ПРИНЦИП ПОСТРОЕНИЯ НАБЛЮДАЮЩЕГО УСТРОЙСТВА ПОЛНОГО ПОРЯДКА

Выше предполагалось, что переменные, по которым необходимо организо­вать обратные связи, могут быть непосредственно измерены. Однако в ряде слу­чаев может оказаться целесообразным использовать обратную связь по перемен­ной, непосредственное измерение которой невозможно или технически затруднено. Иногда качество управления может быть существенно улучшено за счет увели­чения объема информации о координатах объекта управления, часть из которых не может быть измерена. Тогда встает задача их искусственного воспроизведения или, как говорят, восстановления с помощью наблюдающих устройств (наблю­дателей).

Для построения такого устройства необходимо, чтобы объект был наблюдаем, т. е. чюбы существовала принципиальная возможность восстановить вектор не - измеряемых координат по вектору координат измеряемых. В литературе по тео­рии наблюдающих устройств ] например, Сформулируются математические усло­вия полной наблюдаемости. Не останавливаясь здесь на теоретической стороне вопроса, отметим, что физически требование наблюдаемости сводится к тому, чтобы между неишеряемой и измеряемыми переменными существовала взаимо­связь, т. е. чтобы изменение не измеряемой координаты приводило к изменению координат измеряемых.

33

2 А В, Башарин

Наблюдатель строится на основе известных структуры и параметров линей­ного объекта. Пусть объект /1-го порядка, имеющий т входов и г измеряемых переменных состояния, описывается матричными уравнениями (1-4). Можно создать аналоговую или цифровую модель объекта, которая, для того чтобы пе­реходные процессы в ней соответствовали переходным процессам в объекте, должна описываться уравнением

x = Ax-j-Bu, (1*21)

где в отличие от уравнений (1-4) фигурирует не реальный, а восстановленный вектор состояний х (его оценка), который, по постановке задачи, должен быть равен х и который может быть полностью измерен, поскольку его составляющими являются переменные состояния модели. Начальные значення векторов состоя­ний объекта н модели должны быть одинаковы, а входные воздействия, состав­ляющие вектор входных воздействий и, должны прикладываться и к реальному объекту, и к модели. Однако даже если математическое описание объекта выпол­нено точно, а объект стационарен, можно ожидать, что по тем или иным причи­нам со временем равенство х = х может нарушиться и изменение выходных пе­ременных модели не будет точно воспроизводить изменение координат объекта. Для уменьшения этого расхождения на вход модели вводят сигналы ошибок вос­произведения тех переменных объекта у, которые доступны измерению. Сказан­ное иллюстрируется матричной структурной схемой объекта с наблюдателем (рис. Мб, о). Вектор ошибки восстановления измеряемых переменных у — = у — у размерности г вводится на входы наблюдателя через матрицу коэффи­циентов наблюдателя

kit ktt і

hr і

, ^21 ^22 :

1 k? r

і

-&ml ^ma!

[ kmr -

имеющую размерность т X г.

Чтобы рассматривать собственно наблюдатель как замкнутую систему, на входы которой подаются вектор управления м и вектор измеряемых перемен­ных состояния объекта у, можно просуммировать обратные связи по х с переда­точными матрицами А и —КС, В результате структура наблюдателя преобра­зуется к виду рис. 1-16, б. Собственная динамика наблюдателя как замкнутой системы зависит от значений элементов матрицы К. На основании матричной сіруктурной схемы рис. Мб, б можно записать

рх = (А^КС) х+Ви+Ку

ИЛИ

[рІ-(А-КС)]х = Віі-ЬКу,

где Ї— единичная матрица.

Выбор элементов матрицы К означает определение видя характеристического уравнения наблюдателя п (р) = 0, т. е.

det [pi — (А—КС)] = 0.

Для выбора распределения корней характеристического - уравнения удобно воспользоваться одной из многочисленных стандартных форм, из которых здесь воспроизводятся две наиболее распространенные [25]:

а) биномиальная форма, когда при порядке системы, равном nt предлага­ется записывать полином Н (р) в виде

Я (p) = <p+«u)n, (1-22&

где (о*, — модуль я-кратного вещественного корня;

б) форма Баттерворта, при которой Н (р) в зависимости от порядка системы выбирается в виде

Р+<*> о;

р3-И,4«о/>-!-й>уг;

(1-23)

p»-f-2,0©op*+2,0ti>*p-f-a>3;

p4+2,Gw0lp3+3,4w^2 + 2,bto^-f и, J;

р5 + 3,24 Wop* + 5,24t0'p3 + 5,24о),;р2 - j - 3(24&*р -|- ш

Отметим, что последняя форма при втором порядке системы приводит к ха­рактеристическому уравнению с коэффициентом демпфирования £ = }/Г2/2, со­ответствующему настройке на оптимум по модулю. По мере увеличения порядка системы при данном значении <о0 колебательность несколько растет, но зато дли­тельность процесса увеличивается в меньшей мере, чем при биномиальной форме.

