При исследовании переходных процессов в трехфазных асин­хронных электродвигателях целесообразно принять следующие до­пущения, позволяющие в доступной математической форме выра­зить соотношения основных параметров и координат электродви­гателя: 1) намагничивающие силы обмоток двигателя распределены синусоидально вдоль окружности воздушного зазора; 2) потери в стали статора и ротора отсутствуют; 3) обмотки статора и ротора строго симметричны со сдвигом осей обмоток на 120°; 4) насыщение магнитной цепи отсутствует.

Уравнения равновесия напряжений для обмоток трех фаз ста­тора имеют вид

(3-1)

uiь ~ *16*1 - J - }

соответственно для обмоток трех фаз ротора

(3-2)

tt-ia — haRi + ;

/V : ^hc

~dT, '

где и1а> «їй» «іс. «2а. «25, М2с — мгновенные значения фазных напря­жений статора и ротора; ila, ilb, ilc, і[3],, і'гь, і'2с — мгновенные зна­чения фазных токов статора и ротора; яр101 tylb, г|’1с, Фзя» 'taa. 'Фгс — ролные потокосцепления фазных обмоток; Rlt R'2 — активные со­противления обмоток статора и ротора.*

Асинхронный электродвигатель представляет собой систему маг­нитно-связанных обмоток, расположенных на статоре и роторе. При вращении ротора взаимное положение обмоток статора и ро­тора непрерывно изменяется, соответственно изменяется н взаимная индуктивность между ннми. С учетом принятых допущений можно считать, что взаимная индуктивность пропорциональна косинусу текущего угла между осями обмоток ротора и статора. Полная си­стема уравнений потокосцеплений в обмотках статора и ротора определяется уравнениями [45]

~Ьа~		і О	0
		о U	0
*1С		0 0	Li
		Ltt cos 0г Lu cos (0S— 2л/3)	Lu COS (02—4 Л/3)
		Lis cos (0„ — 4я/3) Lls ccs 0*	Li3 cos (0j — 2л/3)
		_L12cos (62 —2я/3) Ll3 cos (03 — 4 я/3)	Lt2cos 02

Lls cos 0j L12cos (0a-(-2л/3)	Lta соъ (G2 + 4л/3)
LI2 cos (02-j-; 4зт/3) Lla cos 0}	Lt, cos (0г — 2Я/3)		ll b
L,. cos (02 - f - 2л/3) L1S cos (02 + 4л/3)	Lj 2 cOi 0д		he
La 0	0	X	4
0 La	0
0 0 4	L«		. / _l "ІС _

где Lj = Lla - j - LM% Lf2 — + Lm — полные эквивалентные ин­

дуктивности фаз статора и ротора, состоящие из индуктивностей от полей рассеяния (Lla, ) и главного потока (Lm = 3/2112); L12 — максимальная взаимная индуктивность между любой обмот­кой статора и любой обмоткой ротора, которая имеет место при совпадении их осей; 92 — текущий угол между осями обмоток фаз ротора и статора.

Уравнение (3-3) содержит гармонические коэффициенты, что создает значительные трудности при исследовании переходных процессов. Для того чтобы исключить гармонические коэффициенты, используют преобразования координат. С этой целью реальные переменные статора и ротора заменяются их проекциями на взаимно перпендикулярные оси координат, вращающиеся с произвольной скоростью о)к. Такое преобразование координат соответствует при­ведению трехфазного электродвигателя к эквивалентному двух­фазному.

При математическом описании трехфазных асинхронных электро­двигателей удобно оперировать не мгновенными значеннями коор­динат, а их результирующими векторами. Если, например, мгно­венные значения токов равны ia, ibi ic, то результирующий вектор тока определяется уравнением:

і = | (a°ia + aib + a%) = 3 (ia + aib + as/e),

где a0 — 1; a — e*2* 3; a2 — e'**/3.

Аналогично определяются результирующие векторы напряже­ния

2

и = з («л + - f а2ас)

н потокосцеплен ня

♦ “ з + аф*+а2ф^).

Используя выражения результирующих векторов, уравнения (3-1) можно записать в виде одного дифференциального уравнения в векторной форме. Для этого первое уравнение из (3-1) умножается

2 2 2

на-3 а0, второе на 3- а, третье на - у а2. Суммируя полученные про­

изведения, получим

“3 {ita “Ъ виц, + а2«1С) =3 (*ia 4" а*іь "Н a®*ic) +

+ | б + а2%с)

или в векторной форме

«і = + - Цр * {3-4)

Диалогично векторное уравнение напряжений ротора:

Ui=i К+&. (3-5)

В уравнениях (3-4) и (3-5) векторы записаны соответственно в системах координат статора и ротора. Для совместного решения уравнений их необходимо привести к одной системе координат.

