Необходимость введения понятия больших деформаций видна из следующего примера. Пусть образец подвергается одноосному растяжению последовательно в двух лабораториях (рис. 2.7).

В первой лаборатории (а) его начальная длина L0a увеличива­ется в два раза. Для этого правому торцу стержня нужно сообщить перемещение uxa = L0a. Предполагая, что перемещения ux по дли­не стержня распределены линейно, вычислим деформацию єх:

2 • L°a L°a = 1 = Ю0% .

-'-'0a *-i0a

Далее, образец передается в другую лабораторию (b), где ничего не знают о работе, проделанной в лаборатории (а), им поручается выполнить такую же операцию. В результате образец с начальной длиной L0b = 2L0a растягивается до длины Lb = 2L0b. В лаборатории (b) вычисляют деформацию:

Lb - L0b

2• L°b L0b = 1=100%.

L0b

-*0b

Получив отчеты двух лабораторий, мы можем вычислить сум­марную деформацию:

£x = sxa + £xb = 100% + 100% = 200%.

Тот, кто знает только исходную длину образца L0a и его конеч­ную длину Lb, определит, что торец образца перемещался ux = Lb - L0a = 3L0a, и, следовательно, получил деформацию:

^0a

Zxb = dUx = = 3 = 300%.

dx

ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

Так на 200 или 300% растянут образец? В терминах теории малых деформаций на это ответа нет. Но если бы в двух лабора­ториях растяжение происходило бы на 7%, то при суммирова­нии результатов отчетов мы получили бы полную деформацию sx = sxa + £xb = 14%, а не зная о двух лабораториях, измерили бы:

3 = Ua + Щ = 0,07 • (L0a + Lb ) =

= 0,07 • (L0a + 1,07 • L0a ) = 0,1449 • L0a,

а деформация составит:

sx = *3*. = 3^ = 0,1449 = 14,49%.

x dx L0a

В этом случае неопределенность деформации: (0,49/14)-100% = = 3,57%, что допустимо в обычных технических расчетах.

Для того чтобы исключить эту неопределенность, было реше­но при больших деформациях каждое малое приращение дли­ны dux относить к текущей длине стержня.

Чтобы не путать большие деформации с малыми (є), большие деформации часто обозначают буквой е.

Малое приращение деформаций вычисляется по формуле

de = ^xl

UKx x •

x

Полная деформация находится путем интегрирования этих приращений:

7

dlx, ( l

ex =J d~t - IXt

lx0 l^“l l,„ / (2'28>

где lx0 — длина отрезка до его деформации; lx — после деформации.

Так просто вопрос решается только для линейных деформа­ций, но не для угловых. Поэтому при вычислении больших дефор­маций элемента детали по перемещениям точек этой детали сна­чала следует исключить повороты этого элемента и найти главные оси (1, 2, 3) деформации (вдоль которых происходит только рас­тяжение или сжатие материала). Зная начальные (l10, l20, l30) и конечные (l1, l2, l3) длины отрезков элемента на главных осях, мож­но вычислить главные деформации:

e =lnfІ)• e2 = ln(І) e3=ln(w) (2-29>