Записав выражение

det [pi—(А — КС)] =Н (р)

в приравняв коэффициенты при одинаковых степенях оператора р, мох<но опре­делить требуемые значения коэффициентов связей наблюдателя, являющихся элементами матрицы К-

ПРИНЦИП ПОСТРОЕНИЯ НАБЛЮДАЮЩЕГО УСТРОЙСТВА ПОЛНОГО ПОРЯДКА

Выбор частоты о^, определяющей быстродействие наблюдателя, в общем случае представляет собой сложную задачу. Если бы структура и параметры ста­ционарного линейного объекта были точно воспроизведены в наблюдателе, а все ®{гешние воздействия, приложенные к объекту, действовали-бы и на наблюдатель, .как это показано па рис. 1-16, а, то замыкание системы управления по восстанов­ленным координатам х было бы эквивалентно замыканию по реальным коорди­натам х (если бы они могли быть измерены). Собственная динамика наблюдателя •при этом не влияла бы иа динамику системы, замкнутой через него. Эго стано­вится очевидным из рассмотрения рис. 1-16, а при описанных условиях всегда -соблюдается равенство х=х, благодаря чему у = 0, связь через матрицу К •не .работает.

Однако практически всегда существует некоторое несоответствие между математическими описаниями объекта и наблюдателя. Кроме того, иа объект могут действовать возмущения, которые невозможно измерить и ввести на наблю­датель. Поэтому желательно иметь - выоокое быстродействие наблюдателя, так

Ala

A,, a22

(1-24)

(1-25)

как различие между реальными и восстановленными координатами будет в общем случае тем меньше, чем выше о)„ С другой стороны, поскольку обычно па изме­ряемые координаты объекта у и внешние воздействия и наложен шум в виде бо­лее и ти менее высокочастотных пульсаций, увеличение о>0 может привести к не­допустимому увеличению уровня шума на выходах иабподателя

Обычно рекомендуется выбирать coto так, чтобы быстродействие наблюда­теля бы то несколько выше быстродействия системы, которая через него зам­кнута

1-4-2. РЕДУЦИРОВАННЫЙ НАБЛЮДАТЕЛЬ

Рассмотренный в предыдущем параграфе наблюдатель называют наблюда­телем полного порядка Он оценивает весь вектор состояния, несмотря на то что компоненты вектора у, входящие в состав вектора х, могут быть измерены непо­средственно Для восстановления лишь тех переменных, которые не могут быть непосредственно измерены, наблюдатель может быть выпотнен как редуцирован­ный, или наблюдатель помаженного порядка Все переменные состояния объекта, составляющие вектор х, можно разделить иа измеряемые, которые образуют век­тор у размерности г, и неизмеряемые, образующие вектор w размерности (я — г), т. е. записать

-[г]-

Тогда уравнение х = Ах + Во может быть переписано в виде

У _w

или, что то же самое,

У=+ A12w+BiU;

w=Аа1 у - j- A22W -(- BgU.

Эти матрицы имеют размерности* А12 — г X (п — г), А2І — (п — f) X г; А22 — (п — г) X (я — г), Bi — г X 1, Вя — (я — г) X 1 На основании втопою уравнения можно рассматривать часть системы с выходным вектором w, дія ко­торой входными воздействиями являются В2и и А21у Для этой части системы по изложенным выше принципам строится наблюдатель, на входе которого дей ctbviot векторы и и у соответственно через матрицы В3 н Аи, а также вектор ошибки восстановления через некоторую матрицу L. Матрица L в редуцирован­ном наблюдателе играет ту же роль, что и матрица К в наблюдателе полного норядка Вектор w неязмеряем Однако он может быть измерен косвенно через вектор входного воздействия и измеряемый вектор у в соответствии с первым урав­нением системы (1-25)

Ai2w=y—Any — Bju.

Для получения в определенном масштабе вектора ошибки w надо умножить вектор восстановленных координат w слева на матрицу —А12 и определить раз­ность A12w — A1Bw. После умножении на L ее следует ввести на вход наблюда­теля Сказанное поясняет матричная структурная схема (рис 1-17, а) Группи­руя входные каналы с матрицами В2 и — LBlt А^ и —LAU и перенося сигнал ру, со входа на выход наблюдающего устройства, что позволяет избежать операции дифференцирования, можно получить структурную схему рис 1-І7, б, а затем, вынося точку суммирования за точку съема, —схему рис. 1-17,6, где обозна­чено

С = А21 — LAji -|- (Aj2 - f - LA12) L;

F = Ам — LA12.

Вектор z представляет собой вектор переменных состояния наблюдателя. Он связан с вектором восстановленных неизмернемых координат w и вектором х линейным преобразованием

z=w— Ly,

Учитывая, что в редуцированном наблюдателе полный вектор восстановлен­ных координат формируется как

2=ТХ,

(1-26)

можно записать, что

где Т = [ — L 1J

Тогда Во — LB: — ТВ

ПРИНЦИП ПОСТРОЕНИЯ НАБЛЮДАЮЩЕГО УСТРОЙСТВА ПОЛНОГО ПОРЯДКА

Системы с применением наблюдателей получают распространение в АСУ ЭП Если параметры объекта не остаются неизменными, то возникает необхо­димость в применении более сложных наблюдающих устройств с адаптацией, которые рассматриваются в г л 9.

Если стремятся повысить быстродействие АСУ ЭП за счет расширения объема информации об объекте, то надо иметь в виду, что линейное описание системы всегда представляет собой определенное упрощение Неучтенные при проектировании наблюдающего устройства нелинейности будут тем больше влиять на работу АСУ ЭП, чем выше быстродействие, которое стремятся реализовать. Кроме того, в электромеханической системе получение высокого быстродействия связано с необходимостью обеспечения больщих динамических моментов двигателя, а сле­довательно, и больших нагрузок на элементы механизма Поэтому вопрос о целе­сообразности использования наблюдателя в АСУ ЭП должен решаться в каж­дом отдельном случае с учетом конкретных условий проектирования.

Комментарии закрыты.