F1 = b2). Прирав­нивая эти два значения усилия N^ получим:

A ■ -2^ sin | %*) = т ■ b2,

откуда получим выражение для напряжении:

т = A-2bf-sin (2b*). (4.6)

Неизвестную постояннуюA можно найти, используя опреде­ление модуля сдвига G.

Согласно рис. 4.1а, угол сдвига у = tg(y) = х/b; dx/dy = b. Сле­довательно, модуль сдвига можно выразить формулой

откуда

A - ^ ^

Подставив формулу (4.7) в формулу (4.6), получим выражение для касательных напряжений:

-G^^sin^i-sin^). (4.В)

График функции т(х) показан на рис. 4.1в.

Из формулы (4.В) видно, что максимальные напряжения воз­никают при

2ьх = Е или х = b. b 2 4

Критическая деформация ус составляет tg(yc) = х = 4 = 25%.

Следовательно, теоретическая прочность материала на сдвиг St:

G

St =Tmax. (4.9)

Для железа модуль нормальной упругости E = 2,1 • 104 кГ/мм2; модуль сдвига G = E/[2 • (1 + v)]; коэффициент Пуассона v = 0,3. В результате получим

St = E = тЕт = 12В5 Кг/мм2

t 2л-2(1 + v) 16,3 '

В литературе приводятся экспериментальные значения проч­ности усов железа диаметром 1,6 мкм. Критические напряжения растяжения для них Sn = 1340 кГ/мм2 и критические напряжения сдвига при течении St = 364 кГ/мм2. Последнее значение в 3,5 раза меньше, чем вычислено по формуле (4.9).

Конечно, выполненное здесь определение теоретической проч­ности на сдвиг очень грубо, так как учтен только один член раз-

ложения 171 в ряд Фурье. Оно вполне может давать ошибку в 2­3 раза. Но следует учитывать, что нагрузить ус диаметром 1,6 мкм равномерно при испытаниях на срез практически невозможно. Коэффициент концентрации т при таких испытаниях вполне мог достигать 3, и этим можно объяснить заниженное значение экспе­риментальной прочности усов железа при сдвиге.

На основании изложенного выше можно утверждать, что для сдвига атомов железа друг относительно друга в металле нужно создать локальные напряжения сдвига в несколько сотен кГ/мм2. Такие напряжения в десятки раз превышают наблюдаемые значе­ния предела текучести на срез. Следовательно, при пластической деформации металла должен существовать механизм, который концентрирует приложенные сдвиговые напряжения в десятки раз. Такой механизм создают дислокации.