Поскольку сами по себе компоненты напряжений зависят от вы­бора осей координат, при анализе напряженного состояния мате­риала и его прочности необходимо напряжения выражать через ин­вариантные величины, которые не зависят от выбора осей координат.

Тензором напряжений называется таблица из девяти напря­жений, которые при повороте осей координат преобразуются в соответствии с формулами (2.11):

	xxx	y x Ь	® xz
т* =	°yx	°yy	ayz	. (2.13)
	xzx	Xzy	xzz

В результате поворота координатных осей все компоненты тен­зора Та изменяются. Можно так повернуть координатные оси, что­бы остались неравными нулю только его компоненты с одинако­выми индексами, расположенные на диагонали:

"а 0 0"

Т„ = 0 а 0 , (2.14)

0 0 а

где а может принимать три значения: стг, а2, а3, которые называ­ются главными нормальными напряжениями.

= 0.

От поворота координатных осей напряженное состояние мате­риала не может измениться. Поэтому тензор (2.13) должен быть равен тензору (2.14). Разность этих тензоров приравнивается нулю:

xx q	qxy	q
qyx	qyy ~q	q
qzx	qzy	qzz

Если тензор равен нулю, то равен нулю и его определитель. Раскрывая определитель по минорам первой строки, получим:

(ахх - a)[(ayy - a)(azz - а) - azyayz] - - axy[ayx(azz - а) - azxayz] + axz[ayxazy - azx(ayy - а)] = 0.

Последнее, кубичное относительно а, уравнение приводится к виду:

а3- I1 а[1]-I2 а-13 = 0, (2.15)

где I1, I2, I3 — инварианты тензора напряжений Та, т. е. скаляры, не зависящие от поворота координатных осей и однозначно ха­рактеризующие интенсивность напряженного состояния:

I2 I3 ~ Gxx

* Gzz Gzz t2

yy yy

yz

(2.16)

2 *Gxy *Gyz *Gz

•<Jzz G-

ayz ayy * a2x Gz

xy

Три решения кубического уравнения (2.15) дают значения трех главных нормальных напряжений (а1, а2, а3).

Главные напряжения являются компонентами тензора (2.14), равного исходному тензору напряжений (2.13). Их можно вычис-

ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

лить, если по формулам (2.16) вычислены численные значения инвариантов. В теории прочности важнейшее значение имеет максимальное главное нормальное напряжение сть которое вызывает появление хрупкого разрушения материала и управляет процессом распро­странения трещин. При плоском напряженном состоянии все компоненты напря­жений с индексом г можно считать равными нулю. Тогда тензор напряжений (2.13) и (2.14) примет вид

ахх	аху		а	0
х y Ь	ауу		0	а

Г« =

а уравнение для нахождения главных напряжений а запишется как: СТГГ СГ СТ х

_ 0.

yx

Раскрывая определитель этого тензора, получим квадратное уравнение: (ахх - а) ‘ (ауу - а) - аху ‘ аух = 0, или после группировки членов по степеням неизвестной а: а2 - (ахх + ауу) • а + (ахх • ауу - аху • аух) = °. Главные напряжения при плоском напряженном состоянии вычисляются как корни этого квадратного уравнения:

2 Vv 2 Если раскрыть квадрат под корнем, то последнюю формулу можно упростить:

°хх ^ ^yy

а1,2 -

Ст1,2 = СТхх + ауу хх - yy j + (аху-аух). (2.17) Самостоятельное значение при анализе напряженного состоя­ния имеет только первый инвариант тензора напряжений I1. Если его поделить на 3, получается значение среднего (медианального) или гидростатического напряжения:

_ _ І1 _ СТхх + СТуу ' m 3 3

Гидростатическое напряжение не может вызывать пластиче­ской деформации. Чем оно больше (по арифметической величине), тем меньше пластичность материала при вязком его разрушении.

(2.19)

Гидростатические напряжения приводят только к упругому растяжению или сжатию материала. Поэтому при анализе пла­стических деформаций из тензора напряжений Та целесообразно вычесть гидростатические напряжения. В результате получается девиатор тензора напряжений Da, т. е. та часть тензора напряже­ний, которая управляет пластическими деформациями:

xx qm	y x q	q xz
x y q	qyy qm	qyz
qzx	qzy	qzz qi

Dq =

Производя над девиатором напряжений те же операции, что над тензором напряжений, можно вычислить его инварианты.