При исследовании переходных процессов в электродвигателях переменного тока применяют различные ортогональные системы координат, отличающиеся угловой скоростью вращения коорди­натных осей сок, например системы, осн которых неподвижны отно­сительно ротора, или неподвижны относительно статора, или вра­щаются с синхронной скоростью. Подробные преобразования век­торных уравнений для различных систем координат даны в рабо­тах 145, 53].

Уравнения асинхронного электродвигателя в системе координат, вращающейся с произвольной скоростью сок, имеют внд

(3-6)

«і — hRi - Ь + /<*> кЧ’і; — І2І? а + ^ + } (С0К - рп(х>) ф2, ,

где со — угловая скорость вращения ротора; ра — число пар полю­сов.

При исследовании переходных процессов в асинхронном электро­двигателе, управляемом частотой и напряжением статора, удобно использовать систему координат, вращающуюся со скоростью сок, равной угловой скорости вращения магнитного поля &>о, приве­денной к числу пар полюсов, равному единице (приведенной к двух­полюсному электродвигателю). Предполагается прн этом справед­ливым равенство

(o; = <di = 2nfi,

где /і — частота напряжения статора, Гц; щ — угловая частота напряжения статора, рад/с.

На основании уравнений (3-6) для рассматриваемой координат­ной системы можно записать

(3-7)

U* -- - I'tR'i + ~ -|- /5(і>іЛр2«

где s— скольжение электродвигателя;

СОq — СО 0)^—Рп®

GJft (01

(о)0 — «о/Рп — угловая скорость вращения магнитного поля, или сннхронная скорость электродвигателя).

Потокосцеплення связаны с токами через индуктивности

1 ҐЗ-8Ї

l|53 = ij. L/72 -}- J

Для определения электромагнитного момента асинхронного электродвигателя используется векторное произведение 'Фх и 1Х,

тогда

М = -|рп(^1Х11). ' (3-9)

или векторное произведение фз Н І2, тогда

м = - | /?п(т|52хіа)- С3'10)

Учитывая выражения (3-8), можно записать (3-9) н (3*10) в виде М = £ Ра (*1^1+ х ii = 2 Ра ii)l (З'П)

м=-1 Ра (hU+i'J-д х і;=- pnLm (ii x і.;), (з-12)

Вторые равенства в уравнениях (3-11), (3-12) справедливы по­тому, что векторное произведение двух одинаково направленных векторов равно нулю.

Для полного описания переходных процессов в асинхронном электродвигателе к уравнениям напряжений н моментов следует добавить уравнение

= (3-13)

записанное для скалярных значений моментов М н Мс.

Получеииая система уравнений электродвигателя яаляется не­линейной, н решение ее для различных динамических режимов работы электродвигателя может быть выполнено с использованием вычислительных машин. Такие решения приводятся в ряде работ, например в [45]. Вместе с тем прн синтезе систем управления асин­хронным электродвигателем целесообразно располагать простыми н наглядными динамическими моделями электродвигателя в виде передаточных функций или структурных схем. Такая возможность появляется, если рассматривать переходные процессы в отклонениях относительно начальных координат электродвигателя.

Сравнительно простая структурная схема может быть получена, если пренебречь активным сопротивлением статорной цепи, т. е< положить Rx = 0. Безусловно, что такое пренебрежение наклады­вает определенные ограничения на использование получаемых моделей. Они вполне применимы для систем с небольшим диапа­зоном регулирования скорости относительно синхронной скорости, для электродвигателей средней и большой мощности. При широком регулировании скорости, а также для электродвигателей малой мощ­ности необходимы уточнения структурных схем.

Для дальнейших исследований динамических свойств асинхрон­ных электродвигателей целесообразно результирующие векторы представить в виде проекций па комплексной плоскости и записать их через вещественные и мнимые части в следующем виде:

(3-14)

ul = ula 'Ь и* ~ и2а + /^2(Ь

>1 — *1а / И £» Іі — І2а + /І 2рі

Ч’і= tflst /Фі£» М-2 — $2? “Ь /“Фар-

Совместив вектор напряжения статора с действительной осью координатной системы, т. е. положив uip = 0, на основании (3-7)

получим

Иіа«-^-ЮіЧ>ір; ■ (3-15)

О—(3-І6) м2а — Цсс^з + 5юіФг&ї (3-17)

“ер — їфЯі + “ЗГ' + swl4^a - (3-16)

Выразив также электромагнитный момент по уравнению (3-9) через составляющие векторов тока и потокосцепления

- М=|/?п(^1я-[-/^)х(іі*-ЬЯір)

н применив правило векторного произведения векторов, получим абсолютное значение момента:

М = 2 Рп СФіо^ір 'fipiiot)» (3- 19а)

где

4?ia = ha^L + - j-

Воспользовавшись выражением (3-iO), можно аналогично полу­чить

м = — р0 (З-196)

где

“ І-іа^т ~|“ *aa^i “1“ *^£.3.

