В канале круглого поперечного сечения (с радиусом R и длиной /), в котором влиянием эффектов на входе и выходе можно пренебречь, устанавливается равнове­сие сил, действующих на цилиндрический массовый элемент с толщиной слоя dr, движущийся со скоростью v2 (рис. 3.1). Как было показано ранее, равновесие количе­ства движения сводится к равновесию действующих сил. Это является следствием несжимаемости жидкости и допущения, что жидкость течет по прямолинейным па­раллельным траекториям с постоянной скоростью.

Из этого следует

TOC o "1-5" h z 2nrdr ■ p(z) - p(jz + dz)] + x ■ 2nrdz - т(г + dr) ■ 2n - (r + dr) ■ dz = 0. (3.2)

Разложив выражение (3.2) в ряд Тэйлора и отбросив все члены, кроме первого, вследствие их малости, получаем:

p(z + dz) ” p{z) + dz

oz

dx (3'3)

x(r+ dr) - x(r) +— dr.

Поскольку течение является полностью развившимся, градиент давления можно считать постоянным:

др Ар

TOC o "1-5" h z Tz=T - <3-4>

Отбросив все члены высшего порядка, получаем следующее дифференциальное уравнение:

Др х dx 1 д

+ :г~“т-(т'г)- <3-5>

L г dr г дг

	P(z)	т (r+ dr)	_L P(z+dz)
		т (г)	г
	P(z)	т( г)	z P(z+ dz)
	т(7+ dr)

Рис. 3.1. Равновесие сил, действующих на массовый элемент потока в канале круглого попе­речного сечения

В результате интегрирования уравнения получаем

(3.6)

Ар Сх

Когда г = О, все силы будут равны нулю, поэтому первое граничное условие будет выглядеть следующим образом: при г = 0, т = 0, и, следовательно, Сх - 0. То есть

Ар ■ г

(3.7)

т(г) =

2 L

Уравнение (3.7) является прямым следствием баланса сил; в отношении законо­мерности поведения материала никаких допущений не делалось. Это означает, что линейная зависимость напряжения сдвига в уравнении (3.7) не зависит от характера течения материала.

Теперь в уравнение (3.7) можно ввести закономерность поведения материала: Случай А — течение ньютоновской жидкости:

Т = - Т1

ц-у.

dr

В результате подстановки этого выражения в уравнение (3.7) получаем:

dz Ар ■ г

-Л

21 ’ Ар ■ г

dr d.

-у

dv,

dr 2L\ Знак минуса означает, что скорость v2 в направлении г уменьшается. Из уравнения (3.10) получаем Ар ■ г —*■ (3.11) Проинтегрировав это дифференциальное уравнение с учетом граничного усло­вия v2 = 0 при г = R (отсутствие проскальзывания на стенках канала), получаем следующую формулу распределения скорости по поперечному сечению канала:

(3.8) (3.8) (3.10)

	(г)	г
1 -	—
_		_

ApR2 ALx]

(3.12)

v,(r) = -

Максимальная скорость наблюдается при г = 0, следовательно:

ApR2

(3.13)

41г|

(У),

Для средней скорости течения vz имеем:

На основании вышеприведенного получаем

ApR2

(315)

Сравнение уравнений (3.15) и (3.13) позволяет заключить, что средняя скорость составляет половину от максимальной:

*2 = y(v2)max - (3-15.1)

Объемный расход можно выразить следующей формулой:

V-vt-A, (3.16)

где А — площадь поперечного сечения канала: А = nR2.

Отсюда получаем известный закон течения Хагена-Пуазейля

ж <3|7)

Пропускная способность экструзионной головки

—— = К = const. (3.17.1)

8 L

При известном объемном расходе V перепад давления Ар можно рассчитать по уравнению (3.17).

Время пребывания элементарной частицы по радиусу г канала круглого попереч­ного сечения с длиной L может быть вычислено по формуле

*(r) = I/v2(r), (3.18)

Среднее время пребывания частицы в канале составляет

7-т - 8^

R2Ap (3.19)

Поскольку время пребывания обратно пропорционально скорости, его среднее значение вдвое превышает минимальное время пребывания по оси канала, при кото­ром г = 0, а г = (мг)тах. Зависимость скорости сдвига на стенке канала от объемного расхода получается путем комбинирования уравнений (3.10) и (3.17):

41>

yw-y(r~R)-—R - (3.20)

Уравнение (3.20) особенно полезно при оценке результатов измерений, получае­мых с помощью капиллярного вискозиметра (см. раздел 2.1.2).

Величина силы Fz, действующей по поверхности канала течения, представляет собой результат умножения боковой поверхности канала на напряжение сдвига на его стенке:

Fz = 2n R L - т(г_Л) = т • R2 ■ Ар. (3.21)

Справедливость уравнения (3.21) не зависит от характера течения.

Случай В — течение псевдопластической жидкости, подчиняющейся степенному закону. Из определения степенного закона, заданного уравнением (2.5), можно получить следующее соотношение:

'П	m	f dv*l
Ф V		Г d'J

1

т =

(3.21.1)

Применяя уравнения (3.7) и (3.8), с учетом отрицательного знака у (поскольку скорость v2 убывает в направлении увеличения радиуса), получаем 1 1

f1]	7Я	Г dv/J

2 L

dV2 У = — = - ф

(3.22) (3.23) (3.24)

г

( Ар Ж

После интегрирования имеем

f Ар''"1 * т + 1

Г + С1- т+1 1

v = - ф

ч2 L,

С учетом граничного условия отсутствия проскальзывания на стенке (г =R, vz = 0) получаем

Л т pm + 1

(3.24.1)

т+ 1

Откуда

'Ар)т 7?m+l_rm + l

(3.25)

v.(r) = ф

2 L)

т+ 1 По аналогии с уравнениями (3.13)—(3.19) можно получить следующие соотношения: 'Ap'mRm + {

(V2^max Ф

2 L) ТП+ 1 ’

(3.26) (3.27) (3.28) (3.29)

/А Ш 'Ар Л

Rm + l;

ТП + 3

V2 L;

п. Rm + 3 (m + 3)(2 L)r

фД pm

V-

К'

_ L(m + 3) f ■

m + 1

ф R

Как уже упоминалось ранее, действие силы сдвига по поверхности канала F не зависит от характера течения и описывается уравнением (3.21):

Р2 = к - R2 ■ Ар.

При т = 1 и д = 1/ф уравнения с (3.22) по (3.29) преобразуются в соответствую­щие уравнения для ньютоновских жидкостей.