Схема двусторонней глубокой внешней выточки с координатой контура v0= 7я/16 показана на рис. 3.5. Предполагается, что при v < v0 материал распространяется до бесконечности. Поэтому глуби-

на выточки t с обеих сторон равна бесконечности (см. рис. 3.5). Вда­ли от выточки материал растянут усилием Px (широкие стрелки).

Если средние напряжения в минимальном сечении обозначить черезр, а толщину пластины— через d (рис. 3.5), то усилие Px вычисляется по формуле

Px =р • 2 • a • d. (3.12)

Распределение напряжений определяется по формулам

«и. A■ch(u)■ cos(v)■(2 + cos2(v0>-cos2(v)

h2 Ч h2

«V - hA2■ ch(u)■ cos(v)■(cos2(v)-2cos2(V"));

V, - A. sh(u)■ sin(v) (cos2(v»)-cos2(v)

h2 h2

где постоянная интегрирования A из условия равновесия опреде­ляется как

. sin(v0)

A - p-v„ + sin(v„)-cosv,). <314)

Острота выточки (а/p) связана с ее гиперболической коорди­натой поверхности выточки v, выражением

tg2(v0) = a (3.15)

следовательно, зная остроту, можно определить sin(v0) и cos(v0), входящие в формулы для напряжений:

a/p ; a/p + 1;

1 (3.16)

a/p + 1"

Наибольший интерес представляет распределение напряжений в минимальном сечении (х = 0; ^ и = 0), где в силу симметрии Tuv = xxy = 0; ось х совпадает с направлением и: аи = ах = ст1; ось у совпадает с направлением v: av = ау = а2.

Если толщина пластины d мала по сравнению с радиусом в вер­шине выточки p, то можно считать, что при растяжении возника­ет плоское напряженное состояние: стг = 0.

Однако при исследовании вопросов прочности чаще приходит­ся иметь дело с плоским деформированным состоянием: єг = 0. Тогда из третьего уравнения закона Гука следует, что:

=v-(ъх +Оу). (3.17)

Распределение напряжений в минимальном сечении растяну­той пластины с глубокими двусторонними гиперболическими вы­точками при плоской деформации, вычисленное на MathCad по фор­мулам (3.13) при остроте выточки а/р =25,27, показано на рис. 3.6. Здесь же в масштабе изображен контур выточки такой остроты, с радиусом р и размером минимального сечения 2а. Сплошными ли­ниями показаны эпюры трех главных нормальных напряжений.

Напряжения ох концентрируются у контура выточки. Так как мало нагруженные части пластины вдали от минимального сече­ния препятствуют сокращению размеров в поперечных направле­ниях, в минимальном сечении возникают растягивающие напря­жения Оу и стг.

Из рис. 3.6 видно, что коэффициент концентрации kax = amax/ p = 6,4. Для вычисления коэффициента концентрации у глубокой выточки Нейбер получил формулу

2-Ф-(Ф2 +1)

(3.18)

Ф + (ф2 +1) • arctg^)

где

Ф =

Зависимость коэффициента концентрации напряжений от па­раметра ф графически представлена на рис. 3.7. Результаты вы­числения по формуле (3.18) показаны сплошной линией.

Видно, что при ф >3, эта кривая стремится к прямой:

, 50,93

k-= -44тф-

На свободной поверхности выточки (рис. 3.6) перпендикуляр­ные этой поверхности напряжения ау обязательно равны нулю. Но при удалении от поверхности ау быстро нарастают, и на расстоя­нии 1,011 р от поверхности выточки эти напряжения достигают максимума (a„)max = 1,236 p. При дальнейшем приближении к цен­тру детали они уменьшаются, приближаясь к напряжениям ах.

Напряжения аг при плоской деформации максимальны на по­верхности выточки и при удалении от нее уменьшаются.

Пунктирными линиями на рис. 3.6 показаны распределения интенсивности напряжений а; и жесткости напряженного состоя­ния ^ = ст1/стг. На поверхности выточки интенсивность напряже­ний а; всего на 15% меньше ст1. Но при углублении в материал интенсивность напряжений быстро уменьшается, так как умень­шаются разности между главными напряжениями. В результате жесткость напряженного состояния ^ = ст1/стг возрастает.

^ = ст1/стг — очень важная характеристика. Она показывает, во сколько раз упругие напряжения ст1 могут превосходить предел те­кучести при упругом нагружении материала. Так, из рис. 3.7 сле­дует, что сталь с пределом текучести стт = 25 кг/мм2 в центральных частях детали с глубокими выточками остротой а/р = 25 перейдет в пластическое состояние только при ст1 = Л'стт = 2,56 • 25 = 64 кг/мм2.

На рис. 3.8 показано распределение жесткости напряженного состояния в окрестностях минимального сечения. Видно, что об­ласть материала с высокой (более 2) жесткостью ^ имеет форму ореха, занимающего почти все минимальное сечение детали с та­ким концентратором.