Составляющие тока ротора могут быть выражены через состав­ляющие потокосцепления в следующем виде:

*'аа ~ ”/ *“ ОФга ^іфі<х)>

І2 (3‘20)

где kx — коэффициент электромагнитной связи статора;

kx = LmlLi (3-2 la)

L% = Lz — Цг/Li ^ L -j - L.>a. (3-216)

С учетом (3*8) и (3-2la) можно выражения моментов записать в форме, удобной для вывода передаточных функций двигателя:

з

М = — ~2 pAihXii

или

А* = — ! РА ftlc/# - (3-22)

В случае одновременного изменения частоты и напряжения ста­тора, прн котором потокосцеплен и е статора остается постоянным, из уравнений (о-15) и (3-16) можно получить

Ли-:------------------------------------ = const; 'Г1В = 0. (3-23)

Для двигателя с короткозамкнутым ротором в уравнениях (3-17), (3-18) U2a — «2р = 0. Выразив из уравнений (3-20) и фар и подставив их в уравнения (3-J 7), (3-1в), иолу чим

О — і іоД і -~ /.а —— scoj/^s iiр — ^Sfth^ipi (3-24)

0=^Д; + ^'^- + 5аЛ'й; (3-25)

М = | рЛУщї*,.- (3-26)

Рассматривая переменные величины в приращениях относитель­но начальных значений + Д»2а, *гр = /гр + А*гр» <«>і —

= Q2 + Atoj, со = Q 4- Ao>, s — S + As, M — Мнач 4- AAf, полу­чим из (3-23)—(3-26) уравнения для статического режима, связы­вании е начальные значення координат,

-^=-Ч'1р = const; (3-27)

0 = /««; - SQ^I^ - ft15Ql4,If!; (3-28)

0 = /JeW + Sfi1Lj'/Jl,; (3-29)

| PA'V», (3-30)

и уравнения для динамического режима, связывающие прнраще - ння координат:

АС. (Т„Р+1)=.JL At'p+(ife - + -)д»; (3-31)

АЙц (Т..Р+ і) = if - Ai« - 4®- As; (3-32)

<Экр ■JRp

ДЖ=|р0*Д. эД1«, (3-33)

где Тэл электромагнитная постоянная времени электро*

R*

двигателя; 5кр = -^-^ критическое скольжение.

На основании уравнений (3*27)—(3-33) можно записать переда­точную функцию {

ДМ (р) "2"Pllk? "йЖ ^1р +]) “ Маач s^T0 (ГвлР +2) .v

AsW ~ ,иі.{ s »----------------- *

^ + 1)

3 Vs

Выражение - g Рпії-оЩ в первом слагаемом числителя (3-34)

представляет собой значение фиктивного пускового момента Л10.ф> определяемое в результате линеаризации рабочей части механиче­ской характеристики двигателя для принятых значений напряже - ния статора (Да и угловой частоты напряжения статора

ч 25

_ ZMkP 3 п« /о оеч

5- 1 “ SKD 2 Pn l ЗД' ’ (3-35)

>кр

3 „_ ^ш^кр

где мкр = j - Pnk дУ - критическии момент двигателя.

Момент MntL4 во втором слагаемом числителя (3-34) можно запи­сать с учеюм принятых допущений в виде

2М„

Мшч S/SKp+SKp/S* (3‘36)

С учетом (3-35) и (3-36) выражение (3-34) примет следующий вид:

дМ(р) Л,» ф[<г»"'’+|>- i+(s/s! p)« (Т'*р+2)]

As т ~ (7'„P+l)!!+(S/S. p)> • ^ '

Для рабочей части механической характеристики двигателя можно принять

(S/SKp)a< 1,

н тогда передаточную функцию (3-37) можно записать в упрощен­ном виде

Ш(р) М„. ф /0 ооч

Дs(p) - ТЬяр4-І *

Представив зависимость скольжения электродвигателя от угло­вой частоты напряжения статора в приращениях и выполнив ли­неаризацию при условии, что в рабочей области 1, получим

A s= 'м. (3-39)