Если обозначить главные компоненты девиатора напряже­ний S, а инварианты — J, то уравнение (2.15) для девиатора на­пряжений запишется как:

S3 - J1 • S2 - J2 • S - J3 = 0. (2.20)

Формулы для инвариантов девиатора можно получить, если в формулах (2.16) нормальные напряжения аи заменить на разность

qii qm:

J1 = (oxx - Om ) + (oyy - Om ) + (ozz - Om ) = 0;

J2 ~~(<Jxx - Om ) ' (oyy - Om ) - (oyy - Om ) ' (ozz - Om ) - ~(®zz ~ ) ‘ (^xx _ ) qxy Oyz ^ 0Zx ;

J3 = (axx - Om ) ■ (oyy - Om ) ' (ozz - Om ) - (axx - Om ) ' °yz -

■0,.z 'Oz

~(ayy - Om ) ' -(ozz - Om ) ■ + 2ox

Большое значение в дальнейшем будет иметь второй инвари­ант девиатора напряжений, который определяет условия пласти­ческой деформации материала. Раскрыв скобки, для этого инва­рианта получим:

J2 - ayy ' ax

'ат а а

■а„

ат ■ а

■ ат

xx ап

yy

yy

+ (az

yy ■ат — ат ) + а%

■ ат ат az

а после группировки членов суммы:

J2 - am ' (2ст*

■2ст

yy

■2^zz) - 3^m ~az

x

Теперь раскроем правую часть выражения (2.18) для средних напряжений:

J2 - 3 • (exx +Vyy +О22 ) • (exx +Vyy +О22 ) - 3 •(1 X X (^XX ^ в// ^ в 22 ) в 22 " ^yy в22 " ^XX ЯУУ " ^XX ^ в Xy ^ в/2 ^ ®ZX —

— "3 ^ (^XX ^ Я// ^ в22 ) в22 " ^yy в22 " ^XX

- вуу ■ вXX + V2xy + Ъ2У2 +°L — 01 • [2eXx + 2я2/у + 2eL -

— 2exx ‘ вуу — 2вуу " в22 — 2в22 ‘ вXX ^ 6(^Xy ^ в/2 ^ в ZX )].

Из последней формулы следует, что второй инвариант девиа - тора напряжений составляет:

J2 ~ 10 ‘ [(°XX — Ъуу ) ^ (^уу — ®22 ) ^ (^22 — ®XX ) 6 ‘ (®Xy ^ ^/2 ^ ®ZX )].

6 (2.21)

Если величина J2 определяет условия пластической деформа­ции при любом напряженном состоянии, то по ней целесообразно определить эквивалентное напряжение (или интенсивность напря­жений) a;, которое соответствует растягивающему напряжению axx при одноосном растяжении стандартных круглых образцов:

°; = A 4JJ2 = 0XX,

где А — постоянный коэффициент, который нужно найти из усло­вия, что последнее уравнение справедливо, когда в выражении (2.21) все компоненты напряжений, кроме axx, равны нулю. Запи­шем это уравнение:

A ^6• [(°xx -0)2 + (0-0)2 + (0-axx)2 + 6• (02 + 02 + 02)] ^.

Откуда, после сокращения на axx, следует, что постоянная A = V3, и, следовательно, интенсивность напряжений можно вы­числять по формуле:

CTi =J1 • [(CTXX — °уу )2 + (°уу — СТ22 )2 + (СТ22 — °XX )2 + 6 • (CTXy + ^2 + ^ZX )].

(2.22)

При плоском напряженном состоянии главные компоненты девиатора напряжений можно найти из (2.19), если девиатор при­равнять соответствующему тензору, состоящему только из глав­ных компонентов:

Qxx Qm Q xy		~S	0"
Q yx Qyy ~ Qm		0	S _

Dq =

где S — главные компоненты девиатора напряжений.

Выразив гидростатические напряжения ат через нормальные напряжения axx и ayy, получим:

'yy

°xy °xx +°

S 0 0 S

yy

yx yy 2 Вычитая из обеих частей равенства его правую часть, получим уравнение для неизвестной S:

yy

- S

2

= 0.

yx

°xy °yy - axx - S

Раскрывая определитель, получим квадратное уравнение:

°Ж _ S 1-І °yy fxx _ S-Oyx-Oxy = 0

или

Qyx ' Qxy 0,

S2 _ I CTxx Qyy

откуда главные компоненты девиатора напряжений вычисляют­ся по формуле:

<Jrr <J

yy

(2.23)

® xy ‘ ®yx.

S1,2 = ±

Из выражения (2.23) видно, что если координатные оси совмес­тить с главными осями, то axx = ст1; ayy = ст2; axy = ayx = 0. Тогда:

Sl,2 ^(^2^ ) = T1,2.

Если координатные оси повернуть на 45° относительно глав­ных, то axx = ayy и S1,2 = ±®xy = х1,2. Следовательно, главные ком­поненты девиатора напряжений S1,2 всегда равны главным каса­тельным напряжениям т1,2, действующим всегда на площадках, наклоненных под углом 45° к главным нормальным напряже­ниям.