Уравнение равновесия моментов (3-13) может быть записано Ь приращениях в виде

AM-AMc = JpAa. (3-40)

На основании полученных выражений может быть составлена структурная схема асинхронного двигателя при управлении угло­вой частотой напряжения статора и при условии постоянства пото - Косцепления статора. Одиако это удобнее сделать, если предста­вить координаты двигателя в о. е.* приняв за базовые значения Координат их значения в номинальном режиме: М„ ф и> Й1я, £/10tH, “£ои = Й1н/а,, где £2он — синхронная угловая скорость двигателя. Тогда (Дю/Йоп) = Д®» (ДюіАн) = Affli, (ДМ/Мп. ф.н) = ДМ,
(ДУИс/Ми. ф.и) - ДЛ? С> (&iha/Viw) = Д^ісс. Передаточная функ­ция (3-37) с учетом (3-39) запишется так:

‘ОН (3-41)

АЛ і (р) _ { у *

btoiip) — Лш (р) v

(S/SK р)а I)- i^(S/S(sp)2 (r^+2)

(7т. лР+1)2 + (5/5Кр)а

где у -- Уші У ха» относительное напряжение статора;

=а QjQXii — относительная частота напряжения статора. Или в упрощенном виде:

= (vJ

(3-42)

^элР + 1

Д£*>! (р) — Ди> (Р)

ДМ (р)

Соответственно и а основании уравнения (3-40) имеем

(3-43)

АаЗ (р)______________ I

дДї</>)-дЯс(Р) ~~ тщр '

Рис. 3-І

где 7^ = ІО„й/ЛІПіфіИ — механическая постоянная времени дви­гателя.

Упрощенная структурная схема асинхронного двигателя при управлении угловой часто­той напряжения статора, по­строенная на основании выра­жений (3-42), (3-43), показана нз рис. 3-1.

Используя изложенный выше подход к выводу передаточных функций двигателя, можно по­лучить передаточную функцию, связывающую изменение электро­магнитного момента двигателя ДМ при изменении напряжения статора Д«1ан неизменной частоте напряжения статора (о»! = const). Этот случай соответствует изменяющемуся п ото кос цеп лен и ю ста­тора. В о. е. получим

(3-44)

А/П (р) = у 5г(^РЧ-2)+у(т^-) Р%

Айш(р) vi <r*p+D[(^-)V +1_

где S2 — абсолютное скольжение электродвигателя в рабочей точке, равное отношению угловой частоты ЭДС ротора Q2 (приведенной к двухполюсному электродвигателю) к номинальному значению угловой частоты напряжения статора ftlH:

о*

S2 = -

»v5.

Q

!1H

Qq — q Qt — puQ

in

Подробный вывод передаточной функции (3-44) изложен в ра­боте (571. >т

Структурная схема асинхронного электродвигателя при управ­лении напряжением статора показана на рис. 3-2. При построении систем управления асинхронным электродвигателем часто оказы­вается целесообразным использовать информацию о токе статора или ротора. В связи с этим полную структурную схему асинхрон­ного электродвигателя, объединяющую частные случаи управления, рассмотренные выше, целесообразно представить с выделенными

Г $2{Тэпр+2)н(~^^рг	-1	Ай)
(ТзлР+1)[(і/рг+]	тс ili L

L UY-J— J

(^/Тэлр+1

Рис. 3-2

приращениями токов Ді1а и Ді^ относительно начальных значе­ний /1а и І2а< Такая структурная схема показана на рис. 3-3 {58]. Дополнительно к ранее принятым обозначениям на рис. 3-3 обозна­чено через Ыш = Дііа//Їан. р относительное приращение активного тока в обмотке статора, где /ин>р — активный ток в обмотке статора

Рис. 3-3

при номинальном напряжении, номинальной частоте и неподвиж­ном роторе. С учетом принятых допущений справедливо прибли­женное равенство

ЫшъЫа, (3-45)

где Дгт2И = Лг'^/ган. р — относительное приращение активного тока ротора; н. р — активный ток в обмотке неподвижного ротора при номинальном напряжении и номинальной частоте напряжения

статора.

В передаточных функциях двигателя присутствует колебатель­ное звено 1/^-g—)3р2 + lj - Частота колебаний согласуется с угловой

частотой напряжения статора и, следовательно, зависит от выбора рабочей точки. Если учесть сопротивление обмотки статора (ко­торое при исследовании динамики двигателя принято равным нулю), то вместо чисто колебательного звена будет демпфированное коле­бательное звено. Это обстоятельство подтверждается и эксперимен­тальными исследованиями динамических характеристик частотно­регулируемых электроприводов.